心之学
心之学（四）：AI时代的心之所归
一、AI之后：当现实不再占据生命的中心 在人类过去的生活中，现实始终具有一种不可回避的力量。 人必须谋生、劳动，在社会中找到自己的位置。无论心真正向往什么，多数人都需要先回应生存的要求。现实之“为”因此占据生命的大部分时间，心之所归往往只能…
THE ARCHIVE
写过的，都在这里。
170 篇文章，从一个问题到另一个问题，留下这些年的思考轨迹。
20264 篇
心之学
心之学（三）：良知与现实
一、心与良知 心之所向与心之所归，当以致良知为本。 愿望与行动的一致，尚不足以成全生命。贪婪也可以有所向，恶意也可以安于所得。若只以是否违心为尺度，那么一个不再有所愧疚的人，反倒仿佛比仍在挣扎的人更接近所归。 所以，归于内心，也包含对内心的…
心之学
心之学（二）：无为与共鸣
一、无为与心之所归 这里借“无为”所要表达的，是一种不以功利强求支配全部生命的行动方式。 当人把每一件事都当作换取另一件事的工具，生活便不断被推向将来。学习为了竞争，工作为了晋升，晋升为了更多所得；至于所得最终用来成就怎样的生活，却始终没有…
心之学
心之学（一）：所向与所归
一、心与现实 人的生命仿佛同时展开于两个世界：一个是现实世界，一个是心的世界。 现实有它自身的规则。人在其中需要生存、工作、承担责任，也需要通过行动改善处境。因此，对于现实，应当有所为。人不能因为追求内心的安宁，便放弃对生活的参与，也不能以…
20253 篇
代码与实践
Agent构建心得及避坑(三)
继续Agent的话题，开一个（三）来讨论讨论工具调用吧 工具调用能干什么 首先通用的定义：工具调用（Tool Calling）是指大模型通过调用外部工具或API来获取信息、执行任务或进行计算的能力。工具调用可以极大地扩展模型的功能，使其能够…
代码与实践
Agent构建心得及避坑(二)
看了看第一篇文章，其实有些内容没有写，这里新开一个（二），继续补充一些内容。 一、知识库构建 知识库是Agent获取模型外部知识的重要途径，比如与公司相关的知识，这些知识通常不会出现在模型的训练数据中，所以需要通过知识库来补充这些知识。一个…
代码与实践
Agent构建心得及避坑
随着模型在工具调用能力上的提升，Agent也成为当前最热门的方向之一。本文结合个人的实践，分享一些Agent构建的心得及避坑经验。 一、选择合适的模型 截止2025年9月，市面上已经有多款支持长上下文和工具调用能力的开源大模型，闭源的有GP…
20245 篇
代码与实践
从现象到本质：关于数学、物理与宇宙
一、现象是人类的入口 人类认识世界，从来不是从本质开始的。 我们并不是一开始就知道“力”是什么，“时间”是什么，“空间”是什么，也并不知道宇宙最深处究竟由什么支配。我们最先拥有的，只是现象。 我们看到苹果下落，看到星辰运行，看到光在空间中传…
代码与实践
大模型领域跟踪
经过一年多的跟踪，目前大模型已经专注于Coder和Agent领域，也注意到中国的模型在不断的进步，已经成为开源模型的主力军。 | 模型名称 | MOE 架构 | 参数大小 | 激活参数大小 | 上下文长度 | 公司名称 | 发布时间 | |…
代码与实践
nuxt3上实现动态配置反向代理的方法
场景 实现一个本地LLM前端Chat界面，使用Ollama部署本地LLM。基本功能：在前端设置模型的服务地址如http://localhost:11434，由于浏览器存在跨域问题，所以必须采用一些方法来解决该问题。
代码与实践
各种国外源下载慢解决方法
背景 由于众所周知的原因导致国内开发者下载慢甚至无法下载某些开发工具，从而导致开发效率极其低下。一种解决办法就是科学上网，但是不是所有人都能找到途径，还有一种办法就是修改为国内镜像源等方式解决这个问题。
代码与实践
LLM工具大全
背景 2023年是开源LLM爆发的一年，不仅包含非常多优秀的开源模型，还有大量结合LLM开发智能应用的工具，这篇文章主要整理相关内容，包括但不限于以下： - 本地LLM部署 - LLM+RAG 工具 - Agent工具
202323 篇
代码与实践
leetcode题解149：直线上最多的点数
描述 该题来自于力扣第149题
代码与实践
leetcode题解148：排序链表
描述 该题来自于力扣第148题
代码与实践
leetcode题解147：对链表进行插入排序
描述 该题来自于力扣第147题
代码与实践
leetcode题解146：LRU缓存
描述 该题来自于力扣第146题
代码与实践
leetcode题解143：重排链表
描述 该题来自于力扣第143题
代码与实践
软件项目整理
个人的一些开发项目，更新截止日期2023-10-28。 引言 这篇博客，主要是记录自己在技术方面的学习过程和学习成果，微不足道但回忆起来也不失意味。算是勉励自己，要保持终身学习，无论是为了工作还或是兴趣，吾之生而有涯而知无涯。忙碌的生活总是…
