数学试题五：高中篇4

$301.$ 已知$\displaystyle a_n = \frac{3^n+1}{4}$且$S_n = \sum \limits_{k=1}^n a_k$，证明：当$n \ge 2$时，$\displaystyle \frac{8}{3}(n+1)S_n > (n+1)C_{n+1}^02^n + n C_{n+1}^1 2^{n-1} + \cdots + C_{n+1}^n 2^0$。

$302.$ 若长度为定值的线段$AB$的两端点分别在$x$轴正半轴与$y$轴正半轴上移动，$O$为坐标原点，则$\triangle AOB$的垂心，内心，外心，重心得轨迹不可能是？（点、夏暖、圆弧、抛物线的一半部分）

$303.$ 已知$f(x)$为奇函数，当$x \le 0$时，$f(x) = |x - a^2| - a^2$，且$f(x+4) \ge f(x)$恒成立，则$a$的取值范围是？

$304.$ 椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (4 > b > 0)$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$为椭圆上一点，当$P$不在$x$轴上时，过$F_1$作$\angle F_1PF_2$的外角平分线的垂线$F_1M$，垂足为$M$，当点$P$在$x$轴上时，定义$M$与$P$点重合，求$M$点的轨迹方程。

$305.$ 设$\displaystyle f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}, g(x) = ax - \ln x$，若对任意的$\displaystyle x_1 \in [\frac{1}{2}, 2]$，总存在唯一的$\displaystyle x_2 \in [\frac{1}{e^2}, \frac{1}{e}]$，使得$g(x_2) = f(x_1)$，求实数$a$的取值范围。

$306.$ 在直三棱锥$ABC-A_1B_1C_1$中，$\displaystyle \angle BAC = \frac{\pi}{2}, AB=AC=AA_1=1$，已知$G,E$分别为$A_1B_1$和$CC_1$的中点，$D$与$F$分别为线段$AC$和$AB$上的动点（不包括端点），若$GD \perp EF$，则线段$|PF|$的取值范围是？

$307.$ 抛物线$y^2 = 2px (p>0)$的焦点为$F$，点$A,B$在抛物线上，且$\angle AFB = 120^\circ$，过弦$AB$的中点$M$向准线$l$作垂线，垂足为$M_1$，则$\displaystyle \frac{|MM_1|}{AB}$的最大值为？

$308.$ 已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1} + a_n = 4n - 3 (n \in \mathbb{N}^+)$；
（1）当$a_1=2$时，求数列$\{a_n\}$的通项；
（2）若$\displaystyle \frac{a_n^2 + a_{n+1}^2}{a_n + a_{n+1}} \ge 5$恒成立，求$a_1$的取值范围。

$309.$ 设$0 < \alpha \le \beta \le \gamma$且$\alpha + \beta + \gamma = \pi$，则$\displaystyle \min \{ \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}, \frac{\sin \gamma}{\sin \beta} \}$的取值范围是？

$310.$ 设$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{x}$；
（1）判断$f(x)$在区间$(0, \pi)$上的增减性，并证明之；
（2）若$0 \le a \le \sqrt{x-3} + \sqrt{4-x}$对一切$x \in (3, 4)$成立，求证$(2a-1)\sin x + (1-a)\sin(1-a) x \ge 0$。

$311.$ 若定义在$[-2010, 2010]$上的函数$f(x)$满足对任意的$x_1,x_2 \in [-2010,2010]$有$f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2)$，且$x>0$时，有$f(x) > 2009$，则$f(x)$的最大值与最小值之和为？

$312.$ 已知数列$\{a_n\}$的相邻两项$a_n,a_{n+1}$是关于方程$x^2 - 2^nx+b_n=0 (n \in \mathbb{N^+})$的两个实根，且$a_1=1$；
（1）求$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$；
（2）是否存在$\lambda$使得$b_n > \lambda S_n$对任意$n \in \mathbb{N^+}$都成立？

