函数积分九：有界区域上的二重积分

定义1

设$B \subset \mathbb{R}^2$是有界集，函数$f: B \to \mathbb{R}$，令

$$f_B(\boldsymbol{p}) = \left\{ \begin{aligned} & f(\boldsymbol{p}), & \boldsymbol{p} \in B \\ & 0, & \boldsymbol{p} \in B^c \end{aligned} \right.$$

则函数$f_B$在全平面$\mathbb{R}^2$上有定义，如果限制在集合$B$上，$f_B$与$f$相等。

定义2

任取有界的闭矩形$I \supset B$，如果函数$f_B$在$I$上可积，则称函数$f$在$B$上可积，并称数值$\displaystyle \int_I f_B \mathrm{d} \sigma$为函数$f$在$B$上的（二重）积分，记作

$$\iint \limits_B f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \quad 或 \quad \int_B f \mathrm{d} \sigma$$

定理1

设有界集$B \subset \mathbb{R}^2$，函数$f: B \to \mathbb{R}$有界，如果集合$B$的边界$\partial B$和$f$在$B$上的间断点都是零测集，那么$f$在$B$上可积。

证：取闭矩形$I$，满足$I^\circ \supset \overline B$，由于$f_B$在$\overline B^c$上处处为零，所以$\overline B^c$中的每个点都是$f_B$的连续点，在$B^\circ$上，$f_B = f$，所以在$B^\circ$上$f_B$的不连续点就是$f$的不连续点，从而

$$D(f_B) \subset D(f) \cup \partial B$$

由于$D(f)$与$\partial B$都是零测集，所以$D(f_B)$也是零测集，即$f_B$在$I$上可积，从而$f$在$B$上可积。

Q.E.D.

定理2

设有界集$B \subset \mathbb{R}^2$，$f: B \to \mathbb{R}$在$B$上可积，那么对任意常数$c$，函数$cf$在$B$上也可积，并且

$$\int_B cf \mathrm{d} \sigma = c \int_B f \mathrm{d} \sigma$$

又若$g: B \to \mathbb{R}$在$B$上可积，那么$f \pm g$也在$B$上可积，且

$$\int_B (f \pm g) \mathrm{d} \sigma = \int_B f \mathrm{d} \sigma \pm \int_B g \mathrm{d} \sigma$$

证：对于第一个等式，设闭矩形$I \supset B$，有

$$\int_B cf \mathrm{d} \sigma = \int_I cf_B \mathrm{d} \sigma = c \int_I f_B \mathrm{d} \sigma = c \int_B f \mathrm{d} \sigma$$

对于第二个等式，同样有

$$\int_B (f \pm g) \mathrm{d} \sigma = \int_I (f_B \pm g_B) \mathrm{d} \sigma = \int_I f_B \mathrm{d} \sigma \pm \int_I g_B \mathrm{d} \sigma = \int_B f \mathrm{d} \sigma \pm \int_B g \mathrm{d} \sigma$$

Q.E.D.

定理3

设$B_1, B_2 \subset \mathbb{R}^2$有界，且$B_1 \cap B_2$是零面积集，若函数$f$在$B_1$和$B_2$上都可积，那么$f$在$B_1 \cup B_2$上可积，且

$$\int_{B_1 \cup B_2} f \mathrm{d} \sigma = \int_{B_1} f \mathrm{d} \sigma + \int_{B_2} f \mathrm{d} \sigma$$

证：易知，只要$\boldsymbol{x} \notin B_1 \cap B_2$，有$f_{B_1 \cup B_2}(\boldsymbol{x}) = f_{B_1}(\boldsymbol{x}) + f_{B_2}(\boldsymbol{x})$，从而使得$f_{B_1 \cup B_2}$与$f_{B_1} + f_{B_2}$不相等的集合必属于$B_1 \cap B_2$，即为零面积集。所以由函数积分八的定理9可知，

$$\int_I (f_{B_1} + f_{B_2}) \mathrm{d} \sigma = \int_I f_{B_1 \cap B_2} \mathrm{d} \sigma$$

设矩形$I \supset B$，则有

$$\int_{B_1} f \mathrm{d} \sigma + \int_{B_2} f \mathrm{d} \sigma = \int_I f_{B_1} \mathrm{d} \sigma + \int_I f_{B_2} \mathrm{d} \sigma = \int_I (f_{B_1} + f_{B_2}) \mathrm{d} \sigma = \int_I f_{B_1 \cap B_2} \mathrm{d} \sigma$$

Q.E.D.