代码与实践
leetcode题解142：环形链表 II
描述 该题来自于力扣第142题
代码与实践
leetcode题解140：单词拆分II
描述 该题来自于力扣第140题
代码与实践
leetcode题解139：单词拆分
描述 该题来自于力扣第139题
代码与实践
leetcode题解138：随机链表的复制
描述 该题来自于力扣第138题
代码与实践
leetcode题解137：只出现一次的数字 II
描述 该题来自于力扣第137题
代码与实践
leetcode题解135：分发糖果
描述 该题来自于力扣第135题
代码与实践
leetcode题解134：加油站
描述 该题来自于力扣第134题
诗与片刻
诗篇：庆新婚
庆新婚 群芳众蕊护新春，百艳一枝恋旧尘 不让须眉慷慨气，从如洛女覆国身 曾成傲骨凌云志，又觅诚心知意人 宇霁虹中飞喜鹊，闺妆镜里映红唇
代码与实践
leetcode题解133：克隆图
描述 该题来自于力扣第133题
代码与实践
leetcode题解132：分割回文串 II
描述 该题来自于力扣第132题
代码与实践
leetcode题解131：分割回文串
描述 该题来自于力扣第131题
代码与实践
leetcode题解130：被围绕的区域
描述 该题来自于力扣第130题
代码与实践
leetcode题解129：求根节点到叶节点数字之和
描述 该题来自于力扣第129题
代码与实践
leetcode题解128：最长连续序列
描述 该题来自于力扣第128题
代码与实践
leetcode题解127：单词接龙
描述 该题来自于力扣第127题
代码与实践
leetcode题解126：单词接龙 II
描述 该题来自于力扣第126题
代码与实践
leetcode题解124：二叉树中的最大路径和
描述 该题来自于力扣第124题
202268 篇
诗与片刻
诗篇：访仙
访仙 弄月摘星遇圣灵，趋云驾雾访仙名； 同观柳绿梅红色，共奏鸥琴鹤瑟声。 我与清风杯酒后，清风送我速归行； 人间岁有浑浊气，愿作长天一片青。
代码与实践
leetcode题解123：买卖股票的最佳时机 III
描述 该题来自于力扣第123题
代码与实践
leetcode题解122：买卖股票的最佳时机 II
描述 该题来自于力扣第122题
代码与实践
leetcode题解120：三角形最小路径和
描述 该题来自于力扣第120题
代码与实践
leetcode题解117：填充每个节点的下一个右侧节点指针 II
描述 该题来自于力扣第117题
代码与实践
leetcode题解116：填充每个节点的下一个右侧节点指针
描述 该题来自于力扣第116题
代码与实践
leetcode题解115：不同的子序列
描述 该题来自于力扣第115题
代码与实践
leetcode题解114：二叉树展开为链表
描述 该题来自于力扣第114题
代码与实践
leetcode题解113：路径总和 II
描述 该题来自于力扣第113题
代码与实践
leetcode题解105：从前序与中序遍历序列构造二叉树
描述 该题来自于力扣第99题
代码与实践
leetcode题解99：恢复二叉搜索树
描述 该题来自于力扣第99题
代码与实践
leetcode题解98：验证二叉搜索树
描述 该题来自于力扣第98题
代码与实践
leetcode题解97：交错字符串
描述 该题来自于力扣第97题
代码与实践
leetcode题解96：不同的二叉搜索树
描述 该题来自于力扣第96题
代码与实践
leetcode题解95：不同的二叉搜索树 II
描述 该题来自于力扣第95题
代码与实践
leetcode题解93：复原IP地址
描述 该题来自于力扣第93题
代码与实践
leetcode题解91：解码方法
描述 该题来自于力扣第91题
代码与实践
leetcode题解90：子集 II
描述 该题来自于力扣第90题
代码与实践
leetcode题解89：格雷编码
描述 该题来自于力扣第89题
代码与实践
leetcode题解87：扰乱字符串
描述 该题来自于力扣第87题
代码与实践
leetcode题解85：最大矩形
描述 该题来自于力扣第85题
代码与实践
leetcode题解84：柱状图中最大的矩形
描述 该题来自于力扣第84题
代码与实践
leetcode题解81：搜索旋转排序数组II
描述 该题来自于力扣第81题
代码与实践
leetcode题解80：删除有序数组中的重复项II
描述 该题来自于力扣第80题
代码与实践
leetcode题解79：单词搜索
描述 该题来自于力扣第79题
代码与实践
leetcode题解78：子集
描述 该题来自于力扣第78题