$313.$ 已知$\displaystyle x, y \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}], a \in \mathbb{R}$，且$\left\{ \begin{aligned} &x^3 + \sin x - 2a = 0 \\ &4y^3 + \frac{1}{2} \sin 2y + a = 0\end{aligned}\right.$，则$\cos(x+2y)$的值为？

$314.$ 直线$x - y = 1$与双曲线$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0$且$a \ne b)$交于$M,N$两点，且以$M,N$为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于$\sqrt 3$，则双曲线的实轴长的取值范围是？

$315.$ 已知向量$\vec \alpha, \vec \beta, \vec \gamma$满足$|\vec \alpha = 1|, |\vec \alpha - \vec \beta| = |\vec \beta|, (\vec \alpha - \vec \gamma)(\vec \beta - \vec \gamma) = 0$，若对于每一个确定的$\vec \beta$，$|\vec \gamma|$的最大值和最小值分别为$m,n$，则对任意的$\vec \beta$，$m-n$的最小值是？

$316.$ 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a$，公差为$b$，等比数列$\{b_n\}$首项为$b$，公比为$a$，其中$a,b$都是大于$1$的正整数，且$a_1 < b_1, b_2 < a_3$，对任意的$n \in \mathbb{N^+}$，总存在$m \in \mathbb{N^+}$，使得$a_m + 3 = b_n$成立，则$a_n$为？

$317.$ 已知$f(x) = |\sin x|$；
（1）若$g(x) = ax - f(x) \ge 0$对任意$x \in [0, +\infty)$恒成立，求实数$a$的取值范围；
（2）若函数$f(x)$与直线$y=kx (k>0)$的图像有且仅有三个公共点，且公共点横坐标最大值为$\alpha$，求证$\displaystyle \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{1 + \alpha^2}{4\alpha}$。

$318.$ 已知椭圆方程$\displaystyle \frac{x^2}{2} + y^2 = 1$，若过点$M(2,0)$的直线与椭圆$E$相交于两点$A,B$，设$P$为椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = t \overrightarrow{OP}$（$O$为坐标原点），当$|\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB}| < \dfrac{2\sqrt 5}{3}$时，求实数$t$的取值范围。

$319.$ 已知$f(x) = x + \dfrac{x}{c} (x>0)$，过点$P(1,0)$作曲线$y = f(x)$的两条切线$PM,PN$，切点分别$M,N$；
（1）设$g(t) = |MN|$，试求函数$g(t)$的表达式；
（2）若对任意的正整数$n$，在区间$[2, n+\dfrac{64}{n}]$内总存在$m+1$个数$a_1,a_2,\cdots,a_{m+1}$使得不等式$g(a_1) + g(a_2) + \cdots + g(a_{m}) < g(a_{m+1})$成立，求证$m$的最大值。

$320.$ 设$a_n = (\dfrac{1}{2})^n$，$c_n = \dfrac{1}{1+a_n} + \dfrac{1}{1-a_{n+1}}$，$P_n$是$\{c_n\}$的前$n$项和，求证$P_n > 2n - \frac{1}{2}$。

$321.$ 已知$\displaystyle f(x) = 1 + x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{x^{2011}}{2011}$，则函数$f(x)$在其定义域内有几个零点？

$322.$ 已知函数$y = \dfrac{a^2+2a\sin \theta + 2}{a^2 + 2a\cos \theta + 2} (a,\theta \in \mathbb{R}, a \ne 0)$，那么对于任意的$a, \theta$，$y$的最大值与最小值之和为？

$323.$ 已知$f(x) = \ln x - \dfrac{1}{2} ax^2 - bx$，若该函数与$x$轴交于两点$A,B$，线段$AB$的中点的横坐标为$x_0$，证明$f^\prime(x_0) < 0$。

$324.$ 设等差数列的前$n$项和为$S_n$，若$S_{m} = \dfrac{m}{n}, S_n = \dfrac{n}{m} (m,n \in \mathbb{N^+}, m \ne n)$，则$S_{n+m}$与$4$的大小关系为？

