数学试题二：高中篇1

$1.$ $f(x)=3ax^2 + 2bx + c$，若$a+b+c=0, f(0)f(1)>0$，求证：
（1）方程$f(x)=0$有实根；
（2）$\displaystyle -2 < \frac{b}{a} < -1$；
（3）设$x_1,x_2$是方程$f(x)=0$的两个实根，则$\displaystyle \frac{\sqrt 3}{3} < |x_1 - x_2| < \frac{2}{3}$。

$2.$ 已知$f(x)$是定义在$[-1,1]$的奇函数，且$f(1)=1$，若$a, b \in [-1, 1], a+b \ne 0$，有$\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{a+b} >0$ 恒成立，
（1）判断$f(x)$在$[-1,1]$的单调性。
（2）若$f(x) \le m^2-2am+1$，对所有$x \in [-1, 1], a \in [-1, 1]$恒成立，求$m$的取值范围。

$3.$ 设实数$a,b,c$满足

$$\left\{ \begin{aligned} & a^2 - bc -8a + 7 = 0 \\ & b^2 + c^2 + bc - 6a + 6 = 0 \end{aligned} \right.$$

求$a$的取值范围。

$4.$ 已知$a,b,c$都不是小于$1$的实数，满足$a \cdot b \cdot c = 10$，并且$a^{\lg a} \cdot b^{\lg b} \cdot c^{\lg c} \ge 10$，求$a+b+c$的值。

$5.$ 函数$f(x)$的定义域为$[0, +\infty)$，且满足
（1）$f(x)$在$(0, +\infty)$上递增；
（2）对$x>0$，均有$\displaystyle f(f(x)+\frac{1}{x})=1$；
求$f(1)$。

$6.$ $f(x+3)f(1-x)=0$有$5$个实数根，则这$5$个根之和为？

$7.$ $\triangle ABC$中，点$G$为中线$AM$的中点，过点$G$作$PQ$分别交$AB,AC$于点$P,Q$，若$AP=hAB, AQ=kAC$，$\triangle APQ$的面积为$S$，$\triangle ABC$的面积为$T$，求
（1）$\displaystyle \frac{1}{h} + \frac{1}{k}$的值；
（2）$\displaystyle \frac{S}{T}$的最小值。

$8.$ $a,b,c$为非负数，求$\displaystyle f(a,b,c)=\frac{c}{a}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c}$的最小值？

$9.$ 求$\displaystyle \sqrt{\frac{4x+3}{x+1}} + \sqrt{\frac{5x+6}{x+1}}$的定义域和值域。

$10.$ 不等式$\displaystyle \sqrt{x} \ge ax + \frac{3}{2}$的解集为$(4,b)$，则实数$a,b$为？

$11.$ 正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为1，对角线$BD_1$的截面面积记为$S$，则$S$的取值范围是？

$12.$ 已知$\sin \alpha + \sin \beta = \sqrt 2, \cos \alpha + \cos \beta = \frac{2\sqrt 3}{3}$，求$\tan \alpha \tan \beta$的值。

$13.$ $\triangle ABC$中，内角$A,B,C$满足$2 \sin B = \sin A + \sin C$，求$5 \cos A - 4 \cos A \cos C + 5 \cos C$的值。

$14.$ 已知$\displaystyle \frac{\sin^2 \gamma}{\sin^2 \alpha} = 1 - \frac{\tan (\alpha - \beta)}{\tan \alpha}$，求证$\tan^2 \gamma = \tan \alpha \tan \beta$。

$15.$ 已知正方形$ABCD$的边长为$1$，$P,Q$分别是$AD,AB$上的点，$\triangle APQ$的周长为$2$，求$\angle PCQ$。

$16.$ 在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$D$是$BC$的中点，点$E$是从点$D$作$AC$的垂线的垂足，点$F$是$DE$的中点，证明$AF \perp BE$。

