函数极限一：函数极限定义与基本性质

定义1：函数在某点处极限

设函数$f$在点$x_0$的近旁有定义，但$x_0$这一点自身可以是例外，设$l$是一个实数，如果对$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta>0$，使得对一切满足等式$0 < |x-x_0| < \delta$都有

$$|f(x) - l| < \varepsilon$$

则称当$x$趋于点$x_0$时函数$f$有极限$l$，记作

$$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l$$

也可以记作

$$f(x) \to l (x \to x_0)$$

定理1

函数$f$在$x_0$处有极限$l$的充分必要条件是，对任何一个收敛于$x_0$的数列$\{x_n \ne x_0 : n=1,2,3,\cdots\}$，有数列$\{f(x_n)\}$有极限$l$。

证：必要性。设$\lim \limits_{x \to x_0} f(x)= l$，则对任给的$\varepsilon>0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$，有$|f(x) - l| < \varepsilon$，对于取定的$\delta$，由于$\lim \limits_{n \to \infty} x_n = x_0$，所以存在$N \in \mathbb{N^+}$，使得当$n > N$时，有$0 < |x_n - x_0| < \delta$，从而有

$$|f(x_n) - l| < \varepsilon$$

所以$\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = l$。
充分性。反证法，假设$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l$不成立，即存在$\varepsilon_0 > 0$，使得对任意的正整数$n$，存在点$x_n$，使得当$0 < |x_n - x_0| < \frac{1}{n}$，有$|f(x_n) - l| \ge \varepsilon_0 > 0$，从而找到了一个数列$\{x_n \ne x_0: n=1,2,3,\cdots\}$，虽然它收敛于$x_0$，但是$\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) \ne l$。

定理2：函数极限唯一性

若$\lim \limits_{x \to x_0} f(x)$存在，则它是唯一的

证：若$\lim \limits_{x \to x_0} f(x)$存在，可知对任意收敛于$x_0$的数列$\{x_n \ne x_0 : n=1,2,3,\cdots\}$，有

$$\lim \limits_{n\to\infty} f(x_n) = \lim \limits_{x \to x_0} f(x)$$

而数列极限是唯一的，所以函数极限也是唯一的。
Q.E.D.

定理3

若$f$在$x_0$处有极限，则$f$在$x_0$的近旁是有界的，也就是说存在整数$M$，实数$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，有$|f(x)| < M$。

证：设$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l$。由函数极限定义可知，对$1 > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，有

$$|f(x) - l| < 1$$

从而有

$$|f(x)| \le |l| + |f(x) - l| < 1 + |l|$$

从而令$M = 1 + |l|$就满足条件了。
Q.E.D.

定理4：函数极限四则运算

设$\lim \limits_{x \to x_0} f(x)$与$\lim \limits_{x \to x_0}g(x)$存在，那么
（1）$\lim \limits_{x \to x_0} (f \pm g)(x) = \lim \limits_{x \to x_0} f(x) \pm \lim \limits_{x \to x_0} g(x)$
（2）$\lim \limits_{x \to x_0} fg(x) = \lim \limits_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim \limits_{x \to x_0} g(x)$
（3）$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f}{g}(x) = \frac{\lim \limits_{x \to x_0} f(x)}{\lim \limits_{x \to x_0} g(x)}$，其中$\lim \limits_{x \to x_0} g(x) \ne 0$

证：由定理1和数列极限的四则运算很容易证明
Q.E.D.

定理5：夹逼原理

设函数$f,g$与$h$在点$x_0$的近旁（点$x_0$自身可能是例外）满足不等式

$$f(x) \le h(x) \le g(x)$$

如果$f$与$g$在$x_0$处有相同的极限$l$，那么函数$h$在$x_0$处也有极限$l$。

证：由定理1和数列极限夹逼原理很容易证明
Q.E.D.

