函数极限四：初等连续函数与函数的上下极限

基本连续函数有哪些？这章来解答。

定理1

如果函数$f$与$g$在$x_0$处连续，那么$f \pm g$与$fg$都在$x_0$处连续，如果$g(x_0) \ne 0$，那么$f/g$也在$x_0$处连续。

证：利用极限的四则运算性质，易证。

Q.E.D.

定理2

设函数$g$在$t_0$处连续，记$g(t_0)$为$x_0$，如果函数$f$在$x_0$处连续，那么复合函数$f \circ g$在$t_0$处连续。

证：由题意可知，$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，$\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = g(t_0) = x_0$；

从而对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$；

当$x = x_0$时，$|f(x_0) - f(x_0)| = 0 < \varepsilon$，从而上述描述可以修改为当$|x - x_0| < \delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$；对于给定的$\delta > 0$，存在$\eta > 0$，使得当$0 <|t - t_0| < \eta$时，有$|g(t) - x_0| < \delta$，从而有$|f(g(t)) - f(x_0)| < \varepsilon$，所以$\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = f(x_0) = f(g(t_0))$。

Q.E.D.

定理3

设$f$是在区间$I$上严格递增（减）的连续函数，那么$f^{-1}$是$f(I)$上的严格递增（减）的连续函数。

证：由函数极限三的定理10可知，$J=f(I)$也是一个区间。不妨假设$f$在$I$严格递增，任取$y_0 \in J$，令$x_0 = f^{-1}(y_0)$，即$f(x_0) = y_0$，任意给定$\varepsilon > 0$，使得$x_0 - \varepsilon，x_0+\varepsilon \in I$，记

$$\begin{aligned} \delta_1 & = y_0 - f(x_0 - \varepsilon) > 0 \\ \delta_2 & = f(x_0 + \varepsilon) - y_0 > 0 \\ \delta & = \min(\delta_1, \delta_2) \end{aligned}$$

当$|y - y_0| < \delta$时，有

$$y_0 - \delta_1 \le y_0 - \delta < y < y_0 + \delta \le y_0 + \delta_2$$

由$f^{-1}$严格递增的性质，可知

$$f^{-1}(y_0 - \delta_1) \le f^{-1}(y_0 - \delta) < f^{-1}(y) < f^{-1}(y_0 + \delta) \le f^{-1}(y_0 + \delta_2)$$

即

$$x_0 - \varepsilon < f^{-1}(y) < x_0 + \varepsilon \Rightarrow |f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon$$

所以$f^{-1}$在$y_0$处连续。由于$y_0$是在$J$上任取的，从而$f^{-1}$在$J$上连续。

Q.E.D.

定理4：初等函数在它们各自的定义域上都是连续的。

证：在已证明定理1，2，3后；由于$f(x) = x$是连续函数，所以多项式函数也是连续函数；由于$f(x) = \sin x$是连续函数，从而三角函数是连续函数，反三角函数也是连续函数；由于$f(x)=x^n$是多项式，也是连续函数，所以$f^{-1}(x)=x^{1/n}$也是连续函数，从而对任何的有理数$r$，$x^r$在$[0, +\infty)$上是连续的；指数函数$a^x$，当$a>1$时，是连续函数，其反函数$\log_a x$是$(0,+\infty)$上的连续函数，从而指数函数和对数函数都是连续函数；对幂函数$f(x) = x^\mu (x>0, \mu 为任意实数)$，该函数可等价为$f(x) = e^{\mu \ln x}$指数函数，自然也是连续的。

将多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数以及由它们经过有限次的四则运算、有限次复合所形成的函数统称为初等函数。由上可知初等函数在其各自的定义域上都是连续函数。

Q.E.D.

