函数积分三：可积性理论

定理1

设函数$f$在$[a,b]$上Riemann可积，则$f$在$[a,b]$上有界。

证：设$f$在$[a,b]$上的积分为$I$，则由函数积分二的定义2可知，对$\varepsilon = 1$，必存在一个分割$\pi$，使得

$$\left| \sum_{i=1}^nf(\xi_i) \Delta x_i - I \right| < I$$

这里值点$\xi_i \in [x_{i-1}, x_i] (1 \le i \le n)$可以任取，由上式可得

$$\left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \right| < |I| + 1$$

从而有

$$|f(\xi_1)| \Delta x_1 < |I| + 1 + \left| \sum_{i=2}^n f(\xi_i) \Delta x_i \right|$$

即

$$|f(\xi_1)| < \frac{1}{\Delta x_1} \left( |I| + 1 + \left| \sum_{i=2}^n f(\xi_i) \Delta x_i \right| \right)$$

此时，把在$[x_{i-1}, x_i]$中的$\xi_i$固定下来$(i=2,3,\cdots,n)$，则上式右边是一个确定的正数，而$\xi_i$可以在$[x_0,x_1]$上任取，这就证明了$f$在区间$[x_0,x_1]$上有界。同理$f$在子区间$[x_{i-1},x_i] (i=2,3,\cdots,n)$上都是有界的，所以$f$在区间$[a,b]$上有界。

Q.E.D.

定义1：振幅

设函数$f$在区间$[a,b]$上有界，用$M$与$m$分别表示$f$在$[a,b]$上的上确界和下确界，令$\omega = M - m$，称$\omega$为函数$f$在区间$[a,b]$上的振幅。

定义2：上和与下和

设函数$f$在区间$[a,b]$上有界，对$[a,b]$上的任何分割

$$\pi : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$$

在$\pi$的第$i$个子区间$[x_i-1, x_i]$上$f$的上确界与下确界分别记为$M_i$与$m_i$，并令$\omega_i = M_i - m_i$，称$\omega_i$为$f$在$[x_{i-1}, x_i]$上的振幅，这里$i=1,2,\cdots,n$。定义

$$\overline S (f, \pi) = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i, \quad \underline S(f, \pi) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i$$

并分别称它们是$f$关于分割$\pi$的上和与下和。

定理2

设$\pi$与$\pi^\prime$是$[a,b]$上的两个分割，其中$\pi^\prime$是在$\pi$的分点上多加了$k$个新的分点而成的，则

$$\begin{aligned} \underline S(f, \pi) \le \underline S(f, \pi^\prime) \le \underline S(f, \pi) + k\omega \Vert \pi \Vert \\ \overline S (f, \pi) \ge \overline S(f, \pi^\prime) \ge \overline S(f, \pi) - k \omega \Vert \pi \Vert \end{aligned}$$

证：首先考虑$k=1$的情况，即$\pi^\prime$是在$\pi$的分点上添加了1个新的分点，不失一般性，可设在第$i$个区间$[x_{i-1}, x_i]$内再加上一个分点$x^*$。即

$$\pi^\prime : a = x_0 < x_1 < \cdots x_{i-1} < x^* < x_i < \cdots < a_n = b$$

这时有

$$\begin{aligned} \underline S(f, \pi) - \underline S(f, \pi^\prime) &= m_i \Delta x_i - ((x^* - x_{i-1}) \inf f([x_{i-1}, x^*]) + (x_i - x^*) \inf f([x^*, x_i])) \\ & \le m_i \Delta x_i - ((x^* - x_{i-1}) m_i + (x_i - x^*) m_i) \\ &= 0 \end{aligned}$$

即$\underline S(f, \pi) \le \underline S(f, \pi^\prime)$，另一方面，显然有

$$\begin{aligned} \underline S(f, \pi) - \underline S(f, \pi^\prime) &= m_i \Delta x_i - ((x^* - x_{i-1}) \inf f([x_{i-1}, x^*]) + (x_i - x^*) \inf f([x^*, x_i])) \\ & \ge m_i \Delta x_i - ((x^* - x_{i-1}) M_i + (x_i - x^*) M_i) \\ & = -\omega_i \Delta x_i \ge -\omega_i \Vert \pi \Vert \ge \omega \Vert \pi \Vert \end{aligned}$$