$17.$ 已知点$P$是$\triangle ABC$内一点，且$\displaystyle \overrightarrow{AP} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$，则$\triangle ABP$和$\triangle ABC$的面积之比为？

$18.$ 在$Rt\triangle ABC$中，斜边$BC=a$，若长为$2a$的线段$PQ$以$A$为中点，问$\overrightarrow{PQ}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角$\theta$取何值时，$\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{CQ}$的值最大，并求出这个最大值。

$19.$ 已知$\triangle ABC$三内角满足$2B=A+C$，求$\sin^2 A + \sin^2 C$的取值范围。

$20.$ 已知$f(\theta) = \cos^2 \theta + \cos^2 (\theta + \alpha) + \cos^2 (\theta + \beta)$，是否存在满足$0\le \alpha < \beta < \pi$的$\alpha, \beta$使得$f(\theta)$的取值不随$\theta$的变化而变化，如果存在，求出$\alpha, \beta$的值，若不存在，请说明理由。

$21.$ 已知非零向量$\vec a, \vec e$, 满足$\vec a \ne \vec e$，且对任意的$t \in \mathbb{R}$，有$|\vec a - t \vec e| \ge |\vec a - \vec e|$，证明$\vec e \perp (\vec a - \vec e)$。

$22.$ 已知$P$是$\triangle ABC$内一点，且满足$\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {PB} + 3\overrightarrow {PC} = \vec 0$，记$\triangle ABP, \triangle BCP, \triangle CAP$的面积依次为$S_1,S_2,S_3$，则$S_1:S_2:S_3=?$

$23.$ $\triangle ABC$内接于以点$O$为圆心，$1$为半径的圆，$3 \overrightarrow{OA} + 4 \overrightarrow{OB} + 5 \overrightarrow{OC} = 0$，求
（1）$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}$；
（2）三角形$ABC$的面积。

$24.$ 在四面体$ABCD$中，如果$AB \perp CD, DB \perp AC$，证明$DA \perp BC$。

$25.$ 一条直线上有三点$A,B,C$，点$C$在$A,B$之间，点$P$是此直线外一点，设$\angle APC=\alpha, \angle BPC=\beta$，证明$\displaystyle \frac{\sin (\alpha + \beta)}{PC} = \frac{\sin \alpha}{PB} + \frac{\sin \beta}{PA}$。

$26.$ 圆内接四边形$ABCD$的边长分别为$AB=2,BC=6,CD=DA=4$，求四边形的面积。

$27.$ 一三角形的三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的两倍，求该三角形的三边长。

$28.$ 设空间中两个不同的向量$\vec a = (x_1,y_1,0)$和$\vec b = (x_2,y_2,0)$与向量$\vec c=(1,1,1)$的夹角都为$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，求向量$\vec a$与$\vec b$的夹角。

$29.$ 如图，$\alpha-l-\beta$为$60^\circ$的二面角，等腰直角三角形$MPN$的直角顶点$P$在$l$上，$M \in \alpha, N \in \beta$，且$MP$与$\beta$所成角等于$NP$与$\alpha$的成角，
证：（1）$MN$ 与 $\alpha, \beta$ 所成角相等；
（2）求$MN$与$\beta$所成角。

$30.$ 已知数集$A = \{a_1, a_2, \cdots, a_n\}(1 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_n, n>=2)$具有性质$P$，即对任意$i,j(1 \le i \le j \le n)$，$a_ia_j$和$\displaystyle \frac{a_j}{a_i}$至少有一个属于$A$，
证：（1）$a=1, \displaystyle \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{a_1^{-1} + a_2^{-1} + \cdots + a_n^{-1}} = a_n$；
（2）当$n=5$时，$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$成等比数列。