定义1

记$\mathbb{R}_{\infty} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$；设函数$f$定义在$B_{\delta}(\check x_0)$上，令

$$E = \{ l \in \mathbb{R}_{\infty}: 存在数列x_n \in B_{\delta}(\check x_0), x_n \to x_0, 使得f(x_n) \to l \}$$

这是一个非空的集合。设$a^* = \sup E, a_* = \inf E$，分别称它们为$f$当$x \to x_0$时的上极限和下极限，分别记作

$$\limsup_{x \to x_0} f(x), \qquad \liminf_{x \to x_0} f(x)$$

对其他极限过程，例如$x \to x_0^{+}，x \to x_0^{-}，x \to -\infty， x \to +\infty$以及$x \to \infty$都可以类似的定义函数$f$的上极限和下极限。

定理5

设函数$f$定义在$I$上，那么：
（1）$a^* \in E$；
（2）若$y > a^*$，则存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，有$f(x) < y$；
（3）$a^*$是满足前述两条性质的唯一的数。

证：（1）若$a^* = +\infty$，则任何$n \in \mathbb{N}^*$，存在$l_n \in E$，使得$l_n > n$；由于$l_n$在$E$中，从而存在$x_n$，使得当$0 < |x_n - x_0| < 1/n$，有$f(x_n) > n$，这表明$x_n \in I$，$x_n \to x_0$时，$f(x_n) \to +\infty$，即$a^*=+\infty \in E$；

若$a^* = -\infty$，则$E = \{-\infty\}$，自然有$a^* \in E$；

若$a^*$为有限数，对任何$n \in \mathbb{N}^*$，存在$l_n \in E$，使得

$$a^* - \frac{1}{n} < l_n < a^* + \frac{1}{n}$$

从而存在$x_n$满足$0< |x_n - x_0| < 1/n$使得

$$a^* - \frac{1}{n} < f(x_n) < a^*+\frac{1}{n}$$

从而$x_n \in I$且$x_n \to x_0$时有$f(x_n) \to a^*$，即$a^* \in E$

（2）反证法。假设对任意的$n \in \mathbb{N}^*$，存在$x_n$，使得$0< |x_n - x_0| < 1/n$时，有$f(x_n)\ge y$，从而存在子列$\{k_n\}$，使得$f(x_{k_n}) \to y_1 (n \to \infty)$，此时有$y_1 \ge y > a^*$，且$y_1 \in E$，从而与$a^*$的定义矛盾。

（3）反证法。假设存在两个数$p$和$q$同时满足（1）与（2），不妨设$p < q$，选取$y$，满足$p < y < q$，由于$p$满足（2），从而存在$\delta > 0$，当$0 < |x - x_0| < \delta$，有$f(x) < y$，此时$q$不能满足（1）。

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定理6

设函数$f$定义在$I$上，那么：
（1）$a_* \in E$；
（2）若$y < a_*$，则存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，有$y < f(x)$；
（3）$a_*$是满足前述两条性质的唯一的数。

证：与定理5的证明几乎一样。

Q.E.D.

定理7

设$f,g$在$I$上有定义，$x_0 \in I$，那么：
（1）$\liminf \limits_{x \to x_0} f(x) \le \limsup \limits_{x \to x_0} f(x)$
（2）$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = a$当且仅当$\liminf \limits_{x \to x_0} f(x) = \limsup \limits_{x \to x_0} f(x) = a$；
（3）若当$x \in I$时，有$f(x) \le g(x)$成立，则

$$\liminf_{x \to x_0} f(x) \le \liminf_{x \to x_0} g(x)，\qquad \limsup_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x \to x_0} g(x)$$

证：（1）（2）有上极限与下极限的定义易证。下面只证明（3）中的第二个不等式，第一个不等式是类似的证明。
令

$$a^* = \limsup_{x \to x_0} f(x), \qquad b^* = \limsup_{x \to x_0} g(x)$$

存在子数列$x_n \in I$，且$x_n \to x_0$，使得$\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = a^*$，由于$f(x_n) \le g(x_n)$，从$\{x_n\}$中可以选取子列$\{x_{k_n}\}$，使得

$$\lim \limits_{n \to \infty} g(x_{k_n}) = b \ge a^* = \lim \limits_{n \to \infty} f(x_{k_n})$$

从而有$b^* \ge b \ge a^*$，即$b^* \ge a^*$。

Q.E.D.