$325$. 设椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$，过右焦点$F^\prime$的直线$l$与椭圆交于$A,B$两点，$N$为$AB$的中点，连接$ON$并延长交椭圆于点$E$，$O$为坐标原点，且$\overrightarrow{OE} = 2 \overrightarrow{ON}$，求$|AB|$的值。

$326.$ 证明$\displaystyle \ln (1 + \frac{1}{n}) > \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3} (n \in \mathbb{N^+})$。

$327.$ 一个竹竿长$2$米，竖直放在广场的水平面上，在$t_1$时刻测得它的影子长$4$米，$t_2$时刻影长为$1$米，这个广场上有一个球体，它在地面上的影子为椭圆，问：在$t_1,t_2$这两个时刻，该球体物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为？

$328.$ 如图所示，设抛物线$C_1: y^2 = 4mx(m > 0)$的准线与$x$轴交于$F_1$，焦点为$F_2$，以$F_1,F_2$为左右焦点，离心率为$\dfrac{1}{2}$的椭圆$C_2$与抛物线$C_1$在$x$轴上方的交点为$P$，延长$PF_2$交抛物线于点$Q$，点$M$是抛物线$C_1$上的一动点，且$M$在$P,Q$之间，问当$\triangle PF_1F_2$的边长恰好是三个连续自然数时，求$\triangle MPQ$的面积最大值。

$329.$ 设$m_n(x) = [x + \dfrac{1}{x}]^n - [x^n + \dfrac{1}{x^n}]$，其中$n \ge 2, n \in \mathbb{N^+}$；
（1）求函数$y = m_n(x)$在区间$(0, +\infty)$上的最小值；
（2）求证对任意的正实数$x$，都有$\displaystyle \sum_{i=2}^n \dfrac{1}{m_i(x)} < \dfrac{5}{6}$。

$330.$ 已知函数$f(x) = |\lg(x - 1)| - (\dfrac{1}{3})^x$的两个零点为$x_1,x_2$，则有
（1）$x_1x_2 < 1$ （2）$x_1x_2 < x_1 + x_2$ （3）$x_1x_2 = x_1 + x_2$ （4）$x_1x_2 > x_1 + x_2$

$331.$ 已知点$A,B$在椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，且$P(1, \dfrac{3}{2})$，且$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = m\overrightarrow{OP}$，当$\triangle PAB$的面积取最大值时，原点$O$是$\triangle PAB$的什么心？

$332.$ 在数列$\{a_n\}$中，$a_1 = p > 0$，且$a_{n+1} \cdot a_n = n^2 + 3n + 2 (n \in \mathbb{N^+})$，求$\{a_n\}$的通项公式。

$333.$ 设$f(x) = mx - \dfrac{m}{x} - 2 \ln x - \dfrac{2e}{x}$，当在$[1,e]$上至少存在一个$x_0$，使得$f(x)>0$成立，求$m$的取值范围。

$334.$ 已知抛物线$C: x^2 = 2my (m > 0)$与直线$l: y = kx - m$没有公共点（其中$k,m$为常数），动点$P$是直线$l$的任意点，过点$P$引抛物线的两条切线，切点分别为$M,N$，且两条直线$M,N$恒过点$Q(k,1)$；
（1）求$m$的值；
（2）已知$O$为坐标原点，连接$P，Q$交抛物线$C$于$A,B$两点，证明$S_{\triangle OAP} = S_{\triangle OBQ}$。

$335.$ 已知数列$\{a_n\}, \{b_n\}$的通项公式分别为$a_n = 6n + 2, b_n = 2^{n+1}$，将集合$\{x \big| x = a_n \} \bigcup \{x \big| x = b_n\}$中的元素从小到大的顺序依次排列得到数列$\{c_n\}$（$n \in \mathbb{N^+}$），
（1）证明在数列$\{c_n\}$中但不在$\{a_n\}$中的项恰好是$\{b_n\}$中的奇数项；
（2）设数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的公共项$d_k (k \in \mathbb{N^+})$是数列$\{c_n\}$的第$m$项，求$m$的值并求数列$\{c_n\}$的前$m$项和$S_m$（$S_m$和$m$都用$k$表示）。

