数学试题：自创篇

$1.$ 递增等比数列$\{a_n\}$，有$a_1^2+a_2^2+a_3^2 = 8, a_1 + a_2 + a_3 = 4$，则该数列的公比为？

$2.$ 已知$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \le \beta < \alpha < \gamma \le \frac{\pi}{2}$，且$\displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\sin 2\alpha - 1}{\cos 2\alpha}, \tan(\alpha + \gamma) = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + 1}$，则$\tan (\beta + \gamma)=$？

$3.$ 在$\triangle ABC$中，$AB = 3, AC = 4$，$O$外心，$G$为重心，则$|\overrightarrow{GC}|^2 - \overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{BC} - |\overrightarrow{GB}|^2=$？

$4.$ $a,b,c$为三角形$ABC$的三边长，满足$a \le b \le c$，令$R,r$分别是该三角形的外切圆半径和内切圆半径，则“三角形$ABC$是直角三角形“是“$a, R+r, b$按顺序成等差数列”的什么条件？

$5.$ 如图所示，$\triangle ABC$中，$F,E$分别在边$AB,AC$上，且$\displaystyle \frac{AF}{FB} = k_1, \displaystyle \frac{AE}{EC}=k_2$，线段$CF$与$BE$交于点$O$，作$AO$的延长线交$BC$于点$D$，则$\displaystyle \frac{BD}{CD}=$？

$6.$ 如图所示，在$\triangle ABC$中，$AD$为$\angle BAC$的角平分线且交$BC$于点$D$，
（1）当$\angle A = 90^\circ$时，记该三角形面积，内切圆面积，外切圆面积分别为$S, S_{内}, S_{外}$，求证$\displaystyle \frac{S_{内} + S_{外}}{3} > S$；
（2）求证：$AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$。

$7.$ 已知在$\triangle ABC$中，$a,b,c$分别是角$A,B,C$的对边，$h$为最长边$c$上的高，且$\displaystyle \frac{1}{h}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}$成等差数列，记$\lambda = 9 \cos B \sin 2B$；
（1）求$2\sin B - \sin A$的值；
（2）是否存在正整数对$p,q$，使得$p < \lambda < q$恒成立？若存在，求出$q - p$的最小值；反之，请说明理由。

$8.$ 在$\triangle ABC$中，$a, b, c$分别是角$A,B,C$的对边，且$(a+b)\cos \alpha = c$，其中$\alpha$为实数；
（1）若$\angle C = 90^\circ$，求$\alpha$的取值范围；
（2）若$\sin C \cos \alpha = \sin B$，求证$2a < 3c < 6b$。

$9.$ 在平面直角坐标系$xOy$中，有两点$A,B$，已知点$P$到点$A,B$之间的距离之比$\displaystyle \lambda = \frac{|PA|}{|PB|}$，$\lambda$为定值，且$\lambda > 1$；
（1）证明点$P$的轨迹形状为圆；
（2）记（1）中的圆的圆心为$C$，且$|CP| \ge |AB|$对任意点$P$恒成立，求$\lambda$的取值范围。

$10.$ 已知函数$\displaystyle f(x) = x - \frac{1}{2^x + 1}$；
（1）证明函数$f(x)$的零点唯一，且零点$x_0 \in (-1, 1)$；
（2）令$x_1 = -1, x_2 = 1$，记函数$f(x)$与$x$轴，$x=x_1, x=x_2$构成的面积分别为$S_1, S_2$，问$S_1$和$S_2$的大小关系，相差多少，试证之。

$11.$ 数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$，且$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n} = \frac{2 a_n}{n+1}$；
（1）求$\{a_n\}$的通项公式；
（2）记数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，$\displaystyle \{ \frac{2^n}{n^2} \}$的前$n$项和为$T_n$，求证$\displaystyle a_n \le 2 + \frac{S_n - T_n}{2}$。

$12.$ 如图所示，已知椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)$上存在过其左焦点的一条直线$l$与椭圆交于$A,B$两点，坐标原点$O$关于直线$l$的对称点为$D$，使得$O,A,B,D$四点共圆，求椭圆的离心率$e$的取值范围。

$13.$ 证明过抛物线准线上的任意一点作抛物线的两条切线，则两个切点和抛物线的焦点共线。类似的，探讨椭圆和双曲线是否具有相似的性质？

$14.$ 如图所示，已知椭圆$\displaystyle G: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$，抛物线$C: y = x^2 - b^2$，若椭圆$G$与抛物线$C$的其中一个交点$(x_0,y_0)$到点$\displaystyle (0, \frac{1}{4} - b^2)$的距离为$\displaystyle \frac{23}{12}$，且椭圆$G$的离心率为$\displaystyle \frac{\sqrt 6}{3}$；
（1）求$y_0$的值；
（2）若直线$\displaystyle l: y = \frac{\sqrt 3}{3}x + m$与可行域$\left \{ \begin{aligned} &y \le x^2 - b^2 \\& \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} <= 1 \end{aligned}\right.$的边界交于不同的四点，从左到右依次记为$A,B,C,D$，问是否存在这样的直线$l$使得$|AB|, |BC|, |CD|$成等差数列？并说明理由。

$15.$ 已知在$\triangle ABC$中，$a,b, c$分别是角$A,B,C$的对边，数列$A: \{a^2,b^2,c^2\}$，数列$B: \{ \cot A, \cot B, \cot C \}$；
（1）若数列$A$的项和与数列$B$的项和相等，求三角形$ABC$的面积；
（2）证明数列$A$成等差数列的充要条件是数列$B$成等差数列。