定理6

设存在$r>0$，使得当$0<|x-x_0|<r$时，有不等式$f(x) \le g(x)$恒成立，又设这两个函数$x_0$处都有极限，那么

$$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) \le \lim \limits_{x \to x_0} g(x)$$

证：由定理1和数列极限大小关系很容易证明
Q.E.D.

定理7：Cauchy收敛原理

函数$f$在$x_0$处有极限当且仅当对$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得对$\forall x_1,x_2 \in B_\delta(\check x_0)$，有$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。

证：必要性。设$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l$，可知对$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$x \in B_\delta(\check x_0)$时，有

$$|f(x) - l| < \frac{\varepsilon}{2}$$

所以任取$x_1,x_2 \in B_\delta(\check x_0)$，有

$$\begin{aligned} |f(x_1) - l| < \frac{\varepsilon}{2} \\ |f(x_2) - 1| < \frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$$

显然有

$$|f(x_1) - f(x_2)| < |f(x_1) - l| + |l - f(x_2)| < \varepsilon$$

充分性。设$\{x_n \ne x_0, n \in \mathbb{N^{*}}\}$是任意一个收敛于$x_0$的数列，可知对取定的$\delta$，存在$N \in \mathbb{N^+}$，使得当$m,n>N$时，有$0<|x_n - x_0| < \delta, 0<|x_m - x_0| < \delta$，此时有

$$|f(x_n) - f(x_m)| < \varepsilon$$

可知$\{f(x_n)\}$是基本列，由数列的Cauchy收敛原理可知，数列$\{f(x_n)\}$收敛，不妨设该数列收敛于$l_x$；
若能证明无论$\{x_n\}$怎么取，数列$\{f(x_n)\}$收敛于相同的点，则再由定理1可知，函数$f$在$x_0$出也收敛。不妨设$\{y_n\}$是另一个收敛于$x_0$的数列，自然数列$\{f(y_n)\}$也收敛，不妨设收敛于$l_y$，构造数列$\{z_n\}$：

$$x_1,y_1,x_2,y_2,\cdots,x_n,y_n,\cdots$$

可知$z_n \ne x_0(n \in \mathbb{N^+})$，且$z_n \to x_0( n \to \infty)$，可知数列$\{f(z_n)\}$也有极限，记为$l$，又因为$\{f(x_n)\}$和$\{f(y_n)\}$都是$\{f(z_n)\}$的子列，所以有

$$l_x = l_y = l$$

Q.E.D.

定理8

设$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l,\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = x_0$，如果在$t_0$的某个邻域$B_\eta(t_0)$内有$g(t) \ne x_0$，则

$$\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = l$$

证。由$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = l$，可知对$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，使得$0 < |x-x_0| < \delta$，有$|f(x) - l| < \varepsilon$；对给定的$\delta>0$，由$\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = x_0$，可知存在$\eta_1 > 0$，使得$0<|t - t_0| < \eta_1$时，有$0< |g(t) - x_0| < \delta$，从而有$|f(g(t)) - l| < \varepsilon$，取$\sigma = \min(\eta, \eta_1)$，即对$\forall \varepsilon > 0, \exists \sigma > 0$，使得$0< |t-t_0| < \sigma$时，有$|f(g(t)) - l| < \varepsilon$。

Q.E.D.

定义2：单边极限

设函数$f$在$(x_0,x_0+r)$（$r$是一个确定的正数）上有定义，若$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta \in (0, r)$，使得当$0 < x - x_0 < \delta$时，有

$$|f(x) - l| < \varepsilon$$

则称$l$为$f$在$x_0$处的右极限，表示为

$$l = \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = l$$

在右极限存在的情况下，也将右极限记为$f(x_0+)$

类似地，可以定义$f$在$x_0$处的左极限$f(x_0-) = \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)$；左右极限统称为单边极限。

定理9

函数$f$在$x_0$的某个去心邻域内处有定义，则$\lim \limits_{x \to x_0} f(x)$存在的充分必要条件是

$$f(x_0+) = f(x_0-)$$

证明有极限与左右极限的定义显然。