代码与实践
leetcode题解76：最小覆盖子串
描述 该题来自于力扣第76题
代码与实践
leetcode题解75：颜色分类
描述 该题来自于力扣第75题
代码与实践
leetcode题解72：编辑距离
描述 该题来自于力扣第72题
数学之美
数学试题八：高中篇7
$601. $ 对于实数$a \in \mathbb{R}$，试探究函数$f(x) = x|x-2a|+3$是否是区间$[1,2]$上的有界函数？如果是？求出上界减去下界的值。
代码与实践
leetcode题解64：最小路径和
描述 该题来自于力扣第64题
代码与实践
leetcode题解63：不同路径 II
描述 该题来自于力扣第63题
代码与实践
leetcode题解62：不同路径
描述 该题来自于力扣第62题
代码与实践
leetcode题解61：旋转链表
描述 该题来自于力扣第61题
代码与实践
leetcode题解60：第k个排列
描述 该题来自于力扣第60题
代码与实践
leetcode题解59：螺旋矩阵 II
描述 该题来自于力扣第59题
代码与实践
leetcode题解57：插入区间
描述 该题来自于力扣第57题
代码与实践
leetcode题解56：合并区间
描述 该题来自于力扣第56题
代码与实践
leetcode题解55：跳跃游戏
描述 该题来自于力扣第55题
代码与实践
leetcode题解54：螺旋矩阵
描述 该题来自于力扣第54题
数学之美
数学试题七：高中篇6
$501. $ 在棱长都为$a$cm的四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒中任意转动，则正方体棱长最大为多少cm？
代码与实践
leetcode题解53：最大子序和
描述 该题来自于力扣第53题
代码与实践
leetcode题解52：N皇后 II
描述 该题来自于力扣第52题
代码与实践
leetcode题解51：N皇后
描述 该题来自于力扣第51题
代码与实践
leetcode题解50：Pow(x, n)
描述 该题来自于力扣第50题
代码与实践
leetcode题解49：字母异位词分组
描述 该题来自于力扣第49题
代码与实践
leetcode题解48：旋转图像
描述 该题来自于力扣第48题
代码与实践
leetcode题解47：全排列 II
描述 该题来自于力扣第47题
代码与实践
leetcode题解46：全排列
描述 该题来自于力扣第46题
代码与实践
leetcode题解45：跳跃游戏 II
描述 该题来自于力扣第45题
代码与实践
leetcode题解44：通配符匹配
描述 该题来自于力扣第44题
代码与实践
leetcode题解43：字符串相乘
描述 该题来自于力扣第43题
数学之美
数学试题六：高中篇5
$401. $ 已知椭圆$\displaystyle M: \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$，$P$为$M$上一点，$EF$是圆$N: x^2 + (y - 2)^2 = 1$的任意一条直径，$E,F$为…
数学之美
数学试题五：高中篇4
$301. $ 已知$\displaystyle an = \frac{3^n+1}{4}$且$Sn = \sum \limits{k=1}^n ak$，证明：当$n \ge 2$时，$\displaystyle \frac{8}{3}(n…
代码与实践
leetcode题解42：接雨水
描述 该题来自于力扣第42题
代码与实践
leetcode题解41：缺失的第一个正数
描述 该题来自于力扣第41题
代码与实践
leetcode题解40：组合数II
描述 该题来自于力扣第40题
代码与实践
leetcode题解39：组合总数
描述 该题来自于力扣第39题
代码与实践
leetcode题解37：解数独
描述 该题来自于力扣第37题
代码与实践
leetcode题解34：在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
描述 该题来自于力扣第34题
代码与实践
leetcode题解33：搜索旋转排序数组
描述 该题来自于力扣第33题 整数数组 nums 按升序排列，数组中的值互不相同 。
代码与实践
leetcode题解32：最长有效括号
描述 该题来自于力扣第32题 给你一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串，找出最长有效（格式正确且连续）括号子串的长度。
代码与实践
leetcode题解31：下一个排列
描述 该题来自于力扣第31题 整数数组的一个排列就是将其所有成员以序列或线性顺序排列。
数学之美
