函数极限二：其它类型的函数极限

定义1：自变量趋于$+\infty$的极限

若对$\forall \varepsilon>0, \exists A > 0$，使得当$x > A$时，有$|f(x) - l| < \varepsilon$，此时称在正无穷处函数有极限$l$，记为

$$f(+\infty) = \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = l$$

或简单记作

$$f(x) \to l (x \to +\infty)$$

类似地可以定义$f(-\infty) = \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = l$

定义2：自变量趋于$\infty$的极限

若对$\forall \varepsilon>0, \exists A > 0$，使得当$|x| > A$时，有$|f(x) - l| < \varepsilon$，此时称当$x$趋于无穷时，函数有极限$l$，记为

$$f(\infty) = \lim \limits_{x \to \infty} f(x) = l$$

或简单记作

$$f(x) \to l (x \to \infty)$$

定理1

$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = l$当且仅当

$$f(-\infty) = f(+\infty) = l$$

证：必要性和充分性都由定义显然。
Q.E.D.

定义3：无穷大

设$x_0$是一个实数，函数$f(x)$在$x_0$的一个近旁（可能除$x_0$之外）有定义，若对$\forall A>0, \exists \delta > 0$，使得当$0< |x - x_0| < \delta$时，有$|f(x)| > A$，则称函数$f$趋向于无穷大，记作

$$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$$

或者

$$f(x) \to \infty (x \to x_0)$$

类似地可以定义

$$\begin{aligned} \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty \quad \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty \\ \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \infty \quad \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = \infty \end{aligned}$$

等等

定义4：无穷小

设$x_0$是一个实数，函数$f(x)$在$x_0$的一个近旁（可能除$x_0$之外）有定义，若对$\forall \varepsilon>0, \exists \delta > 0$，使得当$0< |x - x_0| < \delta$时，有$|f(x)| < \varepsilon$，则称函数$f$趋向于无穷小，记作

$$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = 0$$

或者

$$f(x) \to 0 (x \to x_0)$$

类似地可以定义

$$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = 0 \quad \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$$

等等

定义5

设当$x \to x_0$时，函数$f$和$g$都是无穷小，并且$g$在$x_0$的一个无穷小近旁（除$x_0$外）不等于0
（1）如果$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称$f$是比$g$更高阶的无穷小；
（2） 如果$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l \ne 0$，则称$f$与$g$是同阶的无穷小；
（3） 如果$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，则称$f$与$g$是等价的无穷小，记作

$$f \sim g \quad (x \to x_0)$$

（4） 当$x \to x_0$时，如果$f$与$(x-x_0)^\alpha$是同阶无穷小，则称$f$为$\alpha$阶的无穷小

类似地，可以定义，如果$f$与$g$都是无穷大

（1） 如果$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称$g$是比$f$更高阶的无穷大；
（2） 如果$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l \ne 0$，则称$f$与$g$是同阶的无穷大；
（3） 如果$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，则称$f$与$g$是等价的无穷大

定理2

如果当$x \to x_0$（$x_0$可以是$\pm\infty$）时，$f,g$是等价的无穷小或无穷大，则
（1） $\lim \limits_{x \to x_0} f(x) h(x) = \lim \limits_{x \to x_0} g(x)h(x)$
（2） $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{h(x)} = \lim \limits_{x \to x_0} \frac{g(x)}{h(x)}$

证：（1） $\lim \limits_{x \to x_0} f(x) h(x) = \lim \limits_{x \to x_0} g(x) h(x) \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to x_0} g(x) h(x)$；
（2） 证明与（1）一样。

Q.E.D.

定义6：$O$与$o$表示法

设函数$f$与$g$在$x_0$的近旁（$x_0$除外）有定义，并且$g(x)\ne 0$
（1）当$x \to x_0$，若比值$f(x)/g(x)$保持有界，即存在一个正常数$M$，使得$|f(x)|\le M|g(x)|$，就用$f(x) = O(g(x))(x\to x_0)$来表示；
（2）当$x \to x_0$，若比值$f(x)/g(x)$是一个无穷小，即

$$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$$

就用$f(x) = o(g(x))(x\to x_0)$表示
特别地，$f(x)=O(1)(x\to x_0)$表示有界的函数，$g(x)=o(1)(x \to x_0)$表示一个无穷小。