函数积分十一：三重积分

定义1

定义$f: I \to \mathbb{R}$，其中$I$是$\mathbb{R}^3$中的一个有限长方体，即$I = I_1 \times I_2 \times I_3$，其中$i_i=[a_i, b_i] (i=1,2,3)$是$\mathbb{R}$中的有界闭区间。长方体$I$的体积定义为

$$\mu(I) = (b_1 - a_1)(b_2 - a_2)(b_3 - a_3)$$

用平行于三个坐标平面的三组平面对$I$进行划分，得到有限多个小的长方体，不妨设为$k$个，这称为$I$的一个分割$\pi$，这时可以定义Riemann和

$$\sum_{i=1}^k f(\boldsymbol{\xi_i}) \mu(I_i)$$

其中$\boldsymbol{\xi_i} \in I_i$，$\mu(I_i)$表示子长方体$I_i$的体积。

定义2

记$\Vert \pi \Vert$为小长方体对角线的最大者，称为分割$\Vert \pi \Vert$的宽度，在$\Vert \pi \Vert \to 0$对定义1中的Riemann和取极限，如果该极限的存在性和数值不依赖与小长方体中值点的选择，则这个极限值就称为$f$在$I$上的积分，记作

$$\iiint \nolimits_I f(x,y,z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z$$

或

$$\int_I f \mathrm{d} \mu$$

仿照二重积分的方法，可以依次定义上和，下和，并且可以得到关于可积充分必要条件的相同结论；三重积分的累次积分也同样可以证明。

定理1

如果$f$在$I$上可积，那么$f$必在$I$上有界。

证：与函数积分三的定理1证明方法一样。

Q.E.D.

定义3

点集$B \subset \mathbb{R}^3$称为零测集（零面积集），是指对任何的$\varepsilon > 0$，存在可数（有限）个长方体$J_i$，使得

$$\bigcup_{i} J_i \subset B, \quad \sum_{i} \mu(J_i) < \varepsilon$$

定理2：Lebesgue

设长方体$I \subset \mathbb{R}^3, f \to \mathbb{R}$，则积分$\displaystyle \int_I f \mathrm{d} \mu$存在的充分必要条件是$f$在$I$上的间断点集为零测集。

证：与函数积分八的定理7证明方法一致。

Q.E.D

定义4

设有界点集$B \subset \mathbb{R}^3, f: B \to \mathbb{R}$，函数$f$在$B$上的积分定义与函数积分九的定义2完全一致，也记为

$$\int_B f \mathrm{d} \mu$$

同样可以定义$B$的面积为

$$\mu(B) = \int_B 1 \mathrm{d} \mu$$

定义一样，相关结论也与二重积分一样。

定理3

$\mathbb{R}^3$上的有界点集$B$为零体积集当且仅当$\mu(B) = 0$

证：与函数积分九的定理5的证明方法一致。

Q.E.D.

定理4

设有界集$B \subset \mathbb{R}^3$，则$B$有面积当且仅当$B$的边界$\partial B$是一零面积集。

证：与函数积分九的定理6的证明方法一致。

Q.E.D.

定理5

设有界集$V \subset \mathbb{R}^3$有体积，有界函数$f: V \to \mathbb{R}$连续
（1）设$V$在$xy$平面上的垂直投影为$D$，且当$(x, y) \in D$时，过这一点且垂直于$D$的直线与$V$交成一个区间$[\varphi_1(x, y), \varphi_2(x, y)]$，那么

$$\int_V f \mathrm{d} \mu = \iint_D \mathrm{d}x \mathrm{d}y \int_{\varphi_1(x, y)}^{\varphi_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{z}$$

（2）设$V$在$z$轴上的垂直投影为区间$J$，且当$z \in J$时，通过点$(0, 0, z)$又垂直于$z$轴的平面同$V$交成的图形在$xy$平面上的垂直投影是易有面积的点集$D_z$，那么

$$\int_V f \mathrm{d} \mu = \int_J \mathrm{d} z \iint_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d} y$$

