函数极限六：多变量函数的一致连续性

定义1：多变量函数的一致连续性

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$f: D \to \mathbb{R}$。如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in D$，且$\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \Vert < \delta$时，有$|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{y})| < \varepsilon$，则称$f$在$D$上一致连续。

定理1

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$f: D \to \mathbb{R}$，且$f$在$D$上连续，如果$D$是紧致集，那么$f$在$D$上一致连续。

证：反证法。如果$f$在$D$上不一致连续，则存在一个$\varepsilon_0 > 0$，使得对任何$i \in \mathbb{N}^*$，在$D$中总可以找到两个点$\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{y}_i$，当$\Vert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{y}_i \Vert < 1/i$，有

$$|f(\boldsymbol{x}_i) - f(\boldsymbol{y}_i)| \ge \varepsilon_0$$

由于$D$是紧致集，也是列紧集，从而在点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$中可以找出子列$\{\boldsymbol{x}_{k_i}\}$收敛于点$\boldsymbol{x} \in D$，此时有

$$\Vert \boldsymbol{y}_{k_i} - \boldsymbol{x} \Vert \le \Vert \boldsymbol{y}_{k_i} - \boldsymbol{x}_{k_i} \Vert + \Vert \boldsymbol{x}_{k_i} - \boldsymbol{x} \Vert \le \frac{1}{k_i} + \Vert \boldsymbol{x}_{k_i} - \boldsymbol{x} \Vert \le \frac{1}{i} + \Vert \boldsymbol{x}_{k_i} - \boldsymbol{x} \Vert$$

从而，当$i \to \infty$，$\boldsymbol{y}_{k_i} \to \boldsymbol{x}$，而

$$|f(\boldsymbol{x}_{k_i}) - f(\boldsymbol{y}_{k_i})| \ge \varepsilon_0$$

成立，在上式中，令$i \to \infty$并由$f$的连续性可知

$$0 = \Vert f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{x}) \Vert \ge \varepsilon_0 > 0$$

矛盾。

Q.E.D.

定理2

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$f: D \to \mathbb{R}$，且$f$在$D$上连续，如果$D$是紧致集，那么$f$的值域$f(D)$也是紧致集。

证：任取$f(D)$中的一个点列$\{y_i\}$，那么在$D$中存在一个点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$，使得$f(\boldsymbol{x}_i) = y_i (i=1,2,\cdots)$，由于$D$是列紧集，从而点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$存在一个子列$\{\boldsymbol{x}_{k_i}\}$收敛于$D$中的一点$\boldsymbol{x}$，又由于$f$是$D$上的连续函数，所以

$$\lim \limits_{i \to \infty} f(\boldsymbol{x}_{k_i}) = f(\boldsymbol{x}) \in f(D)$$

这就表明从点列$\{y_i\}$中找到了一个子列$\{y_{k_i}\}$，有

$$\lim \limits_{i \to \infty} y_{k_i} = \lim \limits_{i \to \infty} f(\boldsymbol{x}_{k_i}) = f(\boldsymbol{x}) \in f(D)$$

即子列$\{y_{k_i}\}$收敛于$f(D)$中的点。因为点列$\{y_i\}$是任取的，所以$f(D)$是紧致集。

Q.E.D.

定理3

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$f: D \to \mathbb{R}$，且$f$在$D$上连续，如果$D$是紧致集，那么$f$在$D$上能取到它的最小值和最大值。

证：由定理2可知，$f(D)$是$\mathbb{R}$上的紧致集，即有界闭集，从而$f(D)$有上确界和下确界。设

$$M = \sup f(D)， \qquad m = \inf f(D)$$

由上确界的定义可知，对任意的$i \in \mathbb{N}^*$，存在$\boldsymbol{x}_i \in D$，使得

$$M - \frac{1}{i} < f(\boldsymbol{x}_i) < M$$

令$i \to \infty$，可得$\lim \limits_{i \to \infty} f(\boldsymbol{x}_{i}) = M$，由于$f(\boldsymbol{x}_{i}) \in D$，且$f(D)$是闭集，可知$M \in f(D)$，同理可证$m \in f(D)$。

Q.E.D.

定理4

设$D \subset \mathbb{R}^n$是一连通集，函数$f: D \to \mathbb{R}$是连续的，那么$f(D)$是$\mathbb{R}$中的连通集。

证：设有分解式$f(D) = A \cup B$，其中$A,B$是不相交的非空集，从而

$$D = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$$

利用映射的概念易证$f^{-1}(A)$和$f^{-1}(B)$是非空集且不相交。利用$D$是连通集的性质，不妨设$f^{-1}(A)$中包含$f^{-1}(B)$中的凝聚点，即$f^{-1}(B)$中有点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$收敛于$f^{-1}(A)$中的点$\boldsymbol{x}$。由于函数$f$是连续函数，所以$f(\boldsymbol{x}_i) \to f(\boldsymbol{x}) (i \to \infty)$，而$\{f(\boldsymbol{x}_i)\} \subset B$，$f(\boldsymbol{x}) \in A$，这就表明$A \cap B^{\prime} \ne \phi$。

Q.E.D.

定理5：介值定理

设$D \subset \mathbb{R}^n$是一连通集，函数$f: D \to \mathbb{R}$是连续的，如果$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \in D$和$r \in \mathbb{R}$使得

$$f(\boldsymbol{a}) < r < f(\boldsymbol{b})$$

那么存在$\boldsymbol{c} \in D$，使得$f(\boldsymbol{c}) = r$。

证：由定理4可知，$f(D)$是$\mathbb{R}$连通集，再由点列极限六的定理4可知$f(D)$是区间。从而区间$[f(\boldsymbol{a}), f(\boldsymbol{b})] \subset f(D)$，可得$r \in f(D)$，所以存在点$\boldsymbol{c} \in D$，使得$f(\boldsymbol{c}) = r$。

Q.E.D.