数学试题四：高中篇3
$201. $ 已知椭圆$\displaystyle C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，过点$Q(4, 0)$且不与坐标轴垂直的直线$l$交椭圆于$A,B$两点，设点$A$关于$x$轴对称为点$A^…
数学之美
数学试题三：高中篇2
$101. $ 已知$g(x)$的图像是$f(x)$的图像关于原点对称，且$f(x) = x^2 + 2x$； （1）解不等式$g(x) \ge f(x) - |x - 1|$； （2）若$h(x) = g(x) - \lambda f(x…
数学之美
数学试题：自创篇
$1. $ 递增等比数列$\{an\}$，有$a1^2+a2^2+a3^2 = 8, a1 + a2 + a3 = 4$，则该数列的公比为？ $2. $ 已知$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \le \beta <…
代码与实践
leetcode题解30：串联所有单词的子串
描述 该题来自于力扣第30题 给定一个字符串s和一些长度相同的单词words 。找出s中恰好可以由words中所有单词串联形成的子串的起始位置。 注意子串要与words中的单词完全匹配，中间不能有其他字符 ，但不需要考虑words中单词串联…
代码与实践
leetcode题解29：两数相除
描述 该题来自于力扣第29题 给定两个整数，被除数dividend和除数divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和mod运算符。 返回被除数dividend除以除数divisor得到的商。 整数除法的结果应当截去（truncate）…
202150 篇
诗与片刻
诗篇：情有感
情有感 半影哀鸿寄妾伤，孤衣破镜弄眉妆； 陈姻落尽双娥泪，忆最倾心爱未央。
数学之美
数学试题二：高中篇1
$1. $ $f(x)=3ax^2 + 2bx + c$，若$a+b+c=0, f(0)f(1)0$，求证： （1）方程$f(x)=0$有实根； （2）$\displaystyle -2 < \frac{b}{a} < -1$； （3）设$…
代码与实践
pandasecharts使用示例
pandasecharts是一款基于pandas和pyecharts的可视化工具，该文档适用于版本=0.4.1。 Bar柱状图
诗与片刻
诗篇：死有感
死有感 深秋叶落谢花飞，几许忧愁几许悲； 好雨清风终散去，夕阳皓月暂轮回。 焉无万紫争奇艳，更有千红斗正魁； 待到新春初霁后，凭风会自百花归。
诗与片刻
诗篇：生有感
生有感 魄净七重日，魂安一处沙； 平生趋富贵，暮世系荣华。 善水出坚木，春泥育毅花； 文章传万载，绿叶蔓青崖。
数学之美
微积分在几何上的应用一：弧长，旋转曲面的面积与体积
定理1 设$\mathbb{R}^2$上的曲线$\Gamma$由极坐标方程 $$ r = r(\theta) \quad (\boldsymbol{\alpha} \le \theta \le \boldsymbol{\beta}) $$ …
数学之美
微积分在几何上的应用二：曲线的切线与曲面的切平面
定义1 设空间曲线段$\Gamma$有参数方程 $$ \left\{ \begin{aligned} & x = x(t), \\ & y = y(t), \\ & z = z(t), \end{aligned} \right. \quad…
数学之美
函数积分十二：$n$重积分
定义1 定义$f: I \to \mathbb{R}$，其中$I$是$\mathbb{R}^n$中的一个闭长方体，即$I = I1 \times I2 \times \cdots In$，其中$ii=[ai, bi] (i=1,2,\cdo…
数学之美
函数积分十一：三重积分
定义1 定义$f: I \to \mathbb{R}$，其中$I$是$\mathbb{R}^3$中的一个有限长方体，即$I = I1 \times I2 \times I3$，其中$ii=[ai, bi] (i=1,2,3)$是$\math…
数学之美
函数积分十：二重积分的计算
定理1 如果$f$在$I = [a,b] \times [c,d]$上可积，那么单变量函数$\displaystyle \varphi(x) = \underline \intc^d f(x, y) \mathrm{d} y$和$\disp…
代码与实践
leetcode题解25：K个一组翻转链表
