函数积分八：Lebesgue定理

定义1：零测集

设$B \subset \mathbb{R}^2$，如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在可数个闭矩形序列$\{I_i\}(i=1,2,\cdots)$，使得

$$B \subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty I_i, \qquad \sum_{i=1}^\infty \sigma(I_i) < \varepsilon$$

则称$B$为(二维)零测集。定义中的闭矩形可以换成开矩形。

定义2：零面积集

设$B \subset \mathbb{R}^2$，如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在有限个闭矩形序列$I_1, I_2, \cdots, I_m$，使得

$$B \subset \bigcup \limits_{i=1}^m I_i, \qquad \sum_{i=1}^m \sigma(I_i) < \varepsilon$$

则称$B$为零面积集。定义中的闭矩形可以换成开矩形。

定理1

(1) 至多可数集是零测集；
(2) 至多可数个零测集的并是零测集；
(3) 有限个零面积集的并是零面积集；
(4) $B$为零面积集，必须且只需$\bar B$也是零面积集。
(5) 如果$B$是有界闭集，则$B$为零测集的充分必要条件是$B$为零面积集。

证：(1)(2)(3)易证，这里只证(4)(5)。
(4)的充分性。由于$B \subset \bar B$，从而由定义可知，对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在有限个闭矩形序列$I_1, I_2, \cdots, I_m$使得

$$B \subset \bar B \subset \bigcup \limits_{i=1}^m I_i, \quad \sum_{i=1}^m \sigma(I_i) < \varepsilon$$

所以$B$是零面积集。
必要性。有定义知$B \subset \bigcup \limits_{i=1}^m I_i$，而$\bigcup \limits_{i=1}^m I_i$是闭集，从而$\bar B \subset \bigcup \limits_{i=1}^m I_i$，在由定义可知，$\bar B$是零面积集。
(5)的充分性由定义2显然得出。
必要性。可知$B$是紧致集而且是零测集，从而对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在开矩形序列$\{I_i\}$，使得

$$B \subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty I_i, \qquad \sum_{i=1}^\infty \sigma(I_i) < \varepsilon$$

由点列极限六的定理2可知，从$\{I_i\}$中可以选取有限个开矩形仍能覆盖住$B$，这些开矩形的面积和自然小于$\varepsilon$，从而$B$是零面积集。

Q.E.D.

定义3

设集合$B \subset \mathbb{R}^2, f: B \to \mathbb{R}$有界。对任何$\boldsymbol{x} \in B$及$r > 0$，令$I_{x,r} = B \cap B_r(\boldsymbol{x})$。用$\omega_f(\boldsymbol{x}, r)$表示$f$在$I_{r,\boldsymbol{x}}$上的振幅。令

$$\omega_f(\boldsymbol{x}) = \lim \limits_{r \to 0^+} \omega_f(\boldsymbol{x}, r)$$

称之为函数$f$在点$\boldsymbol{x}$处的振幅。

定理2

函数$f$在$I_{r, \boldsymbol{x}}$上的振幅

$$\omega_f(\boldsymbol{x}, r) = \sup \{ |f(\boldsymbol{y}_1) - f(\boldsymbol{y}_2)|: \boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2 \in I_{\boldsymbol{x}, r} \}$$

证：与函数积分四的定理2证明方法一样。

Q.E.D.

定理4

设集合$B \subset \mathbb{R}^2$，函数$f$在点$\boldsymbol{x} \in B$处连续的充分必要条件是$\omega_f(\boldsymbol{x}) = 0$。

证：与函数积分四的定理4证明方法一样。

定理5

设$I$是一个矩形，对$\delta < 0$， 记

$$D_\delta = \{ \boldsymbol{x} \in I: \omega_f(\boldsymbol{x}) \ge \delta \}$$

用$D(f)$表示$f$在矩形$I$上不连续点的全体，那么有

$$\displaystyle D(f) = \bigcup_{n=1}^\infty D_{1/n}$$

证：与函数积分四的定理5证明方法一样。

定理6

设$f$是定义在有限闭矩形$I$上的函数，如果存在一列开矩形$I_j(j=1,2,\cdots)$使得$\displaystyle D(f) \subset \bigcup \limits_{j=1}^\infty I_j$，记$K = I \backslash \bigcup \limits_{j=1}^\infty I_j$，那么对任意的$\varepsilon > 0$，一定存在$\delta > 0$，当$\boldsymbol{x} \in K, \boldsymbol{I}$且$\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \Vert < \delta$时，有$|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{y})| < \varepsilon$。

