数学试题八：高中篇7

$601.$ 对于实数$a \in \mathbb{R}$，试探究函数$f(x) = x|x-2a|+3$是否是区间$[1,2]$上的有界函数？如果是？求出上界减去下界的值。

$602.$ 设$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$是空间找那个给定的$5$个不同的点，则使$\overrightarrow{MA_1} + \overrightarrow{MA_2} + \cdots + \overrightarrow{MA_5} = \vec 0$成立的点$M$的个数为？

$603.$ 设直线$l$与球$O$有且仅有一个公共点$P$，从直线$l$出发的两个半平面$\alpha, \beta$截球$O$的两个截面圆分别为$1$和$\sqrt 3$，两个半平面$\alpha, \beta$的夹角为$\dfrac{5\pi}{6}$，则球$O$的表面积为？

$604.$ 已知$P$是椭圆$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16}=1$上异于长轴端点的点，$F_1,F_2$是椭圆的焦点，$I$是$\triangle PF_1F_2$的内心，$PI$的延长线交$F_1F_2$于点$B$，则$|PI|:|IB|=$？

$605.$ 已知抛物线$y^2 = 2px$，过顶点的两弦$OA$和$OB$互相垂直，求以$OA,OB$为直径的两圆的另一交点$Q$的轨迹方程。

$606.$ 设抛物线$y^2 = 2px$的焦点为$F$，经过点$F$的直线交抛物线于$A,B$两点，$M$是抛物线准线上一点，$O$是坐标原点，记直线$MA,MF,MB$的斜率分别为$k_{MA},k_{MF},k_{MB}$，当$k_{MF}=2$时，求证$k_{MA} + k_{MB}$为定值。

$607.$ 若$\cos (A-B) \cos (B-C) \cos (C-A) = 1$，求证$\triangle ABC$为等边三角形。

$608.$ 在$\triangle ABC$中，若$a,b,c$三边成等差数列，则$\cos A + 2\cos B + \cos C$的值为多少？

$609.$ 某校对文明班的评选设计了$a,b,c,d,e$五个方面的多元评价指标，并通过经验公式$\displaystyle S = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{1}{e}$来计算各班的综合得分，$S$的值越高评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显出$0 < c < d < e < b < a$，则下阶段要把其中一个指标的值增加$1$个单位，而使$S$的值增加，那么该指标应该是？

$610.$ 在$\triangle ABC$中，已知$A(0,1), B(0,-1)$，$AC$与$BC$所在的直线分别与$x$轴交于$E,F$两点，且$\overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{OF} = 4$；
（1）求点$C$的轨迹方程；
（2）若$\overrightarrow{BC} = -8 \overrightarrow{CF}$，
（$\mathrm{i}$）试确定$F$的坐标；
（$\mathrm{ii}$）设$P$是点$C$的轨迹上动点，$\triangle PBF$的周长最大时，求$P$的坐标。

$611.$ 平面向量的集合$A$的映射$f$由$f(\vec x) = \vec x - 2(\vec x \cdot \vec a) \vec a$确定，其中$\vec a$为常向量，若映射满足$f(\vec x)f(\vec y) = \vec x \cdot \vec y$对$\vec y \in A$恒成立，则$\vec a$的坐标应满足的条件是？

$612.$ 正三角形$ABC$的中线$AF$与中位线$DE$相交于点$G$，已知$\triangle A^\prime ED$是$\triangle AED$绕$DE$旋转过程中的一个图形，先给出下列四个命题，其中正确的是？
（1）动点$A^\prime$在平面$ABC$内的射影在线段$AF$上；
（2）恒有平面$A^\prime GF \perp$平面$BCDE$；
（3）三棱锥$A^\prime-FED$的体积有最大值；
（4）异面直线$A^\prime E$与$BD$不可能垂直。

$613.$ 现有甲，乙，丙，丁四名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（即第一次传球是由甲传向乙或丙或丁），记第$n$次球传回甲的不同传球方式种树为$a_n$；
（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；
（2）证明当$n \ge 2$时，$\displaystyle \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{2}{3}$。

$614.$ 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = \dfrac{1}{4}$，$a_n = \dfrac{a_{n-1}}{(-1)^na_{n-1} - 2} (n \ge 2, n \in \mathbb{N})$，设$c_n = a_n \sin (\dfrac{2n-1}{2}\pi)$，数列$\{c_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求证$T_n < \dfrac{4}{7}$。