描述 该题来自于力扣第25题 给你一个链表，每 k 个节点一组进行翻转，请你返回翻转后的链表。 k 是一个正整数，它的值小于或等于链表的长度。 如果节点总数不是 k 的整数倍，那么请将最后剩余的节点保持原有顺序。 进阶： 你可以设计一个只使…
数学之美
函数积分九：有界区域上的二重积分
定义1 设$B \subset \mathbb{R}^2$是有界集，函数$f: B \to \mathbb{R}$，令 $$ fB(\boldsymbol{p}) = \left\{ \begin{aligned} & f(\boldsym…
代码与实践
leetcode题解24：两两交换链表中的节点
描述 该题来自于力扣第24题 给定一个链表，两两交换其中相邻的节点，并返回交换后的链表。 你不能只是单纯的改变节点内部的值，而是需要实际的进行节点交换。
数学之美
函数积分八：Lebesgue定理
定义1：零测集 设$B \subset \mathbb{R}^2$，如果对任意给定的$\varepsilon 0$，存在可数个闭矩形序列$\{Ii\}(i=1,2,\cdots)$，使得 $$ B \subset \bigcup \limi…
数学之美
函数积分七：矩形区域的二重积分
定义1 定义$f: I \to \mathbb{R}$， 其中$I$是$\mathbb{R}^2$中的闭矩形，$I = [a,b] \times [c, d]$，作$[a,b]$的分割 $$ \pix : a = x0 < x1 < \cd…
数学之美
函数积分六：微积分基本定理
定义1：变上限积分 设$f$在$[a,b]$上可积，从而对任何$x \in [a,b]$，$f$在$[a,x]$上也可积，因此定义函数 $$ F(x) = \inta^x f(t) \mathrm{d} t $$ 其中$x$可在$[a,b]…
数学之美
函数积分五：可积函数的性质
定理1：积分的可加性 设$c \in (a,b)$，函数$f$在$[a,c],[c,b]$上可积，那么$f$在$[a,b]$上也可积，且 $$ \inta^b f(x) \mathrm{d} x = \inta^c f(x) \mathrm…
数学之美
函数积分四：Lebesgue定理
定义1：零测度集 设$A$为实数的集合，如果对任意给定的$\varepsilon 0$， 存在至多可数个开区间$\{In: n \in \mathbb{N}^\}$组成$A$的一个开覆盖，并且$\displaystyle \sum{n=1}…
数学之美
函数积分三：可积性理论
定理1 设函数$f$在$[a,b]$上Riemann可积，则$f$在$[a,b]$上有界。
代码与实践
UI开发之pyQt5-3：按钮类控件
按钮类控件主要包含： QPushButton：普通按钮 QRadioButton：单选框按钮 QCheckBox：多选框按钮
代码与实践
leetcode题解23：合并K个升序链表
描述 该题来自于力扣第23题 给你一个链表数组，每个链表都已经按升序排列。 请你将所有链表合并到一个升序链表中，返回合并后的链表。
代码与实践
UI开发之PyQt5二：文本类控件
文本类控件主要包含： QLineEdit：单行文本编辑框 QTextEdit：多行文本编辑框
数学之美
函数积分二：Riemann积分
定义1：分割 在区间$[a,b]$上，记分割 $$ \pi : a = x0 < x1 < \cdots < xn = b $$ 把$[a,b]$分成$n$个小区间$[x{i-1},xi]$，其长度为$\Delta xi = xi - x{…
数学之美
函数积分一：原函数
定义1：原函数 已知区间$D$和函数$f: D \to \mathbb{R}, F: D \to \mathbb{R}$，如果两个函数满足关系 $$ F^\prime(x) = f(x) $$ 则称$F$为$f$在$D$上的一个原函数。
数学之美
函数导数十三：极值
定义1 设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，函数$f: D \to \mathbb{R}$，点$\boldsymbol{x}0 \in D$，如果存在一个去心球$Br(\boldsymbol{\check x}0) \s…
数学之美
函数导数十二：高阶偏导数和Taylor公式
定义1 设函数$f$在开集$D$上的每一点处存在偏导数： $$ Dif(\boldsymbol{x}) = \frac{\partial f}{\partial xi}(\boldsymbol{x}) \quad (i=1,2,\cdots…
数学之美
函数导数十一：逆映射定理
定理1: 局部逆映射定理 设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^n$，满足： （a）$\boldsymbol{f} \in C^1(D)$； （b）有$\…