证：与函数积分四的定理6证明方法一样。

定理7：Lebesgue

设函数$f$在闭矩形$I$上有界，那么$f$在$I$上Riemann可积的充分必要条件是$f$在$I$的全体不连续点组成的集$D(f)$是零测集。

证：必要性。由定理5可知，要证明$D(f)$是零测集，只需证明$D_{1/n}$是零测集，由于$f$在$I$上可积，从而对任意的$\varepsilon > 0$，存在$I$的一个分割$\pi = \{ I_1, I_2, \cdots, I_m \}$，使得

$$\sum_{i=1}^m \omega_i \sigma(I_i) < \frac{\varepsilon}{n} \tag{1}$$

令$E_n = D_{1/n} \backslash l(\pi)$，这里$l(\pi)$为$\pi$的分割线所构成的集合，易知$l(\pi)$是一个零面积集，从而只要证明$E_n$是零测集即可。由于$\displaystyle I \backslash l(\pi) = \bigcup_{i=1}^m I_i$，这里$I_i(i=1,2,\cdots,m)$都是开矩形，所以

$$E_n = D_{1/n} \cap (\bigcup_{i=1}^m I_i) \subset \{I_i: I_i \cap D_{1/n} \ne \varnothing \}$$

表明$E_n$被一列开区间的并所覆盖，这一列矩形每一个都含有$D_{1/n}$中的点，任取$\boldsymbol{\alpha} \in D_{1/n} \cap I_i$，则必能取到充分小的$r$，使得$B_r(\boldsymbol{\alpha}) \in I_i$，用$\omega_i$和$\omega_f(\boldsymbol{\alpha}, r)$分别记$f$在$I_i$和$B_{r}(\alpha)$上的振幅，那么

$$\omega_i \ge \omega_f(\boldsymbol{\alpha}, r) \ge \omega_f(\boldsymbol{\alpha}) \ge \frac{1}{n} \tag{2}$$

如果用$\sum \nolimits^\prime$表示对那些满足$D_{1/n} \cap I_i \ne \varnothing$的$i$求和，那么由式(1)和式(2)可得

$$\frac{\varepsilon}{n} > \sum_{i=1}^m \omega_i \sigma(I_i) \le \sum \nolimits^\prime \omega_i \sigma(I_i) \ge \frac{1}{n} \sum \nolimits^\prime \sigma(I_i)$$

即

$$\sum \nolimits^\prime \sigma(I_i) < \varepsilon$$

这正好说明$E_n$是一个零面积集，所以$D_{1/n}$是零测集。
充分性。设$D(f)$是一个零测集，从而对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一列开矩形$J_i(i=1,2,\cdots)$，使得

$$D(f) \subset \bigcup_{i=1}^\infty J_i \qquad \sum_{i=1}^\infty \sigma(J_i) < \frac{\varepsilon}{2\omega}$$

这里$\omega$是$f$在$I$上的振幅。令

$$K = I \backslash \bigcup \limits_{i=1}^\infty J_i$$

由定理6可知，对上述的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$\boldsymbol{x} \in K, \boldsymbol{y} \in I$，且$\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \Vert < \delta$时，有

$$|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{y})| < \frac{\varepsilon}{4\sigma(I)}$$

现取分割$\pi = \{ I_1, I_2, \cdots, I_m\}$，使得$\Vert \pi \Vert < \delta$，令

$$\sum_{i=1}^m \omega_i \sigma(I_i) = \sum \nolimits_1 \omega_i \sigma(I_i) + \sum \nolimits_2 \omega_i \sigma(I_i)$$

