函数导数十一：逆映射定理

定理1: 局部逆映射定理

设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^n$，满足：
（a）$\boldsymbol{f} \in C^1(D)$；
（b）有$\boldsymbol{x}_0 \in D$，使得

$$\det J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) \ne 0$$

记$\boldsymbol{y}_0 = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)$，那么存在$\boldsymbol{x}_0$的一个邻域$U$和$\boldsymbol{y}_0$的一个邻域$V$，使得
（1）$\boldsymbol{f}(U) = V$，且$\boldsymbol{f}$在$U$上是单射；
（2）记$\boldsymbol{g}$是$\boldsymbol{f}$在$U$上的逆映射，$\boldsymbol{g} \in C^1(V)$；
（3）当$\boldsymbol{y} \in V$时，

$$J\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}) = (J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1}$$

其中$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y})$。

证：令

$$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{y}$$

这个映射定义在$D \times \mathbb{R}^n$上，显然有$\boldsymbol{F} \in C^1(D \times \mathbb{R}^n)$，并且、

$$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0) = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) - \boldsymbol{y}_0 = \boldsymbol{0}$$

再由条件（b）可知，

$$\det J_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{F} (\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0) = \det J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) \ne 0$$

从而由函数导数十的定理3可知，存在$\boldsymbol{x}_0$的邻域$H$和$\boldsymbol{y}_0$的邻域$V$，其中$H \subset D$，使得对每一点$\boldsymbol{y} \in V$，方程$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{0}$即$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{y}$在$H$中有唯一解，记作$\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y})$，其中$\boldsymbol{g} \in C^1(V)$，并且当$\boldsymbol{y} \in V$时，

$$\begin{aligned} J\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}) &= -(J_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))^{-1}J_{\boldsymbol{y}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \\ &= -(J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1}(-\boldsymbol{I}_n) \\ &= (J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1} \end{aligned}$$

其中$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y})$。令$U = \boldsymbol{g}(V)$，可见$V = \boldsymbol{f}(U)$，$\boldsymbol{f}$与$\boldsymbol{U}$互为逆映射，最后证明$U$是开集，事实上有$U = H \cap \boldsymbol{f}^{-1}(V)$，由于$V$是开集且$\boldsymbol{f}$是连续映射，从而根据函数极限七的定理3知$\boldsymbol{f}^{-1}(V)$是开集，又英文$H$是开集，所以$U$也是开集。

定理2：逆映射定理

设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^n$，满足：
（a）$\boldsymbol{f} \in C^1(D)$；
（b）对每一个$\boldsymbol{x} \in D$，有$\det J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \ne 0$
那么$G = \boldsymbol{f}(D)$是一开集，又如果：
（c）$\boldsymbol{f}$是$D$上的单射，
那么：
（1）存在从$G$到$D$上的映射$\boldsymbol{f}^{-1}$，满足：对一切$\boldsymbol{y} \in G$，有

$$\boldsymbol{f} \circ \boldsymbol{f}^{-1}(\boldsymbol{y}) = \boldsymbol{y}$$

（2）$\boldsymbol{f}^{-1} \in C^1(G)$；
（3）

$$J\boldsymbol{f}^{-1}(\boldsymbol{y}) = (J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1} \quad (\boldsymbol{x} = J\boldsymbol{f}^{-1}(\boldsymbol{y}))$$

证：由于$\boldsymbol{f}$是单射，所以逆映射$\boldsymbol{f}^{-1}$必然存在，所以（1）成立；再由定理1可知，（2）（3）自然也成立。接下来只需证明$\boldsymbol{f}(D)$是开集，任取$\boldsymbol{y} \in G$，由定理1可知，存在$\boldsymbol{x}$的一个邻域$U$和$\boldsymbol{y}$的一个邻域$V$，使得$V = \boldsymbol{f}(U) \subset \boldsymbol{f}(D) = G$，即$\boldsymbol{y}$是$G$的内点，从而$G$是开集。

定义2：正则映射

设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^n$，满足以下三个条件：
（1）$\boldsymbol{f} \in C^1(D)$；
（2）$\boldsymbol{f}$是$D$上的单射；
（3）$\det J\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \ne 0$对一切$\boldsymbol{x} \in D$成立。
则称$\boldsymbol{f}$是$D$上的一个正则映射。