函数积分一：原函数

定义1：原函数

已知区间$D$和函数$f: D \to \mathbb{R}, F: D \to \mathbb{R}$，如果两个函数满足关系

$$F^\prime(x) = f(x)$$

则称$F$为$f$在$D$上的一个原函数。

定理1

如果$F$为$f$的一个原函数，那么函数族$\{ F + c: c \in \mathbb{R} \}$是由$f$的全体原函数构成的，且将该集合记为

$$\int f(x) \mathrm{d} x$$

该式子又称为函数$f$的不定积分。其中$f$称为被积函数。

证：如果$F$是$f$的一个原函数，那么对任何常数$c$，有

$$(F(x) + c)^\prime = F^\prime(x) + c^\prime = f(x)$$

所以$F(x) + c$也是$f$的一个原函数。又假设$F$和$G$都是$f$的原函数，则有

$$(F(x) - G(x))^\prime = F^\prime(x) - G^\prime(x) = f(x) - f(x) = 0$$

即$F - G$是个常数，所以$G(x) = F(x) + c$，从而$f$全体原函数

$$\int f(x) \mathrm{d} x = F(x) + c$$

Q.E.D.

定理2

（1）$\displaystyle \left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)^\prime = f(x)$
（2）$\displaystyle \int F^\prime(x) \mathrm{d} x = F(x) + c$
（3）$\displaystyle \int (f(x) + g(x)) \mathrm{d} x = \int f(x) \mathrm{d} x + \int g(x) \mathrm{d} x$
（4）如果$c$是不为$0$的常数，则有

$$\int cf(x) \mathrm{d} x = c \int f(x) \mathrm{d} x$$

证：利用原函数的性质易证。

定理3：分部积分公式

设$u,v$是两个可导的函数，则

$$\int u(x)v^\prime(x) \mathrm{d} x = u(x)v(x) - \int u^\prime(x)v(x) \mathrm{d} x$$

利用微分的记号，也可以表示为

$$\int u \mathrm{d} v = uv - \int v \mathrm{d} u$$

证：由求导法则可知

$$(uv)^\prime = uv^\prime + vu^\prime$$

对上式两边求不定积分得

$$uv + c_1= \int uv^\prime \mathrm{d}x + \int vu^\prime \mathrm{d}x$$

从而

$$\int uv^\prime \mathrm{d}x = uv - \int u^\prime v \mathrm{d}x$$

Q.E.D.

定理4：换元法

设可导函数$\varphi(x)$有复合函数$f(\varphi(x))$，则

$$\int f(\varphi(x)) \varphi^\prime(x) \mathrm{d} x = \int f(u) \mathrm{d} u \tag{1}$$

其中$u = \varphi(x)$。

证：式(1)两边分别$x$求导，得

$$f(\varphi(x))\varphi^\prime(x) = f(u) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x}$$

而右边将$u = \varphi(x)$代入，正是

$$f(u) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x} = f(\varphi(x)) \varphi^\prime(x)$$

Q.E.D.