代码与实践
UI开发之PyQt5一：控件和布局的关系
介绍 PyQt5是一个用来开发UI的python第三方库，UI不外乎显示控件，布局与交互，简单说就是确定UI需要展示哪些东西，这些东西如何排布在界面上以及操作这些东西的逻辑是什么。而PyQt5的控件与布局几乎都在QtWidgets这个类里面…
代码与实践
数据库之sql实践
1. 概述 数据库，顾名思义用来存放数据的地方，可以把数据库比作图书馆，图书馆里面有不同区域相当于不同的数据库（database），而每个区域又存放着不同的书籍，相当于每个database含有很多表（table），图中表现了这种关系。
数学之美
函数导数十：隐函数、隐映射定理
定义1：隐式方程 设$D \subset \mathbb{R}^2$是一开集，$F: D \to \mathbb{R}$是一个含有两个自变量$x,y$的函数，对于$D$中的点$(x,y)$满足方程 $$ F(x,y) = 0 $$ 的点的全…
数学之美
函数导数九：映射微分和复合求导
设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$。记$\boldsymbol{f}$的分量依次为$f1,f2,\cdots,fm$，可以把$\boldsymbo…
代码与实践
leetcode题解22：括号生成
描述 该题来自于力扣第22题 数字n代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且有效的括号组合。
数学之美
函数导数八：多变量函数的微分
定义1 设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，$f: D \to \mathbb{R}$，$\boldsymbol{u}$是一个方向，$x0 \in D$，如果极限 $$ \lim \limits{t \to 0} \fr…
数学之美
函数导数七：Taylor定理
定义1 设函数$f$在$x0$处有直到$n$阶的导数，这里$n$是任意给定的正整数，令 $$ Tn(f,x0;x) = f(x0) + \frac{1}{1!}f^\prime(x0)(x - x0) + \frac{1}{2!}f^{\p…
代码与实践
leetcode题解19：删除链表的倒数第N个结点
描述 该题来自于力扣第19题 给你一个链表，删除链表的倒数第n个结点，并且返回链表的头结点。 进阶：你能尝试使用一趟扫描实现吗？
数学之美
函数导数六：函数的微分
定义1：微分 设函数$f$在$(a,b)$上有定义，且$x0 \in (a,b)$，如果存在一个常数$\lambda$，使得 $$ f(x0 + \Delta x) - f(x0) = \lambda \Delta x + o(\Delta…
代码与实践
leetcode题解16：最接近的三数之和
描述 该题来自于力扣第16题 给定一个包括n个整数的数组nums和一个目标值target。找出nums中的三个整数，使得它们的和与target最接近。返回这三个数的和。假定每组输入只存在唯一答案。
数学之美
数学科普一：平均数
假设两个正数$a,b$，我们知道$\frac{a+b}{2}$称为算术平均数，$\sqrt{ab}$称为几何平均数，$\frac{2}{a^{-1}+b^{-1}}$称为调和平均数。对于任意$n$个正数也有同样的定义，观察到算术平均数为$\…
数学之美
函数导数五：函数性质与导数的关系
定理1 设函数$f$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，那么$f$在$[a,b]$上递增（减）的充分必要条件是$f^\prime \ge 0 (\le 0)$在区间$(a,b)$上成立。
数学之美
函数导数四：L’Hospital法则
定理1 设函数$f,g$在$(a,b)$上可导，并且$g(x) \ne 0$对$x \in (a,b)$成立。又设 $$ \lim \limits{x \to a^+} f(x) = \lim \limits{x \to a^+} g(x)…
数学之美
数学试题一：初中篇
几何题 $1.$ 在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$D$在线段$BC$上，且$\angle BAD = 20^\circ$，点$E$在线段$AC$上，且$AE = AD$，求$\angle CDE$。
数学之美
函数导数三：极值定义与微分中值定理