即$\underline S(f, \pi^\prime) \le \underline S(f, \pi) + \omega \Vert \pi \Vert$。
从而得到

$$\underline S(f, \pi) \le \underline S(f, \pi^\prime) \le \underline S(f, \pi) + \omega \Vert \pi \Vert$$

类似地，可以得到

$$\overline S (f, \pi) \ge \overline S(f, \pi^\prime) \ge \overline S(f, \pi) - \omega \Vert \pi \Vert$$

从而，易知当$k$为愿意正整数时，结论成立。

Q.E.D.

定理3

对于任意两个分割，一个分割的下和总是不超过另一个分割的上和。

证：设$\pi_1$与$\pi_2$是$[a,b]$上的两个分割，如果$\pi_1$的所有分点都是$\pi_2$的分点，则称分割$\pi_2$比$\pi_1$更细或者分割$\pi_1$比$\pi_2$更粗，记为$\pi_1 \le \pi_2$；将$\pi_1$的分点与$\pi_2$的分点合并组成新的分割记为$\pi = \pi_1 + \pi_2$，则显然有$\pi_1 + \pi_2 \le \pi_i (i=1,2)$，则由定理2可知

$$\underline S(f, \pi_1) \le \underline S(f, \pi) \le \overline S(f, \pi) \le \overline S(f, \pi_2)$$

Q.E.D.

定义3：上积分和下积分

所有上和组成的集合有下界，从而有下确界，用$\overline I$表示上和的下确界，并称之为$f$在$[a,b]$上的上积分；所有下和组成的集合有上界，从而有上确界，用$\underline I$表示下和的上确界，并称之为$f$在$[a,b]$上的下积分；并有

$$\underline f(f, \pi_1) \le \underline I \le \overline I \le \overline S(f, \pi_2)$$

这里$\pi_1$与$\pi_2$是$[a,b]$上的任意两个分割。

定理4：Darboux

对$[a,b]$上的任意有界函数，有

$$\lim \limits_{\Vert \pi \Vert \to 0} \overline S(f, \pi) = \overline I, \quad \lim \limits_{\Vert \pi \Vert \to 0} \underline S(f, \pi) = \underline I$$

证：这里证明第二个等式，第一个等式的证明方法类似。按照定义，有

$$\underline I = \sup_m \underline S(f, \pi)$$

从而对任意的$\varepsilon > 0$，存在$[a,b]$上的一个分割$\pi_0$，使得

$$\underline S (f, \pi_0) > \underline I - \frac{\varepsilon}{2}$$

设$\pi_0$有$l$个内分点，将$\pi_0$和$\pi$的分点组合称新的分割$\pi^\prime$，则$\pi^\prime$是在$\pi$的分点基础上至多添加了$l$个分点的分割，从而由定理2可知，

$$\underline S(f, \pi^\prime) \le \underline S(f, \pi) + l\omega \Vert \pi \Vert$$

则

$$\underline S(f, \pi) \ge \underline S(f, \pi^\prime) - l\omega \Vert \pi \Vert \ge \underline S(f, \pi_0) - l\omega \Vert \pi \Vert > \underline I - \frac{\varepsilon}{2} - l\omega \Vert \pi \Vert$$

即

$$\underline I - \underline S(f, \pi) < \frac{\varepsilon}{2} + l \omega \Vert \pi \Vert$$

所以对任意$\varepsilon > 0$，只要有

$$\Vert \pi \Vert < \frac{\varepsilon}{2l\omega + 1}$$

则

$$0 < \underline I - \underline S(f, \pi) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

即

$$\lim \limits_{\Vert \pi \Vert \to 0} \underline S(f, \pi) = \underline I$$

Q.E.D.