定义3

设$B \subset \mathbb{R}^2$有界，若常值函数$1$在$B$上可积，那么积分$\displaystyle \int_B 1 \mathrm{d} \sigma$称为点集$B$的面积，记为$\sigma(B)$，这时称$B$是有面积的。记函数

$$\chi_B (\boldsymbol{p}) = \left\{ \begin{aligned} 1, & \quad \boldsymbol{p} \in B \\ 0, & \quad \boldsymbol{p} \notin B \end{aligned} \right.$$

称为$B$的特征函数，从而$B$的面积也可以写为

$$\sigma(B) = \int_B 1 \mathrm{d} \sigma = \int_I \chi_B \mathrm{d} \sigma$$

这里$I$是任何一个包含$B$的闭矩形。

定理4

设$B \subset \mathbb{R}^2$是一个有界集，且$\displaystyle \sigma(B) = \int_B 1 \mathrm{d} \sigma$存在，则

$$D(\chi_B) = \partial B$$

证：由于

$$\mathbb{R}^2 = B^\circ \cup \partial B \cup (B^c)^\circ$$

而在开集$B^\circ$和$(B^c)^\circ$上，$\chi_B$分别为$1$和$0$，所以$\chi_B$在$B^\circ$和$(B^c)^\circ$上连续，从而

$$D(\chi_B) \subset \partial B \tag {1}$$

任取$\boldsymbol{p} \in \partial B$，则在$\boldsymbol{p}$的任意小的领域内即有$B$中的点$\boldsymbol{p}^\prime$，又有$B^c$中的点$\boldsymbol{p}^{\prime\prime}$，而$\chi_B(\boldsymbol{p}^\prime) = 1, \chi_B(\boldsymbol{p}^{\prime\prime})=0$，所以$\chi_B$在$\boldsymbol{p}$处不连续，所以

$$\partial B \subset D(\chi_B) \tag {2}$$

由$(1)(2)$即得$D(\chi_B) = \partial B$。

Q.E.D.

定理5

设$B \subset \mathbb{R}^2$是一个有界集，则点集$B$为零面积集的充分必要条件是

$$\sigma (B) = \int_B 1 \mathrm{d} \sigma = 0$$

证：必要性。作闭矩形$I$使得$I^{\circ} \supset \overline B$，则$B$上的特征函数$\chi_B$在$I$上取非零值的点集正好是$B$，而$B$是零面积集，由函数积分八的定理8可知， $\chi_B$在$I$上可积且

$$\sigma(B) = \int_B 1 \mathrm{d} \sigma = \int_I \chi_B \mathrm{d} \sigma = 0$$

这表明$B$的面积为零。

充分性。由于$\sigma(B) = 0$，从而$B^\circ = \varnothing$，又因为$\chi_B$可积，从而$D(\chi_B)$是零测集，再由定理4可知$\partial B$是零测集，而$\partial B$又是有界闭集，从而由函数积分八的定理1可知$\partial B$是零面积集，由$B \subset \partial B \cup B^\circ = \partial B$，得$B \subset \partial B$，所以$B$也是零面积集。

Q.E.D.

定理6

设有界集$B \subset \mathbb{R}^2$，则$B$有面积当且仅当$B$的边界$\partial B$是一零面积集。

证：由于$\partial B$是有界闭集，所以$\partial B$是零面积集$\Leftrightarrow \partial B$是零测集$\Leftrightarrow D(\chi_B)$是零测集$\Leftrightarrow \sigma(B)$存在$\Leftrightarrow B$有面积。

Q.E.D.

定理7

设$B$是$\mathbb{R}^2$中的有面积的点集，$f$在$B$上可积，对$B$的任意分割$T$作Riemann和，那么对任意的$\boldsymbol{\xi}_i \in D_i(i=1,2,\cdots,m)$有

$$\lim_{\Vert T \Vert \to 0} \sum_{i=1}^m f(\boldsymbol{\xi}_i) \sigma(D_i) = \int_B f \mathrm{d} \sigma$$

其中$\Vert T \Vert = \max \limits_{1 \le i \le m} \mathrm{diam}(D_i)$。也就是说，对任意的$\varepsilon > 0$，存在$\delta>0$，只要分割$T = \{D_1, D_2, \cdots, D_n\}$满足$\Vert T \Vert < \delta$，就有

$$\left|\sum_{i=1}^m f(\boldsymbol{\xi}_i) \sigma(D_i) - \int_B f \mathrm{d} \sigma \right| < \varepsilon$$

证：由于$f$在$B$上可积，从而对任意的$\varepsilon > 0$，存在矩形网的分割$\pi_{\varepsilon} = \{J_1, J_2, \cdots, J_t \}$，使得

$$\overline S(f, \pi_{\varepsilon}) - \underline S(f, \pi_{\varepsilon}) < \frac{\varepsilon}{2}$$

