微积分在几何上的应用一：弧长，旋转曲面的面积与体积

定理1

设$\mathbb{R}^2$上的曲线$\Gamma$由极坐标方程

$$r = r(\theta) \quad (\boldsymbol{\alpha} \le \theta \le \boldsymbol{\beta})$$

表示，从而由此曲线和射线

$$\theta = \alpha, \quad \theta = \beta$$

围城的区域的面积$S$为

$$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 (\theta) \mathrm{d}(\theta)$$

证：对$\theta$的变化范围$[\alpha, \beta]$作一分割

$$\alpha = \theta_1 < \theta_2 < \cdots < \theta_n = \beta$$

任取$\xi_i \in [\theta_{i-1}, \theta_{i}] (i=1,2,\cdots,n)$，从而夹在$\theta = \theta_{i-1}, \theta = \theta_i$与$r = r(\theta)$之间的区域的面积，在$\Delta \theta_i = \theta_{i} - \theta_{i-1}$很小时可表示为

$$\Delta S_i \approx \frac{1}{2} r^2(\theta_{i}) \Delta \theta_i$$

令$\max \limits_{1 \le i \le n} \Delta \theta_i \to 0$，得到

$$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 (\theta) \mathrm{d}(\theta)$$

Q.E.D.

引理1

设$x(t), y(t), z(t)$在$[\alpha, \beta]$上有连续的导函数，取$t$的一个分割

$$\pi: \alpha = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = \beta$$

那么有

$$\lim \limits_{\Vert \pi \Vert \to 0} \sum_{i=1}^n \sqrt{(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\eta_i))^2 + (z^\prime(\zeta_i))^2} \Delta t_i= \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2 + (z^\prime(t))^2} \mathrm{d}t$$

其中$\xi_i, \eta_i, \zeta_i$分别为$x, y, z$函数的值点，即$\xi_i,\eta_i,\zeta_i \in [t_{i-1}, t_i]$。

证： 由三角不等式

$$| \Vert \boldsymbol{a} \Vert - \Vert \boldsymbol{b} \Vert| \le \Vert \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} \Vert$$

得

$$\begin{aligned} & \left| \sqrt {(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\xi_i))^2 + (z^\prime(\xi_i))^2} - \sqrt {(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\eta_i))^2 + (z^\prime(\zeta_i))^2} \right| \\ & \le \sqrt {(y^\prime(\xi_i) - y^\prime(\eta_i))^2 + (z^\prime(\xi_i) - z^\prime(\zeta_i))^2} \\ & \le |y^\prime(\xi_i) - y^\prime(\eta_i)| + |z^\prime(\xi_i) - z^\prime(\zeta_i)| \end{aligned}$$

由于$y^\prime(t)$与$z^\prime(t)$在$[\alpha, \beta]$上连续，从而一致连续，因此对任意的$\varepsilon > 0$，存在$\delta_1 > 0$，当$\Vert \pi \Vert < \delta_1$时，

$$\left\{ \begin{aligned} |y^\prime(\xi_i) - y^\prime(\eta_i)| < \frac{\varepsilon}{4(\beta - \alpha)} \\ |z^\prime(\xi_i) - z^\prime(\zeta_i)| < \frac{\varepsilon}{4(\beta - \alpha)} \\ \end{aligned} \right.$$

对$i=1,2,\cdots,n$都成立，令

$$\begin{aligned} I = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2 + (z^\prime(t))^2} \mathrm{d}t \\ S = \sum_{i=1}^n \sqrt {(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\xi_i))^2 + (z^\prime(\xi_i))^2} \Delta t_i \end{aligned}$$

由积分的定义可知，对上述$\varepsilon$，存在$\delta_2 > 0$，当$\Vert \pi \Vert \le \delta_2$时，有

$$|S - I| < \frac{\varepsilon}{2}$$

而不论$\xi_i \in [t_{i-1}, t_i] (i=1,2,\cdots,n)$如何选取，当$\Vert \pi \Vert < \min(\delta_1, \delta_2)$时，有

$$\begin{aligned} & |\sum_{i=1}^n \sqrt {(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\eta_i))^2 + (z^\prime(\zeta_i))^2} \Delta t_i- I| \\ & \le |\sum_{i=1}^n \sqrt {(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\eta_i))^2 + (z^\prime(\zeta_i))^2} \Delta t_i - S| + |S - I| \\ & < \sum_{i=1}^n (|y^\prime(\xi_i) - y^\prime(\eta_i)| + |z^\prime(\xi_i) - z^\prime(\zeta_i)|) \Delta t_i + \frac{\varepsilon}{2} \\ & < \left( \frac{\varepsilon}{4(\beta - \alpha)} + \frac{\varepsilon}{4(\beta - \alpha)} \right) \sum_{i=1}^n \Delta t_i + \frac{\varepsilon}{2} \\ & = \varepsilon \end{aligned}$$

Q.E.D.