其中$\sum \nolimits_1$表示对$K$和$I_i$相交的那些$i$求和，$\sum \nolimits_2$表示对$K$和$I_i$不相交的那些$i$求和。对$\sum \nolimits_1$中的项，因为$K \cap I_i \ne \varnothing$，任取$\boldsymbol{y}_i \in K \cap I_i$，则

$$\begin{aligned} \omega_i & = \sup\{ |f(\boldsymbol{z}_1) - f(\boldsymbol{z}_2)|: \boldsymbol{z}_1, \boldsymbol{z}_2 \in I_i \} \\ & \le \sup \{ |f(\boldsymbol{z}_1) - f(\boldsymbol{y}_i)| + |f(\boldsymbol{z}_2) - f(\boldsymbol{y}_i) |: \boldsymbol{z}_1, \boldsymbol{z}_2 \in I_i, \boldsymbol{y}_i \in K \cap I_i \} \\ & \le \frac{\varepsilon}{2\sigma(I)} \end{aligned}$$

从而

$$\sum \nolimits_1 \omega_i \sigma(I_i) \le \frac{\varepsilon}{2\sigma(I)} \sigma(I) = \frac{\varepsilon}{2} \tag{3}$$

对$\sum \nolimits_2$中的项，由于$K \cap I_i = \varnothing$吗，所以当$\boldsymbol{x} \in I_i$，$\boldsymbol{x} \notin K$，从而$\displaystyle \boldsymbol{x} \in \bigcup_{i=1}^\infty J_i$，即$I_i \subset \bigcup \limits_{i=1}^\infty J_i$，所以

$$\sum \nolimits_2 \sigma(I_i) \le \sum_{i=1}^\infty \sigma(J_i) < \frac{\varepsilon}{2\omega}$$

从而

$$\sum \nolimits_2 \omega_i \sigma(I_i) \le \omega \sum \nolimits_2 \sigma(I_i) < \frac{\varepsilon}{2} \tag{4}$$

由式(3)和式(4)可知，

$$\sum_{i=1}^m \omega_i \sigma(I_i) < \varepsilon$$

所以$f$在$I$上可积。

Q.E.D.

定理8

设函数$f: I \to \mathbb{R}$有界。如果集合$B = \{\boldsymbol{x} \in I, f(\boldsymbol{x}) \ne 0 \}$为一零面积集，那么$f$在$I$上可积，并且

$$\int_I f \mathrm{d} \sigma = 0$$

证：显然$I^\circ \backslash \overline B$中的点都是$f$的连续点，从而$D(f) \subset \partial I \cup \overline B$，而$\partial I$和$\overline B$都是零面积集（$I$是有界闭矩形，要证明$\partial I$是零面积集，即证明线段是零面积集，这里略证），从而$D(f)$是零测集，所以$f$在$I$上可积。对于$I$的任一分割$\pi = \{ I_1, I_2, \cdots, I_k \}$，由于$\overline B$是零面积集，那么对任何子矩形$I_i$，比如存在点$\boldsymbol{\xi}_i \in I_i$，使得
$f(\boldsymbol{\xi}_i) = 0$，从而Riemann和

$$\sum_{i=1}^k f(\boldsymbol{\xi_i}) \sigma(I_i) = 0$$

由积分的存在性可知

$$\int_I f \mathrm{d} \sigma = 0$$

Q.E.D.

定理9

设函数$f, g$在$I$上有界，且集合$B = \{ \boldsymbol{x} \in I, f(\boldsymbol{x}) \ne g(\boldsymbol{x}) \}$为一个零面积集，那么若$f$与$g$有一个在$I$可积，则另一个也在$I$上可积，并且

$$\int_I f \mathrm{d} \sigma = \int_I g \mathrm{d} \sigma$$

证：不妨设$g$在$I$上可积，零$h = f - g$，由定理8可知，$h$在$I$上可积，且

$$\int_I h \mathrm{d} \sigma = 0$$

从而

$$\int_I f \mathrm{d} \sigma = \int_I h \mathrm{d} \sigma + \int_I g \mathrm{d} \sigma = \int_I g \mathrm{d} \sigma$$

Q.E.D.