$31.$ 已知$\vec i$和$\vec j$分别是$x,y$轴方向上的单位向量，$\overrightarrow{OA_1} = \vec j, \overrightarrow{OA_2} = 10 \vec j, \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = 3 \overrightarrow{A_nA_{n+1}}(n=2,3,4,\cdots)$，在射线$y=x(x \ge 0)$上，从下到上依次有点$B_k(k=1,2,3,\cdots), \overrightarrow{OB_1} = 3 \vec i + 3 \vec j$，且$|\overrightarrow{B_{n-1}B_n}| = 2 \sqrt {2} (n=2,3,4,\cdots)$，
（1）求$\overrightarrow{OA_n}, \overrightarrow{OB_n}$；
（2）求四边形$A_nA_{n+1}B_nB_{n+1}$面积的最大值。

$32.$ 已知一簇椭圆$\displaystyle C_n: x^2 + \frac{y^2}{b_n^2} = 1, 0 < b_n < 1, n=1,2,\cdots$，若椭圆$C_n$上有一点$P_n$，使得$P_n$到右准线$l_n$的距离$d_n$是$|P_nF_n|$与$|P_nG_n|$的等差中项，其中$F_n, G_n$是$C_n$的左右焦点；
（1）试证$\displaystyle b_n \le \frac{\sqrt 3}{2} (n \ge 1)$
（2）取$\displaystyle b_n = \frac{\sqrt {2n + 3}}{n+2}$，并用$S_n$表示$\triangle P_nF_nG_n$的面积，试证$S_1 < S_2$，且$S_n > S_{n+1} (n \ge 3)$

$33.$ 已知抛物线$C: y^2 = 4x$，焦点$F$，准线与$x$轴交于点$A$，过点$A$且斜率为$k$的直线$l$与抛物线$C$交于$P,Q$两点；
（1）求满足$\overrightarrow {FR} = \overrightarrow{FP} + \overrightarrow{FQ}$的点$R$的轨迹方程；
（2）若$\angle PFQ$为钝角，求直线$l$的斜率$k$的取值范围。

$34.$ 设椭圆中心在坐标原点，$A(2,0), B(0,1)$是它的两个顶点，直线$y=kx (k>0)$与$AB$相交于点$D$，与椭圆相交于$E,F$两点，
（1）若$\overrightarrow{ED} = 6 \overrightarrow{DF}$，求$k$的值；
（2）求四边形$AEBF$面积的最大值。

$35.$ 设$A,B$是椭圆$3x^2+y^2=\lambda$上的点，点$N(1,3)$是$AB$的中点，$AB$的垂直平分线与椭圆相交于$C,D$两点；
（1）确定$\lambda$的取值范围，并求$AB$的方程；
（2）试判断是否存在这样的$\lambda$，使$A,B,C,D$四点共圆。

$36.$ 已知椭圆的焦点在$x$轴上，以$O$为中心；斜率为$1$过椭圆右焦点$F$的直线交椭圆于$A,B$两点，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$与$\vec a = (3, -1)$共线；
（1）求椭圆的离心率；
（2）设$M$为椭圆上一点，且$\overrightarrow{OM} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}(\lambda, \mu \in \mathbb{R})$，求证$\lambda^2 + \mu^2$为定值。

$37.$ 已知椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，直线$y = kx + m$与椭圆相交于$A,B$两点（$A,B$不是左右顶点），且以$AB$为直径的圆过椭圆的右顶点，求证直线过定点。

$38.$ 圆$x^2 + y^2 = 4$与$y$轴的两个交点分别为$A,B$，以$A,B$为焦点，坐标为对称轴的双曲线与圆在$y$轴左方的交点分别为$C,D$，当梯形$ABCD$的周长最大时，求双曲线的方程。

$39.$ 过抛物线$y^2 = 2x$的顶点作互相垂直的两条弦$OA,OB$，
（1）求$AB$中点轨迹方程；
（2）证明$AB$过定点。

$40.$ 抛物线$y^2 = 2px(p>0)$的焦点为$F$，过$F$的直线与抛物线交于$A,B$两点，点$C$在其准线上，且$BC \parallel x$轴，求证直线$AC$经过原点$O$。

