函数导数六：函数的微分

定义1：微分

设函数$f$在$(a,b)$上有定义，且$x_0 \in (a,b)$，如果存在一个常数$\lambda$，使得

$$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \lambda \Delta x + o(\Delta x) \quad (\Delta x \to 0)$$

则称函数$f$在点$x_0$处可微，$\lambda \Delta x$称为$f$在$x_0$处的微分，记作$\mathrm{d}f(x_0)$。如果$f$在$(a,b)$上任意一点都可微，则称$f$在$(a,b)$上可微。

定理1

函数$f$在点$x_0$处可微的充分必要条件是$f$在$x_0$处可导。

证：必要性。由可微的定义可知

$$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \lambda \Delta x + o(\Delta x) \quad (\Delta x \to 0)$$

上式两边同时除以$\Delta x$，可得

$$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lambda + o(1) \quad (\Delta x \to 0)$$

从而得到

$$\lambda = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f^\prime(x_0)$$

这就表明$f$在$x_0$处可导；

充分性。由可导的定义可知

$$f^\prime(x_0) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

然后根据上面的证明反推，即可证。
从而对单变量函数来说，可导和可微是同一回事。且有

$$\mathrm{d} f(x_0) = f^\prime(x_0) \Delta x$$

Q.E.D.

定理2

（1）$\mathrm{d} x = \Delta x$
（2）$\mathrm{d} f(x) = f^\prime(x) \mathrm{d}x$

证：由于

$$\mathrm{d} f(x) = f^\prime(x) \Delta x \tag 1$$

从而当$f(x) = x$时，有$f^\prime(x) = 1$，所以

$$\mathrm{d} x = \Delta x \tag 2$$

将(2)式代入(1)式即可得

$$\mathrm{d} f(x) = f^\prime(x) \mathrm{d}x$$

定义2：微商

函数$f$如果在区间$I$上可微，则称$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$为函数$f$的微商，由于$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} = f^\prime(x)$，所以微商也称为导数。

定理3：微分的四则运算

函数$f,g$在区间$I$上可微，则
（1）$\mathrm{d} (f \pm g) = \mathrm{d} f + \mathrm{d} g$
（2）$\mathrm{d} (fg) = g \mathrm{d}f + f \mathrm{d} g$
（3）$\mathrm{d} \left(\dfrac{f}{g}\right) = \dfrac{g \mathrm{d}f - f \mathrm{d} g}{g^2}$

证：利用微分与导数的关系易证。

定义3

设函数$y=f(x)$在区间$I$上可微，那么$\mathrm{d} y = f^\prime(x) \mathrm{d}x$仍然是$x$的函数，如果$f^\prime(x)$仍可微，则可计算$\mathrm{d}y$的微分，记$\mathrm{d}^2 y = \mathrm{d} (\mathrm{d} y)$，可知

$$\mathrm{d}^2 y = \mathrm{d} (\mathrm{d} y) = \mathrm{d} (f^\prime(x) \mathrm{d} x) = f^{\prime\prime}(x) \mathrm{d} x^2$$

这里$\mathrm{d} x^2 = (\mathrm{d} x)^2$，称$\mathrm{d}^2y$为$y = f(x)$的二次微分。如果$f^{\prime\prime}(x)$仍可微，则可定义三阶微分

$$\mathrm{d}^3 y = f^{\prime\prime\prime}(x) \mathrm{d} x^3$$

如果$f$在$x$处有$n$阶导数，那么有

$$\mathrm{d}^n y = f^{(n)}(x) \mathrm{d} x^n$$

且有$n$阶导数的记号

$$\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d} x^n} = f^{(n)} (x)$$

定理4：复合函数的微分

设$y=f(x)$且$x = \varphi(t)$，当$t$在$\varphi$的定义域内变化时，$\varphi(t)$的值也在$f$的定义域内。且函数$f,\varphi$都可微，则复合函数$y = f\circ \varphi (t)$，也可微。

证：由于

$$\mathrm{d} y = (f \circ \varphi)^\prime \mathrm{d}t = f^\prime(x) \varphi^\prime(t) \mathrm{d} t$$

又知$\mathrm{d} x = \varphi(t)^\prime \mathrm{d} t$，代入上式，可得

$$\mathrm{d} y = f^\prime(x) \mathrm{d} x$$

如果$x$是自变量，上式自然成立。也就是无论是对独立的自变量还是对中间变量上式都是正确的，这称为一阶微分形式的不变性。