函数极限七：向量值函数的连续与一致连续

定义1：向量值函数

设$D \subset \mathbb{R}^n$，定义$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$为向量值函数，其中$D$称为$\boldsymbol{f}$定义域，$f(D)$称为值域。当用$\boldsymbol{y} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x} \in D)$来表示这种映射时，$\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^m$。按分量形式写出$\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n), \boldsymbol{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_m)$，那么该映射函数相当于给定了$m$个$n$元函数：

$$\left\{ \begin{aligned} & y_1 = f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\ & y_2 = f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n) \quad (x_1,x_2,\cdots,x_n) \in D \subset \mathbb{R}^n \\ & \cdots \\ & y_m = f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n) \end{aligned} \right.$$

反过来也成立。也就是说，如果给定了$m$个定义在$D \subset \mathbb{R}^n$上的函数，就相当于给定了定义在$D$上，映射到$\mathbb{R}^m$中的一个映射，或者说在$D$上定义了一个在$\mathbb{R}^m$中取值的向量值函数。这一事实表示为

$$\boldsymbol{f} = (f_1,f_2,\cdots,f_m)$$

其中$f_i: D \to \mathbb{R}$称为$\boldsymbol{f}$的第$i$个分量函数$(i=1,2,\cdots,m)$

定义2

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$，又设$\boldsymbol{a} \in D^\prime, \boldsymbol{p}\in \mathbb{R}^m$。如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$\boldsymbol{x} \in D$且$0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < \delta$时，有

$$\Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{p} \Vert < \varepsilon$$

则称映射$f$在点$\boldsymbol{a}$处有极限$p$，记为

$$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{p}$$

也可以简记为

$$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \to \boldsymbol{p} \quad (\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a})$$

定理1

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m,\boldsymbol{a} \in D^\prime, \boldsymbol{p}=(p_1,p_2,\cdots,p_m)\in \mathbb{R}^m, \boldsymbol{f} = (f_1,f_2,\cdots,f_m)$。那么

$$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{p}$$

当且仅当

$$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f_i(\boldsymbol{x}) = p_i \quad (i=1,2,\cdots,m)$$

证：必要性。因为$\Vert f_i(\boldsymbol{x}) - p_i \Vert \le \Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{p} \Vert \quad (i=1,2,\cdots,m)$，所以$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$\boldsymbol{x} \in D$且$0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < \delta$时，有

$$| f_i(\boldsymbol{x}) - p_i | \le \Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{p} \Vert < \varepsilon$$

这就表明

$$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f_i(\boldsymbol{x}) = p_i \quad (i=1,2,\cdots,m)$$

充分性。因为

$$\Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{p} \Vert \le \sum_{i=1}^m |f_i(\boldsymbol{x}) - p_i|$$

对$\varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < \delta$时，有$|f(\boldsymbol{x}_i) - p_i| < \varepsilon / m \quad(i=1,2,\cdots,m)$，所以

$$\Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{p} \Vert \le \sum_{i=1}^m |f_i(\boldsymbol{x}) - p_i| < m \cdot \frac{\varepsilon}{m} = \varepsilon$$

Q.E.D.

定理2

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}: D \to \mathbb{R}^m,\boldsymbol{a} \in D^\prime$，并且

$$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{p}，\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{q}$$

于是我们有：
（1）对任何$\lambda \in \mathbb{R}$，可以得出$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}}(\lambda \boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})) = \lambda \boldsymbol{p}$。
（2）$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} (\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) + \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})) = \boldsymbol{p} + \boldsymbol{q}$

证：利用不等式很容易证明。

Q.E.D.

定义3：连续映射

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m,\boldsymbol{a} \in D$。如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$\boldsymbol{x} \in D \cap B_\delta(\boldsymbol{a})$时，有$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \in B_\varepsilon(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}))$，则称映射$\boldsymbol{f}$在点$\boldsymbol{a}$处连续。当$\boldsymbol{f}$在$D$中的每一点都连续，称映射$f$在$D$上连续。

定理3

设$D$是$\mathbb{R}^n$中的开集，$\boldsymbol{f}:D \to \mathbb{R}^m$，$\boldsymbol{f}$在$D$上连续的充分必要条件是，对任意的$\mathbb{R}^m$上的开集$G$，$\boldsymbol{f}^{-1}(G)$是$\mathbb{R}^n$中的开集。这里

$$\boldsymbol{f}^{-1}(G) = \{ \boldsymbol{x} \in D : \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \in G \}$$

证：必要性。如果$\boldsymbol{f}^{-1}(G)$是空集，自然是开集；如果非空，任取$\boldsymbol{x}_0 \in \boldsymbol{f}^{-1}(G)$，则$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x_0}) \in G$，由于$G$是开集，从而存在$\varepsilon > 0$，使得$B_\varepsilon(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)) \subset G$。又因为$\boldsymbol{f}$在$\boldsymbol{x}_0$处连续，从而存在$\delta > 0$，使得当$\boldsymbol{x} \in B_\delta(\boldsymbol{x}_0)$时，有$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \in B_\varepsilon(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)) \subset G$，即$\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{f}^{-1}(G)$，从而$B_\delta(\boldsymbol{x}_0) \subset \boldsymbol{f}^{-1}(G)$。这就说明$\boldsymbol{f}^{-1}(G)$是开集。

充分性。任取$\boldsymbol{x}_0 \in D$，对任意小的$\varepsilon > 0$，取$G=B_\varepsilon(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0))$，可知$G$是开集，利用条件知$\boldsymbol{f}^{-1}(G)$也是开集。因为$\boldsymbol{x}_0 \in \boldsymbol{f}^{-1}(G)$，从而存在$\delta > 0$，使得$B_\delta(\boldsymbol{x}_0) \subset \boldsymbol{f}^{-1}(G)$。即对任意的$\boldsymbol{x} \in B_\delta(\boldsymbol{x}_0)$，有$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \in G = B_\varepsilon(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0))$。从而$\boldsymbol{f}$在$\boldsymbol{x}_0$处连续。由于$\boldsymbol{x}_0$是任取的，所以$\boldsymbol{f}$在$D$上连续。

定义4：一致连续映射

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$，如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta> 0$，使得当$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in D$且$\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \Vert < \delta$时，有$\Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}) \Vert < \varepsilon$，则称$\boldsymbol{f}$在$D$上一致连续。

定理4

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$是$D$上一致连续当且仅当$\boldsymbol{f}$的每一个分量函数在$D$上一致连续。

证：利用$|f_i(\boldsymbol{x}) - f_i(\boldsymbol{y})| \le \Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}) \Vert$，很容易证明。

Q.E.D.

定理5

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$是$D$上的连续映射。如果$D$是紧致集，那么$\boldsymbol{f}$在$D$上是一致连续的。

证：与函数极限六的定理1证法一样。

Q.E.D.

定理6

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$是$D$上的连续映射。如果$D$是$\mathbb{R}^n$中的连通集，那么$\boldsymbol{f}(D)$是$\mathbb{R}^m$中的连通集。

证：与函数极限六的定理4证法一样。

定理7

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$是$D$上的连续映射。如果$D$是$\mathbb{R}^n$中紧致集，那么$\boldsymbol{f}(D)$是$\mathbb{R}^m$中的紧致集。

证：与函数极限六的定理2证法一样。