$41.$ 二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c (a < b)$的值域为$[0, +\infty)$，则$\displaystyle \frac{b - a}{a + b + c}$的最大值为？

$42.$ 椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{3} + y^2 = 1$与直线$y = kx + m (k \ne 0)$相交于不同两点$M,N$，已知$A(0,-1)$，当$|AM| = |AN|$时，
求证：（1）$MN$的中点的纵坐标为定值。
（2）$\displaystyle \frac{1}{2} < m < 2$。

$43.$ 边长为等差数列$1,3,5,7,\cdots$的项一些等边三角形放置在同一条直线上，求证：它们的顶点在同一个抛物线上且各顶点到此抛物线的焦点的距离为整数。

$44.$ 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分，它的方程为$x^2 = 2y (0 \le y \le 20)$，在杯内放一个玻璃球，要使球触及杯的底部，则玻璃球的半径$r$的取值范围为？

$45.$ 设抛物线$y^2 = 2px (p>0)$的轴和它的准线交于点$E$，进过焦点$F$的直线交抛物线于$P,Q$两点（直线$PQ$不与轴垂直），求证$\angle FEP = \angle QEF$。

$46.$ 抛物线$y^2 = 2px (p>0)$的动弦$AB$长为$a(a \ge 2p)$，则$AB$的中点$M$到$y$轴的最短距离为？

$47.$ 已知抛物线$y^2 = 8x$上的两个动点$A,B$及一个定点$M(x_0,y_0)$，$F$是抛物线的焦点，且$|AF|,|MF|,|BF|$构成等差数列，线段$AB$的垂直平分线与$x$轴交于一点$N$，则$N$的坐标为？（用$x_0$表示）

$48.$ 已知$A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) (x_1x_2 \ne 0)$是抛物线$y^2 = 2px (p>0)$上的两个动点，$O$是坐标原点，$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$，设圆$C$的方程为$x^2+y^2 - (x_1+x_2)x - (y_1+y_2)y = 0$，
（1）求圆心$C$的轨迹方程；
（2）当圆心$C$到直线$x - 2y = 0$的距离最小值为$\displaystyle \frac{2\sqrt 5}{5}$时，求抛物线的方程。

$49.$ 已知动圆$C$过定点$\displaystyle (\frac{p}{2}, 0)$且与直线$\displaystyle x = - \frac{p}{2}$相切，其中$p>0$，
（1）求圆$C$的圆心轨迹方程；
（2）设$A,B$是轨迹$C$上异于原点$O$的两个不同点，直线$OA$和$OB$的倾斜角分别是$\alpha, \beta$，且$\displaystyle \alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$，证明直线$AB$恒过定点。

$50.$ 已知抛物线$C: x^2 = 2py (p>0)$上一点$A(m, 4)$到其焦点的距离为$\displaystyle \frac{17}{4}$，
（1）求$p,m$的值；
（2）设抛物线$C$是一点$P$的横坐标为$t(t>0)$，过$P$的直线交抛物线于另一点$Q$，交$x$轴于点$M$，过点$Q$作$QP$的垂线交抛物线$C$于另一点$N$，若$MN$是抛物线的切线，求$t$的最小值。

$51.$ 已知抛物线$y = x^2 - 1$上一定点$A(-1,0)$和两动点$P,Q$，当$PA \perp PQ$时，点$Q$的横坐标的取值范围为？

$52.$ 过抛物线$y^2 = 4x$的焦点作弦$AB$，$M$为$AB$的中点，则$M$到直线$x-y = 0$的最短距离为？

$53.$ 抛物线$x^2 = 2y$上距离$A(0, a)(a > 0)$最近的点恰好是顶点，则$a$的取值范围为？

$54.$ 设抛物线的方程$x^2 = 2py (p>0)$，$M$为直线$y = -2p$上任意一点，过$M$引抛物线的切线，切点分别为$A,B$，
（1）求证$A,M,B$三点的横坐标成等差数列；
（2）已知$M(2, -2p)$时，$|AB| = 4\sqrt {10}$，求抛物线的方程；
（3）是否存在点$M$使得点$C$关于直线$AB$对称的点$D$在抛物线上，其中点$C$满足$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$($O$为坐标原点)，若存在，求出所有符合题意的点$M$的坐标；若不存在，请说明理由。