$336.$ 已知点$P(x,y)$是椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$上的不在对称轴上的一动点，$F_1,F_2$为椭圆左右焦点，若$M$是$\angle F_1PF_2$的角平分线上一点，若$M,P$不重合，且$\overrightarrow{F_1M} \cdot \overrightarrow{MP} = 0$，$O$为坐标原点，则$|\overrightarrow{OM}|$的取值范围是？

$337.$ 已知数列$\{a_n\}$是以$d(d \ne 0)$为公差的等差数列，数列$\{b_n\}$是以$q$为公比的等比数列，若$b_1 = a_r, b_2 = a_s, b_3 = a_t$（其中$t > s > r$且$s - r$是$tr$的约数），求证：数列$\{b_n\}$中的每一项都是数列$\{a_n\}$中的项。

$378.$ 已知数列$\{a_n\}, \{b_n\}$满足$a_1 = 1, a_2 = 2, b_1 = 2$且对任意的正整数$i,j,k,l$都有$a_i + a_j = a_k + a_l$，其中$i + j = k + l$，求$\{a_n + b_n\}$的前$n$项和。

$379.$ 如果函数$f(x) = |x| + \sqrt{a-x^2} - \sqrt{2} (a>0)$无零点，则$a$的取值范围是？

$380.$ 设$a_n$是$(3 - \sqrt x)^n(n \in \mathbb{N^+}, n>1)$的二项式展开中$x$的系数，则$\displaystyle \frac{3^2}{a^2} + \frac{3^3}{a^3} + \cdots + \frac{3^{18}}{a^{18}}=$？

$381.$ 给定椭圆$\displaystyle C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$，称圆心在原点$O$，半径为$\sqrt{a^2 + b^2}$的圆是椭圆的准圆，若$a = \sqrt{3}, b=1$，且$P$是准圆上一点，过点$P$作椭圆的切线，切点为$A,B$，求证$|AB|$为定值。

$382.$ 已知函数$f(x) = 2 \ln x - x^2$，若$a,b,c$分别为$\triangle ABC$的的角$A,B,C$所对的边，且$3a^2 + 3b^2 - c^2 = 4ab$，则$f(\sin A)$与$f(\sin B)$的大小关系为？

$383.$ 点$P$到圆$C$上的每一个点的距离的最小值称为点$P$到圆$C$的距离，那平面内到圆$C$的距离与到定点$A$的距离相等的点的轨迹可能是？

$384.$ 已知抛物线$C: y^2 = 2px (p>0)$，过点$A(p, 0)$的直线与抛物线$C$交于$M,N$两点，且$\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{AN}$，过点$M,N$向直线$x=-p$作垂线，垂足分别为$P,Q$，$\triangle MAP, \triangle NAQ$的面积分别记为$S_1,S_2$，则$S_1:S_2=$？

$385.$ 定义在$[1, +\infty)$上的函数$f(x)$满足：（1）$f(2x) = cf(x)$（$c$为正数），（2）当$2 \le x \le 4$时，$f(x) = - |x-3|$，若函数的所有极大值均落在同一条直线上，则$c=$？

$386.$ 已知数列$A: a_1,a_2,\cdots,a_n (n \ge 2)$是公差不为$0$的等差数列，令$T_A = \{x \big| x = a_i + a_j; 1 \le i < j \le n \}$；则集合$T_A$的元素个数为？

