函数导数四：L’Hospital法则

定理1

设函数$f,g$在$(a,b)$上可导，并且$g(x) \ne 0$对$x \in (a,b)$成立。又设

$$\lim \limits_{x \to a^+} f(x) = \lim \limits_{x \to a^+} g(x) = 0$$

如果极限

$$\lim \limits_{x \to a^+} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$

存在(或为$\infty$)，那么便有

$$\lim \limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to a^+} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$

证：补充定义$f(a) = g(a) = 0$，从而$f,g$在$[a,b)$上连续，利用Cauchy中值定理，对$x \in (a,b)$，有

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}$$

这里$a < \xi < x$，所以当$x \to a^+$时，有$\xi \to a^+$，从而

$$\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{\xi \to a^+} \frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)} = \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$

Q.E.D.

定理2

设函数$f,g$在区间$(a,+\infty)$上可导，且$g(x) \ne 0$对$x \in (a, +\infty)$成立，并且

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$$

那么当$\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$存在（或为$\infty$）时，有

$$\lim \limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to +\infty} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$

证：令$x = \dfrac{1}{t}$，则当$x \to +\infty$相当于$t \to 0^+$，这时，我们有

$$\lim\limits_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = \lim\limits_{t \to 0^+} g\left(\frac{1}{t}\right) = 0$$

由定理1可知

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{t \to 0^+} \frac{f\left(\frac{1}{t}\right)}{g\left(\frac{1}{t}\right)} = \frac{f^\prime\left(\frac{1}{t}\right)\left(-\frac{1}{t^2}\right)}{g^\prime\left(\frac{1}{t}\right)\left(-\frac{1}{t^2}\right)} \\ = \lim\limits_{t \to 0^+} \frac{f^\prime\left(\frac{1}{t}\right)}{g^\prime\left(\frac{1}{t}\right)} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} \end{aligned}$$

Q.E.D.

定理3

设函数$f,g$在$(a,b)$上可导，$g(x) \ne 0$，且

$$\lim\limits_{x \to a^+} g(x) = \infty$$

如果极限$\lim \limits_{x \to a^+} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$存在（或为$\infty$），那么

$$\lim \limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to a^+} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$

证：令

$$l = \lim\limits_{x \to a^+} \frac{g^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$

不妨设$l$为有限数，则对任意的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$x \in (a, a+\delta)$时，有

$$l - \varepsilon < \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} < l + \varepsilon$$

从而对$(x,c) \in (a, a+\delta)$，由Cauchy中值定理可知，必存在$\xi \in (x,c)$使得

$$l - \varepsilon < \frac{f(x) - f(c)}{g(x) - g(c)} = \frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)} < l + \varepsilon$$

又因为

$$\frac{f(x)-f(c)}{g(x) - g(c)} = \left( \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f(c)}{g(x)}\right) \left(1 - \frac{g(c)}{g(x)}\right)^{-1}$$

固定$c$，对$x \to a^+$取上极限，得

$$\limsup_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} \le l + \varepsilon$$

再令$\varepsilon \to 0$，得

$$\limsup_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} \le l$$

利用同样得方式，可得

$$\liminf_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} \ge l$$

从而有

$$\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = l$$

当$l$为$-\infty$或$+\infty$也可使用类似得方法证明。

Q.E.D.