$55.$ 已知$P$是双曲线$\displaystyle E: \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1 (a>0)$上的任意一点，$F_1,F_2$分别是其左右焦点，过其中一焦点作$\angle F_1PF_2$的内角平分线的垂线，垂足为$M$，点$M$的轨迹范围曲线$C$，求曲线$C$的方程。

$56.$ 已知椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} (a>b>0)$，$F_1,F_2$分别是左右焦点，若椭圆上存在点$P$，使得$\angle F_1PF_2 = 90^\circ$，求椭圆离心率$e$的取值范围。

$57.$ 已知双曲线$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0)$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，若双曲线上存在点$P$使得$\displaystyle \frac{\sin \angle PF_1F_2}{\sin \angle PF_2F_1} = \frac{a}{c}$，则双曲线的离心率$e$的取值范围为？

$58.$ 已知椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} (a>b>0)$的左右焦点$F_1F_2$，离心率$\displaystyle e = \frac{\sqrt 2}{2}$，右准线方程为$x = 2$，
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点$F_1$的直线$l$与该椭圆交于$M,N$两点，且$\displaystyle |\overrightarrow{F_2M} + \overrightarrow{F_2N}| = \frac{2\sqrt {26}}{3}$，求直线$l$的方程。

$59.$ 已知双曲线$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0)$的两个焦点分别为$F_1,F_2$，$P$是渐近线一点，且$PF_1 \perp PF_2, |PF_1|\cdot |PF_2| = 6ab$，则双曲线的离心率为？

$60.$ 已知$AB$是过抛物线$y^2 = 2px (p>0)$的焦点$F$的弦，$M$是$AB$的中点，$l$是抛物线的准线，$AC \perp l, BD \perp l, MN \perp l$，$C,D,N$是垂足，则$(1) CF \perp DF, (2) CM \perp DM, (3) AN \perp BN, (4) NF \perp AB$中正确的有哪些？并证明。

$61.$ 设直线$l: x = my + n (m \ne 0)$交椭圆$\displaystyle C: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$于$A,B$两点
且坐标原点到直线$l$的距离为$1$；
（1）求$|AB|$的最大值；
（2）当$|AB|$取最大值时，直线$l$是否过椭圆的一个焦点？

$62.$ 椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b >0)$上的点$M$与椭圆右焦点$F_1$的连线$MF_1$与$x$轴垂直，且$OM$($O$是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线$AB$平行；
（1）求椭圆的离心率；
（2）$F_2$是椭圆的左焦点，$C$是椭圆上任意一点，证明$\displaystyle \angle F_1CF_2 \le \frac{\pi}{2}$；
（3）过$F_1$且与$AB$垂直的直线交椭圆于$P,Q$两点，若$\triangle PF_2Q$的面积为$20\sqrt 3$，求此时椭圆的方程。

$63.$ 已知函数$f(x) = x^3 + \sin x (x \in [-\pi, \pi])$的最小值$M$，则$f(x)$的最大值为？

$64.$ 非零向量$\overrightarrow{OA} = \vec a, \overrightarrow{OB} = \vec b$，若点$B$关于$\overrightarrow{OA}$所在直线对称点为$B_1$，则向量$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB_1}$为？

$65.$ 已知向量$\displaystyle \vec a = (\lambda + 2, \lambda^2 - \cos^2 \theta), \vec b = (m, \frac{m}{2}+\sin \theta)$（其中$\lambda, m, \theta \in \mathbb{R}$），且$\vec a = 2 \vec b$，求$\displaystyle \frac{\lambda}{m}$的取值范围。