定理2

设$\mathbb{R}^3$的曲线$\Gamma$的参数方程为

$$\left\{ \begin{aligned} x = x(t), \\ y = y(t), \\ z = z(t), \end{aligned} \right. \quad (\alpha \le t \le \beta)$$

或用向量形式表示为

$$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) \quad (\alpha \le t \le \beta)$$

其中$x(t), y(t), z(t)$在$[\alpha, \beta]$上有连续的导数，点$A = \boldsymbol{r}(\alpha)$与$B = \boldsymbol{r}(\beta)$分别是$\Gamma$的起点与终点。则该曲线的弧长公式为

$$s(\Gamma) = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2 + (z^\prime(t))^2} \mathrm{d}t$$

证：沿$A$到$B$的方向在$\Gamma$上取$n+1$个点：

$$A = A_0, A_1, A_2, \cdots, A_n = B$$

并把这$n$条线段之和$\sum_{i=1}^n |A_{i-1}A_i|$作为$\Gamma$弧长的一个近似值，可知当分割点越来越细时，近似值的极限就是弧长。设点$A_i$对应着参数值$t_i (i=0,1,2,\cdots,n)$，则

$$\alpha = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = \beta$$

记为分割$\pi$，从而

$$\begin{aligned} |A_{i-1}A_i| &= \Vert \boldsymbol{r}(t_i) - \boldsymbol{r}(t_{i-1}) \Vert \\ &= \sqrt {((x(t_i) - x(t_{i-1}))^2 + (y(t_i) - y(t_{i-1}))^2 + (z(t_i) - z(t_{i-1}))^2)} \\ &= \sqrt {(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\eta_i))^2 + (z^\prime(\zeta_i))^2} \Delta t_i \end{aligned}$$

其中$\xi_i,\eta_i, \zeta_i \in (t_{i-1}, t_i)$，又由于$x^\prime, y^\prime, z^\prime$都是连续函数，所以存在一个常数$K$，使得

$$|A_{i-1}A_i| \le K \Delta t_i \le K \Vert \pi \Vert$$

所以

$$\max \limits_{1 \le i \le n} | A_{i-1}A_i | \le K \Vert \pi \Vert$$

这表明，将分割$\pi$无限加细，对应的曲线$\Gamma$上的分割也会无限加细，从而$\Gamma$的弧长为

$$\lim \limits_{\Vert \pi \Vert \to 0} \sum_{i=1}^n \sqrt{(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\eta_i))^2 + (z^\prime(\zeta_i))^2} \Delta t_i$$

再由引理1可知，弧长

$$S(\Gamma) = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt {(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2 + (z^\prime(t))^2} \mathrm{d} t$$

Q.E.D.

定理3

（1）设$y = f(x) \ge 0$是区间$[a,b]$上的一条连续曲线，让这条曲线绕$x$轴旋转一周，得到的旋转体的体积公式为

$$V = \pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x$$

（2）设曲线$\Gamma$

$$x= x(t), y = y(t) \quad (\alpha \le t \le \beta)$$

是一条在上半平面不自交的$C^1$类曲线，让这条曲线绕$Ox$轴旋转一周，生成的旋转曲面的面积为

$$S = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \sqrt {(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2} \mathrm{d} t$$

 b

证：（1）作区间$[a,b]$的一个分割

$$\pi: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$$

将旋转体介于平面$x = x_{k-1}, x= x_{k}$之间的体积记为$V_k$，任取$\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]$，则

$$V_k \approx \pi f^2(\xi_k) \Delta x_k$$

从而

$$V = \lim \limits_{\Vert \pi \Vert \to 0} \sum_{k=1}^n \pi f^2(\xi_k) \Delta x_k = \pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x$$

（2）在$\Gamma$上取$n+1$个点

$$A_0,A_1,\cdots,A_n$$

从而对应的参数区间$[\alpha, \beta]$也有分点

$$\alpha = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = \beta$$

这时曲线上的第$i$段$A_{i-1}A_i$的弧长可近似为

$$\sqrt {(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\eta_i))^2} \Delta t_i$$

其中$\xi_i, \eta_i \in [t_{i-1}, t_i]$，由这段曲线弧旋转而成的曲面面积可表示为

$$\Delta S_i \approx 2 \pi y(\zeta_i) \sqrt {(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\eta_i))^2} \Delta t_i$$

其中$\zeta_i \in [t_{i-1}, t_i]$，所以旋转曲面的总面积可表示为

$$S \approx \sum_{i=1}^n 2\pi y(\zeta_i) \sqrt {(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\eta_i))^2} \Delta t_i$$

当$\Vert \pi \Vert \to 0$时，利用类似引理1的证法，可得

$$S = \lim \limits_{\Vert \pi \Vert \to 0} \sum_{i=1}^n 2\pi y(\zeta_i) \sqrt {(x^\prime(\xi_i))^2 + (y^\prime(\eta_i))^2} \Delta t_i = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \sqrt {(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2} \mathrm{d} t$$

Q.E.D.