定理5

设函数$f:[a,b] \to \mathbb{R}$有界，则以下三个条件互相等价：
（1）$f$在$[a,b]$上可积；
（2）$\displaystyle \lim \limits_{\Vert \pi \Vert \to 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = 0$，其中$\omega_i = M_i - m_i$是$f$在$[x_{i-1}, x_i] (i=1,2,\cdots,n)$上的振幅；
（3）$\underline I = \overline I$。

证：$(1)\Rightarrow (2)$
设$f$在$[a,b]$上的积分值为$I$，则对任意的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意满足$\Vert \pi \Vert < \delta$的分割$\pi$，有

$$I - \frac{\varepsilon}{3} < \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i < I + \frac{\varepsilon}{3}$$

对一切值点$\xi_i \in [x_{i-1}, x_i] (i=1,2,\cdots,n)$成立，从而有

$$I - \frac{\varepsilon}{3} \le \underline S(f, \pi) \le \overline S(f, \pi) \le I - \frac{\varepsilon}{3}$$

从而有

$$0 < \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \le I - \frac{2}{3}\varepsilon < \varepsilon$$

$(2)\Rightarrow (3)$
若（2）成立，则有

$$0 \le \overline I - \underline I \le \overline S(f, \pi) - \underline S(f, \pi) = \sum \limits_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i < \varepsilon$$

由于$\varepsilon$是任何的正数，所以$\overline I = \underline I$。
$(3) \Rightarrow (1)$
设$\overline I = \underline I = I$，则对任意的分割$\pi$，有

$$\underline S(f, \pi) \le \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \le \overline S(f, \pi)$$

两边同时取极限$\Vert \pi \Vert \to 0$，得到

$$\underline I \le \lim \limits_{\Vert \pi \Vert \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \le \overline I$$

所以

$$\lim \limits_{\Vert \pi \Vert \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i = I$$

即$f$在$[a,b]$上可积。

Q.E.D.

定理6

设$f$是定义在$[a,b]$上的单调函数，则$f$在$[a,b]$上可积。

证：不失一般性，不妨设$f$是递增函数，若$f(a)=f(b)$，则$f$在$[a,b]$上是常数，显然可积。下面设$f(b) > f(a)$，对任意给定的$\varepsilon > 0$，有

$$\begin{aligned} 0 & \le \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = \sum \limits_{i=1}^n (M_i - m_i) \Delta x_i \\ & \le \sum_{i=1}^n (f(x_i) - f(x_{i-1})) \Delta x_i \\ & \le \Vert \pi \Vert (f(b) - f(a)) \end{aligned}$$

所以取$\displaystyle \delta = \frac{\varepsilon}{f(b) - f(a)}$，只要分割$\pi$满足$\Vert \pi \Vert < \delta$，就有

$$0 < \sum \limits_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i < \varepsilon$$

所以$f$在$[a,b]$上可积。

Q.E.D.

定理7

设$f: [a,b] \to \mathbb{R}$是连续函数，则$f$在$[a,b]$上可积。

证：由于$f$在$[a,b]$上一致连续，所以对任意给定的$\varepsilon > 0$，必有$\delta > 0$，使得当$s, t \in [a,b]$且$|s - t| < \delta$时，有

$$|f(s) - f(t)| < \frac{\varepsilon}{b - a}$$

对$[a,b]$上的一个分割

$$\pi: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$$

设

$$M_i = f(s_i), \quad m_i = f(t_i)$$

其中$s_i, t_i \in [x_{i-1}, x_i] (i=1,2,\cdots,n)$，只要$\Vert \pi \Vert < \delta$，就有

$$|s_i - t_i| \le \Delta x_i \le \Vert \pi \Vert < \delta$$

从而有

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = \sum \limits_{i=1}^n (M_i - m_i) \Delta x_i &= \sum \limits_{i=1}^n (f(s_i) - f(t_i)) \Delta x_i \\ & < \frac{\varepsilon}{b - a} \sum_{i=1}^n \Delta x_i = \varepsilon \end{aligned}$$

所以$f$在$[a,b]$上可积。