定义1：极值 设函数$f: (a,b) \to \mathbb{R}$，如果对点$x0 \in (a, b)$，存在$\delta 0$，使得$\Delta = (x0 - \delta, x0 + \delta) \subset (a,b…
数学之美
函数导数二：初等函数的导数
本章介绍常见初等函数的导函数及其求法。
数学之美
函数导数一：导数的定义与基本性质
定义1：导数 设函数$f$在$x0$的近旁处有定义，如果极限 $$ \lim \limits{h \to 0} \frac{f(x0+h) - f(x0)}{h} $$ 存在且有限，则称这个极限值为$f$在点$x0$的导数，记作$f^{\p…
代码与实践
leetcode题解15：三数之和
描述 该题来自于力扣第15题 给你一个包含n个整数的数组nums，判断nums中是否存在三个元素a，b，c ，使得a + b + c = 0？请你找出所有和为0且不重复的三元组。 注意：答案中不可以包含重复的三元组。
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函数极限七：向量值函数的连续与一致连续
定义1：向量值函数 设$D \subset \mathbb{R}^n$，定义$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$为向量值函数，其中$D$称为$\boldsymbol{f}$定义域，$f(D)$称为值域。当…
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函数极限六：多变量函数的一致连续性
定义1：多变量函数的一致连续性 设$D \subset \mathbb{R}^n$，$f: D \to \mathbb{R}$。如果$\forall \varepsilon 0$，$\exists \delta 0$，使得当$\boldsy…
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函数极限五：多变量函数的极限与连续性
定义1 设$D \subset \mathbb{R^n}$，那么映射$f: D \to \mathbb{R}$称为一个$n$元函数，其中$D$称为函数$f$的定义域，而$f(D) \subset \mathbb{R}$称为$f$的值域。
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函数极限四：初等连续函数与函数的上下极限
基本连续函数有哪些？这章来解答。 定理1 如果函数$f$与$g$在$x0$处连续，那么$f \pm g$与$fg$都在$x0$处连续，如果$g(x0) \ne 0$，那么$f/g$也在$x0$处连续。
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leetcode题解11：盛最多水的容器
描述 该题来自于力扣第11题 给你n个非负整数a1，a2，...，an，每个数代表坐标中的一个点(i, ai)。在坐标内画n条垂直线，垂直线i的两个端点分别为(i, ai)和(i, 0)。找出其中的两条线，使得它们与x轴共同构成的容器可以容…
202015 篇
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函数极限三：连续函数与一致连续函数
定义1：某点连续 设$f: [a,b] \to \mathbb{R} \quad (ba)$. 若有 $$ \lim \limits{x \to x0} f(x) = f(x0) $$ 则称函数$f$在点$x0 \in (a,b)$内连续。
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leetcode题解10：正则表达式匹配
描述 该题来自于力扣第10题 给你一个字符串s和一个字符规律p，请你来实现一个支持'.'和''的正则表达式匹配。 '.'匹配任意单个字符 ''匹配零个或多个前面的那一个元素 所谓匹配，是要涵盖整个字符串s的，而不是部分字符串。
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leetcode题解8：字符串转换整数 (atoi)
描述 该题来自于力扣第八题 请你来实现一个atoi函数，使其能将字符串转换成整数。
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函数极限二：其它类型的函数极限
定义1：自变量趋于$+\infty$的极限 若对$\forall \varepsilon0, \exists A 0$，使得当$x A$时，有$|f(x) - l| < \varepsilon$，此时称在正无穷处函数有极限$l$，记为 $$…