$387.$ 三角形中，若$a^2 + c^2 = 2b^2$；
（1）求$B$的取值范围；
（2）若$B = \dfrac{\pi}{4}$，求$A$。

$388.$ 设函数$f(x) = (1+x^2)(2-x)$，若$a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$且$a + b + c = 1$，证明：$\displaystyle \frac{a}{1 + a^2} + \frac{b}{1+b^2} + \frac{c}{1+c^2} \le \frac{9}{10}$。

$389.$ 数列$b_n = \ln n$，是否存在$k$（$k \ge 2$且$k \in \mathbb{N}$）使得$b_k, b_{k+1}, b_{k+2}$成等差数列？

$390.$ $f(x) = \dfrac{3}{2}x^2 + x + a \ln x$，不等式$f(2t-1) \ge 2f(t) - \dfrac{5}{2}$在$t \ge 1$恒成立，求$a$的取值范围。

$391.$ 椭圆$x^2 + 2y^2 = 8$，动点$M$满足$MA \perp AB$，连接$AM$交椭圆于点$P$，点$N$是以$OB$为直径的圆与$PB$的交点，求证$O,M,N$三点共线。

$392.$ 已知函数$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (x \in \mathbb{N^+}, a \ne 0)$，$-2$是$f(x)$的一个零点，又$f(x)$在$x=0$处有极值，在区间$(-6,-4)$和$(-2,0)$上是单调的，且在这两个区间的单调性相反，则$\dfrac{b}{a}$的取值范围是？

$393.$ 已知圆心角为$120^\circ$的扇形$AOB$，其半径为$1$，$C$为$\stackrel \frown{AB}$的中点，点$D,E$分别在半径$OA,OB$上，若$CD^2 + CE^2 + DE^2 = 2$，则$OD + OE$的最大值为？

$394.$ （1）已知函数$f(x) = \ln(1+x) - \dfrac{ax}{a+x}$在$(0, +\infty)$上单调递增，求实数$a$的取值范围？
（2）若关于$x$的不等式$\dfrac{x}{1+bx} + \frac{1}{e^x} \ge 1$在$[0, +\infty)$上恒成立，求实数$b$的最大值。

$395.$ 已知函数$f(x) = x^2 + px + q$与函数$y = f(f(f(x)))$有一个相同的零点，证明$f(0)$与$f(1)$至少有一个等于$0$。

$396.$ 给定正整数$k (1 \le k \le 9)$，令$\underbrace{\overline{kk\cdots k}}_{n个}$表示各位数字均为$k$的十进制$n$为正整数，若对任意的正整数$n$，二次函数$f(x)$满足$f(\underbrace{\overline{kk\cdots k}}_{n个}) = \underbrace{\overline{kk\cdots k}}_{2n个}$，则当$k$变化时，函数$f(x)$的最小值为？

$397.$ 在四棱锥$V-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，$B_1,D_1$分别为棱锥$VB,VD$的中点，则四面体$AB_1CD_1$的体积与四棱锥$V-ABCD$的体积之比为？

$398.$ 已知方程$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$的三个实根可分别作为椭圆，双曲线，抛物线的离心率，则$\dfrac{a-1}{b+1}$的取值范围是？

$399.$ 设函数$f(x) = \left\{ \begin{aligned} & x - [x] & x \ge 0 \\ & f(x+1) & x<0 \end{aligned}\right.$，若直线$y = kx + k (k>0)$与函数$f(x)$的图像恰有三个不同交点，则实数$k$的取值范围是？

$400.$ 已知椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b> 0)$左右焦点分别为$F_1,F_2$，右顶点为$A$，上顶点为$B$，$P$为椭圆上在第一象限内一点；
（1）若$S_{\triangle PF_1F_2} = S_{\triangle PAF_2} = S_{\triangle PBF_1}$，求直线$PF_1$的斜率$k$；
（2）若$S_{\triangle PAF_2}, S_{\triangle PF_1F_2}, S_{\triangle PBF_1}$成等差数列，椭圆离心率$e \in [\dfrac{1}{4}, 1)$，求直线$PF_1$的斜率$k$的取值范围。