即

$$\sum_{i=1}^t (\sup f(J_i) - \inf f(J_i)) \sigma(J_i) < \frac{\varepsilon}{2}$$

这里$J_i \subset B (i=1,2,\cdots,t)$，现将子矩形$J_i$的每一边平行地向内部收缩同一距离$\delta > 0$，作成一个开矩形$\tilde {J_i} \subset J_i (i=1,2,\cdots,t)$。记

$$K = I \bigcap (\bigcup \limits_{i=1}^t \tilde J_i)^c$$

这里$I$是所有包含在$B$中的闭子矩形$J_i$的并，显然$K$是闭集，现取$\delta > 0$充分小，使得$\sigma(K) < \varepsilon / 2\omega$，这里$\omega$是$f$在$B$上的振幅。对这个$\delta > 0$，任取分割$T = \{D_1, D_2, \cdots, D_m\}$，使得$\Vert T \Vert < \delta$，记$\displaystyle A = \int_B f \mathrm{d} \sigma$，则有

$$A = \sum_{i=1}^m \int_{D_i} f \mathrm{d} \sigma$$

设$f$在$D_i$上的上、下确界分别为$M_i, m_i$，则

$$m_i \sigma(D_i) \le \int_{D_i} f \mathrm{d} \sigma \le M_i \sigma(D_i)$$

记$\displaystyle \mu_i = \frac{1}{\sigma(D_i)} \int_{D_i} f \mathrm{d} \sigma$，从而$m_i \le \mu_i \le M_i$，又有

$$\begin{aligned} \left| A - \sum_{i=1}^m f(\boldsymbol{\xi}_i)\sigma(D_i) \right| &= \left| \sum_{i=1}^m (\mu_i - f(\boldsymbol{\xi}_i)) \sigma(D_i) \right| \\ & \le \sum_{i=1}^m \left| \mu_i - f(\boldsymbol{\xi}_i) \right| \sigma(D_i) \\ & \le \sum_{i=1}^m (M_i - m_i) \sigma(D_i) \\ & = \sum_{i=1}^m \omega_i \sigma(D_i) \\ & = \sum \nolimits_1 + \sum \nolimits_2 \end{aligned}$$

其中

$$\sum \nolimits_1 = \sum_{D_i \subset K} \omega_i \sigma(D_i) \quad \sum \nolimits_2 = \sum_{D_i \nsubseteq K}\omega_i \sigma(D_i)$$

而

$$\sum \nolimits_1 \le \omega \sum_{D_1 \subset K} \sigma(D_i) \le \omega_i \sigma(K) < \frac{\varepsilon}{2}$$

对于$\sum_2$，由于$D_i \nsubseteq K$，从而$D_i$必与某个$\tilde {J_j}$相交，所以必有$D_i \subset J_j$，从而有

$$\begin{aligned} \sum \nolimits_2 = \sum_{j=1}^t \sum_{D_i \subset J_j} \omega_i \sigma(D_i) & \le \sum_{j=1}^t (\sup f(J_j) - \inf f(J_j)) \sum_{D_i \subset J_j} \sigma(D_i) \\ & \le \sum_{j=1}^t (\sup f(J_j) - \inf f(J_j)) \sigma(J_i) < \frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$$

所以有

$$\left| A - \sum_{i=1}^m f(\boldsymbol{\xi}_i)\sigma(D_i) \right| \le \sum \nolimits_1 + \sum \nolimits_2 < \varepsilon$$

Q.E.D.

定理8：积分平均值定理

设$K$是$\mathbb{R}^2$中的有线条光滑曲线围成的有界闭区域，函数$f, g: K \to \mathbb{R}$连续且$g$在$K$上不变号，于是存在一点$\boldsymbol{\xi} \in K$，满足

$$\int_K fg \mathrm{d} \sigma = f(\boldsymbol{\xi}) \int_K g \mathrm{d} \sigma$$

证：连续函数$g$与$fg$在$K$上都可积，因为$K$是紧致集，所以连续函数$f$在$K$上取得最小值$f(\boldsymbol{a})$与最大值$f(\boldsymbol{b})$，不妨设在$K$上$g \le 0$，于是

$$f(\boldsymbol{a})g(\boldsymbol{p}) \le g(\boldsymbol{p})g(\boldsymbol{p}) \le f(\boldsymbol{b})g(\boldsymbol{p})$$

对一切$\boldsymbol{p} \in K$都成立，从而有

$$f(\boldsymbol{a})\int_K g \mathrm{d} \sigma \le \int_K fg \mathrm{d} \sigma \le f(\boldsymbol{b}) \int_K g \mathrm{d} \sigma$$

若$\displaystyle \int_K g \mathrm{d} \sigma = 0$，这时$g = 0$，定理自然成立。现设$\displaystyle \int_K g \mathrm{d} \sigma > 0$，于是

$$f(\boldsymbol{a}) \le \left( \int_k g \mathrm{d} \sigma \right)^{-1} \int_K fg \mathrm{d} \sigma \le f(\boldsymbol{b})$$

由于$K$是连通集，而$f$在$K$上连续，从而由介值定理可知，存在一点$\boldsymbol{\xi} \in K$，使得

$$f(\boldsymbol{\xi}) = \left( \int_K g \mathrm{d} \sigma \right)^{-1} \int_K fg \mathrm{d} \sigma$$

Q.E.D.

定理9

设$K$是$\mathbb{R}^2$中的有界闭区域，函数$f$在$K$上连续，那么存在一点$\boldsymbol{\xi} \in K$，使得

$$\int_K f \mathrm{d} \sigma = f(\boldsymbol{\xi}) \sigma(K)$$

证：由定理8，令$g = 1$即得。