证：可知$f$在$V$上可积，作$I = I_1 \times I_2 \times I_3 \supset V$，其中$I_1, I_2, I_3$都是$\mathbb{R}$中的区间，令

$$f_V(\boldsymbol{p}) = \left\{ \begin{aligned} & f(\boldsymbol{p}), \quad & \boldsymbol{p} \in V \\ & 0, \quad & \boldsymbol{p} \notin V \end{aligned} \right.$$

那么

$$\int_V f \mathrm{d} \mu = \int_I f_V \mathrm{d} \mu$$

（1）当$(x, y) \in D(x, y)$时，关于$z$的函数$f(x, y, z)$在区间$[\varphi_1(x, y), \varphi_2(x, y)]$上连续，从而是可积的，所以有

$$\int_{I_3} f_V (x, y, z) \mathrm{d} z = \int_{\varphi_1(x, y)}^{\varphi_2(x, y)} f_V(x, y, z) \mathrm{d} z$$

而当$(x,y) \notin D$时，$f_V(x, y, z) = 0$，这时$\displaystyle \int_{I_3} f_V(x, y, z) = 0$，所以

$$\int_I f \mathrm{d} \mu = \int_I f_V \mathrm{d} \mu = \iint \limits_{I_1 \times I_2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \int_{I_3} f_V (x, y, z) \mathrm{d} z = \iint \limits_{I_1 \times I_2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \int_{\varphi_1(x, y)}^{\varphi_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z$$

（2）当$z \in J$时，$D_z \in I_1 \times I_2$且$\mu(\partial D_z) = 0$，而关于$x,y$的函数$f(x,y,z)$在$D_z$上有界连续，所以$f(x,y,z)$在$D_z$上可积，所以有

$$\iint \limits_{I_1 \times I_2} f_V(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint \limits_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

当$z \notin J$时，$f_V(x, y, z) = 0$，此时

$$\iint \limits_{I_1 \times I_2} f_V(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = 0$$

从而

$$\int_V f \mathrm{d} \mu = \int_I f_V \mathrm{d} \mu = \int_{I_3} \mathrm{d}z \iint \limits_{I_1 \times I_2} f_V(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_{I_3} \mathrm{d}z \iint \limits_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$$

Q.E.D.

定理6

设有界的闭区域$D \subset \mathbb{R}^3$有体积，函数$F: D \to \mathbb{R}$连续，映射

$$\boldsymbol{\varphi}: \left\{ \begin{aligned} x = x(u, v, w), \\ y = y(u, v, w), \\ z = z(u, v, w) \end{aligned} \right. \quad ((u, v, w) \in \Delta)$$

是从$\Delta$到$D$上的正则映射，即$\boldsymbol{\varphi}$将$\Delta$一对一地映射成$D$，$\boldsymbol{\varphi} \in C^1(\Delta)$，并且在$\Delta$上，

$$\det J\boldsymbol{\varphi} = \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = \left| \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} \quad \frac{\partial x}{\partial v} \quad \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} \quad \frac{\partial y}{\partial v} \quad \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} \quad \frac{\partial z}{\partial v} \quad \frac{\partial z}{\partial w} \end{matrix} \right| \ne 0$$

则有

$$\int_{\boldsymbol{\varphi}(\Delta)} F \mathrm{d} \mu = \int_{\Delta} F \circ \boldsymbol{\varphi} |\det J \boldsymbol{\varphi}| \mathrm{d} \mu$$

证：与函数积分十的定理6证明几乎一样。

Q.E.D.

定理7：球坐标换元公式

令映射

$$\boldsymbol{\varphi} = \left\{ \begin{matrix} x &= &r \sin \theta \cos \varphi, \\ y &= &r \sin \theta \sin \varphi, \\ z &=& r \cos \theta \end{matrix} \right. \quad (r, \theta, \varphi) \in \Delta$$

则

$$\int_{\boldsymbol{\varphi}(\Delta)} F \mathrm{d} \mu = \iiint \limits_{\Delta} F \circ \boldsymbol{\varphi} r^2 \sin \theta \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi$$

证： 由于

$$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)} = r^2 \sin \theta$$

再由定理6可证。