$66.$ 求函数$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x}$的最大和最小值。

$67.$ $O$为$\triangle ABC$的外心，$H$为$\triangle ABC$的垂心，求证$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$。

$68.$ $O$是$\triangle ABC$内一点且$\overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} + 2 \overrightarrow{OC} = \vec 0$，则$\triangle ABC$的面积与凹四边形$ABCD$的面积之比为？

$69.$ 设$A_1,A_2,\cdots,A_n$是单位圆上任意$n$个点，求证在该圆上至少可以找打一个点$M$，使$|\overrightarrow{MA_1} + \overrightarrow{MA_2} + \cdots + \overrightarrow{MA_n}| \ge n$。

$70.$ $O$为平面上一点，$P,Q,R$是平面上不共线的三点，动点$M$点满足$\displaystyle \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OP} + k \left( \frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|} + \frac{\overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PR}|} \right), k \in [0, +\infty)$，则$M$的轨迹一定通过$\triangle PQR$的__心？（内 外 垂 重）

$71.$ 已知$H$是面积为$2$的$\triangle ABC$的重心，并且$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BC} = 4$，求$\angle ABC$。

$72.$ 点$P$是$\triangle ABC$内一点，且$\overrightarrow{PA} + 2 \overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \vec 0$，则$\triangle ABC$与$\triangle APC$的面积之比为？

$73.$ 在$\triangle ABC$中，$O$为中线$AM$上一动点，若$AM = 2$，则$\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$的最小值为？

$74.$ 已知$\displaystyle \sin \alpha + \sin \beta = \frac{\sqrt 2}{2}$，求$\cos \alpha + \cos \beta$的取值范围。

$75.$ 求$(1+\tan 1^\circ)(1+\tan 2^\circ)(1 + \tan 3^\circ)\cdots(1 + \tan 45^\circ)$的值。

$76.$ 已知$\sin (\alpha + 2\beta) = 2 \sin \alpha$，求$\displaystyle \frac{\tan (\alpha + \beta)}{\tan \beta}$的值。

$77.$ 对任意的锐角$\alpha, \beta$，下列命题中正确的有？
（1）$\sin (\alpha + \beta) > \sin \alpha + \sin \beta$；
（2）$\sin (\alpha + \beta) > \cos \alpha + \cos \beta$；
（3）$\cos (\alpha + \beta) > \sin \alpha + \sin \beta$；
（4）$\cos (\alpha + \beta) > \cos \alpha + \cos \beta$。

$78.$ 已知$\displaystyle \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}$，则$\cos \alpha \sin \beta$的取值范围是？

$79.$ 已知$5 \sin 2\alpha = \sin 2^\circ$，求$\displaystyle \frac{\tan (\alpha + 1^\circ)}{\tan (\alpha - 1^\circ)}$。

$80.$ 求$\cos 20^\circ cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ$。

$81.$ 求（1）$\displaystyle \cos \frac{\pi}{11} \cos \frac{2\pi}{11} \cos \frac{3\pi}{11} \cos \frac{4\pi}{11} \cos \frac{5\pi}{11}$；
（2）$\displaystyle \cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{5\pi}{8} + \cos^4 \frac{7\pi}{8}$；
（3）$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7}$。

$82.$ 求$\cos^2 36^\circ + \sin^2 18^\circ$的值。

$83.$ 试问是否存在同时满足下列条件的非零向量$\vec a, \vec b$，
（1）$|\vec a| > |\vec b|$；
（2）$\vec a$与$\vec b$不垂直；
（3）$|\vec a + \vec b| = |\vec a - \lambda \vec b|$，其中$\lambda$为确定的整数。
若存在，试给出$\vec a$和$\vec b$所满足的条件，若不存在，则说明理由。