$16.$ 数列$\{a_n\}$满足$\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{a - a_n}(n,a \in \mathbb{N^+}, a \ge 2)$，$a_1=0$；
（1）若$a=2$；
（i）求$\lim \limits_{n \to + \infty} a_n$；
（ii）令$\displaystyle b_n = a_n + \frac{1}{a_n} (n \ge 2)$，求$b_2 + b_3 + \cdots + b_n$的值。
（2）求证对任意的$n \ge 2$，都有$0 \le a_n < a_{n+1} < \frac{1}{a-1}$；
（3）令$S_n = \dfrac{1}{n-1}\sum \limits_{k=1}^n a_n (n \ge 2)$，求证：$\displaystyle S_n \ge (a_n^2 - aa_n + 1)^{\frac{1}{2(n-1)}} (n \ge 2)$。

$17.$ 在椭圆上有一点$M$，记$M$在椭圆上的切线为$l_1$，过原点$O$做一直线$l_2$使得$l_1 \perp l_2$，记$OM$所在直线为$l_3$，求$l_2$与$l_3$的夹角$\alpha$的取值范围。

$18.$ 已知在$\triangle ABC$中，$a,b, c$分别是角$A,B,C$的对边，$b \sin A + a \sin B = 3, \angle C = 60^\circ$，求边长$c$的取值范围。

$19.$ 已知在$\triangle ABC$中，$a,b, c$分别是角$A,B,C$的对边，且$\displaystyle \cos A = \frac{a}{b}$；
（1）若$\displaystyle \frac{c}{a} = 1, b = 2$，求三角形的面积；
（2）若$\triangle ABC$为锐角三角形，求$\displaystyle \frac{c}{a}$的取值范围。

$20.$ 设三角形的周长为$l$，外切圆和内切圆的半径分别为$R,r$，求$\displaystyle \frac{Rr}{l^2}$的最大值。

$21.$ 如图所示，已知抛物线$C: y^2 = 2px (p>0)$的焦点为$F$，准线与$x$轴的交点为$K$，过点$F$作一动直线$l$与抛物线交于$A,B$两点，当直线$l$的倾斜角为$30^\circ$时，$\triangle ABK$的面积为$8$；
（1）求抛物线$C$的方程；
（2）记$\triangle ABK$的内切圆半径为$r$，求$r$的取值范围。

$22.$ （1）已知$-c \le x, y \le c$（$c$为正常实数）,求证$\displaystyle x + y \le c + \frac{xy}{c}$；
（2）已知$-1 \le m, n \le 1$，求$\displaystyle (1+m)(1+n)(1 - \frac{m + n}{1 + mn})$的取值范围。
（3）$a,b,c$是一个三角形的三边长，求$\displaystyle (\frac{a+b}{c}-1)(\frac{a+c}{b}-1)(\frac{b+c}{a}-1)$的取值范围。

$23.$ 如图所示，抛物线$y^2 = 4(x+1) (x \le 0)$的一部分与其关于$y$轴对称的曲线合成的曲线称为“类椭圆”，设$F_1(0, \sqrt 3), F_2(0, -\sqrt 3)$；
（1）若$P$为该“类椭圆”上一点，试证明$|PF_1| + |PF_2| \le 4$；
（2）过点$D(2, 0)$的直线与“类椭圆”交于$A,B$两点，若$\overrightarrow {DB} = \lambda \overrightarrow {DA}$，求$\lambda$的取值范围；
（3）过“类椭圆”内任意一点作相互垂直的两条直线$l_1, l_2$分别交“类椭圆”于$M,N$和$S,T$四点，求四边形$MSNT$的最大值。

$24.$ 在$\triangle ABC$中，$a, b, c$分别是角$A,B,C$的对边，$h$为边$c$上的高，$p$为$\triangle ABC$的半周长，已知$a < b < c$，且$\displaystyle \frac{1}{a}, \frac {1}{b}, \frac{1}{h}, \frac{1}{p}$按某种次序成等差数列，并记该数列为$K_4$；
（1）试写出所有可能排列的$K_4$，并说明理由；
（2）求$a:b:c$。

$25.$ 记平面内三角形全体构成的集合为$\Delta$，任取三角形$\delta$，记$R_\delta,r_\delta$分别为该三角形的外切圆和内切圆半径，$\displaystyle t_\delta = \frac{r_\delta}{R_\delta}$；
（1）求$S = \{t_\delta | \delta \in \Delta\}$；
（2）求$T = \{t \big| \exists A_t, \forall \delta \in A_t, t_\delta = t$,其中$A_t$为无穷多个互不相似的三角形构成的集合$\}$。

$26.$
（1）在三角形$ABC$的边$BC$上任取一个不与$B,C$重合的点$D$，记$\triangle ABC, \triangle ABD, \triangle ADC$的内切圆半径分别为$r,r_1,r_2$，求$\dfrac{r}{r_1+r_2}$的取值范围（用三角形$ABC$的三边长表示）。
（2）在三角形$AD_0D$的边$D_0D$上任取$n$个点$D_1,D_2,\cdots,D_n$，这时不妨记$D$为$D_{n+1}$，并满足$D_0D_{i+1} > D_0D_i (i=0, 1, \cdots, n)$，记$\triangle AD_iD_{i+1}$的内切圆半径为$r_i$，并记$\triangle AD_0D_{n+1}$的内切圆半径为$r$，求$\displaystyle \frac{r}{\sum \limits_{i=0}^n r_i}$的取值范围（用三角形$AD_0D$的三边长表示），其中$i=0,1,\cdots,n$。