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leetcode题解5：最长回文子串
描述 该题来自于力扣第五题 给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。
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函数极限一：函数极限定义与基本性质
定义1：函数在某点处极限 设函数$f$在点$x0$的近旁有定义，但$x0$这一点自身可以是例外，设$l$是一个实数，如果对$\forall \varepsilon 0$，$\exists \delta0$，使得对一切满足等式$0 < |x-…
代码与实践
leetcode题解4：寻找两个正序数组的中位数
描述 该题来自于力扣第四题 给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。 进阶：你能设计一个时间复杂度为 O(log(m+n)) 的算法解决此问题吗？
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点列极限六：拓扑学基础之列紧集、紧致集、连通集
定义1：列紧集 设$E \subset \mathbb{R^n}$，如果$E$中的任一点列都有一个子列收敛于$E$中的一个点，则称$E$是$\mathbb{R^n}$中的一个列紧集。 定理1 $\mathbb{R^n}$中的集合$E$为列紧…
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leetcode题解1：两数之和
描述 该题来自于力扣第一题 给定一个整数数组nums和一个目标值target，请你在该数组中找出和为目标值的那两个整数，并返回他们的数组下标。 你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素不能使用两遍。
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点列极限五：拓扑学基础之开集、闭集
本章的内容为接下来的函数极限做铺垫。欧几里得空间$\mathbb{R^n}$中关于点$\boldsymbol{a}$的邻域两个常用到的概念为 $$ \begin{aligned} & Br(\boldsymbol{a}) = \{ \bol…
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点列极限四：欧式空间中的点列极限
本篇主要讲多维空间中点列的极限，下面的讨论都会基于$n$维欧式空间，通常用$\mathbb{R^n}$表示；以下内容的前提是已知$n$维Euclid空间以及各种名词的概念，比如向量，范数，内积等等，如有不理解的概念，建议查看高等代数中关于度…
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点列极限三：数列极限的上极限与下极限，Stolz定理
对于任意给定的数列$\{an\}$，如果$\{an\}$有界，由列紧性可知，必然存在收敛子列，如果$\{an\}$无解，则总可以找到一个子列趋向于$-\infty$或$+\infty$。我们把数列$\{an\}$的收敛子列的极限称为$\{a…
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点列极限二：实数连续性
前言 在点列极限一的定理7证明了单调有界的数列必收敛，此命题是实数连续性的表现之一，本篇将会说明实数连续性的6个等价命题，即这6个命题可以互相推出，而单调有界的数列必收敛命题前面已经证明，所以只需要在这6个命题中做循环论证即可。本篇将会首先…
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点列极限一：数列极限定义与基本性质
定义1 在$\mathbb{R}$上，设$\{an\}$是一个数列，$a \in \mathbb{R}$，若$\forall \varepsilon0$，$\exists N(\varepsilon)\in \mathbb{N^+}$，使得…
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vim教程
1 Vim逻辑 Vim命令逻辑为operation + motion的方式，首先输入主要操作（命令），然后可以输入行为，比如输入c，然后输入5→表示修改右边5个字符