$84.$ 已知$A,B,C$是$\triangle ABC$的三个内角，$\displaystyle y = \tan \frac{A}{2} + \frac{2 \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{B-C}{2}}$，若任意交换两个角的位置$y$的值是否变化？

$85.$ 已知$\log_2 \sin 2x = \sin 2 \theta$，求证$\displaystyle \log_2 (\tan x + \cos x) = 2 \cos^2 (\frac{\pi}{4} + \theta)$。

$86.$ 已知$0 < \alpha < \pi$，证明$\displaystyle 2 \sin 2\alpha \le \cot \frac{\alpha}{2}$，并讨论$\alpha$为何值时，等号成立。

$87.$ 已知$\displaystyle \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = 5 + 2 \sqrt 6$，求$\displaystyle \frac{1 - \sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha}$。

$88.$ 求$\displaystyle \sin^4 \frac{\pi}{16} + \sin^4 \frac{3\pi}{16} + \sin^4 \frac{5\pi}{16} + \sin^4 \frac{7\pi}{16}$。

$89.$ 求$\sin^2 10^\circ + \cos^2 40^\circ + \sin 10^\circ \cos 40^\circ$。

$90.$ 设$\alpha$是第四象限角，若$\displaystyle \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = \frac{13}{5}$，则$\tan 2\alpha=$？

$91.$ 已知$\tan^2 x + \cot^2 x = 4$，则$\displaystyle \frac{3 + \cos 4x}{1 - \cos 4x}=$?

$92.$ 求$\displaystyle \frac{\sqrt 3 \tan 12^\circ - 3}{(4\cos^2 12^\circ - 2)\sin 12^\circ}$。

$93.$ 在$\triangle ABC$中，$a,b, c$分别是角$A,B,C$的对边，$\displaystyle a^2 - c^2 = b^2 - \frac{8}{5}bc, a = 3, S_{\triangle ABC} = 6$，若$\triangle ABC$内任一点$D$到三边距离之和为$d$，求$d$的取值范围。

$94.$ $f(x) = \sin x + \tan x$，项数为$27$的等差数列$\{a_n\}$满足$\displaystyle a_n \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$且公差$d \ne 0$，若$f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_{27}) = 0$，则当$k$为多少时，$f(a_k) = 0$。

$95.$ 设函数$f(x) = x - x \ln x$，数列$\{a_n\}$满足$0 < a_1 < 1, a_{n+1} = f(a_n)$；
证明：（1）函数$f(x)$在区间$(0,1)$上是增函数；
（2）$0 < a_n < a_{n+1} < 1$。

$97.$ 已知$Rt\triangle ABC$中, $\angle A = 90^\circ, AB = 1, BC=2$，$D$为$BC$的中点，将$\triangle ABD$沿$AD$折起，使点$B$在面$ADC$所在平面的投影$E$在$AC$上；
（1）求证：$CD \perp$平面$BDE$；
（2）求二面角$B-AD-C$的余弦值；
（3）求$AB$与平面$BDE$所成的角。

$98.$ 设$A,B,C,D$是空间不共面四点，$AB \perp AC, AD \perp AC, AB \perp AD$，则$\triangle BCD$是__三角形。（锐角，直角，钝角）

$99.$ 在平面直角坐标系$xOy$中，过双曲线$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a>0, b>0)$的左焦点$F$作圆$x^2 + y^2 = a^2$的一条切线（切点为$T$），交双曲线的右支于点$P$，若$M$为$FP$的中点，则$|OM| - |MT|=$（用$a,b$）表示。

$100.$ 在数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 0, a_2 = 6$，且$a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6 a_n$；
（1）求$\{a_n\}$的通项公式；
（2）设$m$是一个正数，无论$m$为何值时，是否都有一个正整数$n$，使$\displaystyle \left|\frac{a_{n_1}}{a_b} - 3 \right| < m$恒成立。