$615.$ 对任意的实数$a$，若函数$y = ax^2 + ax + 1$的图像都不经过点$P$，则点$P$的轨迹是？

$616.$ 已知抛物线方程$y^2 = 4x$，过点$Q(2,0)$作直线$l$；
（1）若$l$与$x$轴不垂直，交抛物线于$A,B$两点，是否存在$x$轴上一定点$E(m,0)$使得$\angle AEQ = \angle BEQ$？
（2）若$l$与$x$轴垂直，抛物线的任一切线与$y$轴和$l$分别交于$M,N$两点，则点$M$到以$QN$为直径的圆的切线长$|MT|$为定值，试证之。

$617.$ 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$满足$S_1 = -1, S_{n+1} + 2S_n = -1$，数列$\{b_n\}$的通项公式为$b_n = 3n - 4 (n \in \mathbb{N^+})$；
（1）试比较$a_n$与$b_n$的大小；
（2）某圆的圆心$C$在$x$轴上，问点列$\{A_n(b_n,a_n): A_1(b_1,a_1), A_2(b_2,a_2), \cdots, A_n(b_n,a_n),\cdots\}$是否至少存在三点落在圆$C$上？

$618.$ 在平面直角坐标系中，点集$A=\{(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 1\}, B = \{(x,y) \mid x \le 4, y \ge 0, 3x-4y \ge 0\}$，则点集$Q=\{(x,y) \mid x = x_1 + x_2, y = y_1+y_2, (x_1,y_1) \in A, (x_2, y_2) \in B\}$所表示的区域的面积为？

$619.$ 已知函数$f(x) = x - \sin x$，若$x,\theta \in [k\pi, (k+1)\pi], k \in \mathbb{Z}$，试比较$\dfrac{2f(\theta)+f(x)}{3}$与$f(\dfrac{2\theta + x}{3})$的大小关系。

$620.$ 三角形$ABC$中，$A = 60^\circ$，求$t = \dfrac{\sin B + \cos C}{\cos B + \sin C}$的取值范围。

$621.$ 已知数列$\{a_n\}$是一个公差不为零的等差数列，$a_5 = 6$，若存在自然数$n_1,n_2,\cdots,n_t,\cdots$满足$5 < n_1 < n_2 < \cdots < n_t < \cdots$且$a_3,a_5,a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_t},\cdots$构成一个等比数列，求证当$a_3$是整数时，$a_3$必为$12$的正约数。

$622.$ 若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}a_n + 3a_{n+1} + a_n + 4 = 0$且$a_{2009}$为数列$\{a_n\}$中的最小项，求$a_1$的取值范围。

$623.$ 集合$A = \{x \mid x = 3n + 1, n \in \mathbb{Z}\}, B = \{x | x = 3n + 2, n \in \mathbb{Z}\}, C = \{ x \mid 6n + 3, n \in \mathbb{Z} \}$；
（1）若$c \in C$，求证：必存在$a \in A, b \in B$，使得$c = a + b$；
（2）对任意$a \in A, b \in B$，是否一定有$a + b \in c$。

$624.$ $A = \{ x \mid x = 2k-1, k \in \mathbb{Z} \}, B = \{ x \mid x = 4k \pm 1, k \in \mathbb{Z} \}$，试证$A=B$。

$625.$ 已知$y = f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的单调函数，实数$x_1 \ne x_2, \lambda \ne 1, \alpha = \dfrac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \beta = \dfrac{x_2 + \lambda x_1}{1 + \lambda}$，若$|f(x_1) - f(x_2)| < |f(\alpha) - f(\beta)|$，则$\lambda$的取值范围是？

$626.$ 关于$x$的方程$(x^2-1)^2 - |x^2 - 1| + k = 0$，给出下列四个命题：
（1）存在实数$k$，使得方程恰有$2$个不同的实根；
（2）存在实数$k$，使得方程恰有$4$个不同的实根；
（3）存在实数$k$，使得方程恰有$5$个不同的实根；
（4）存在实数$k$，使得方程恰有$8$个不同的实根；
其中真命题为？

$627.$ 已知$x,y \in \mathbb{R}, 3^x + 3^y > 3^{-x} + 3^{-y}$，判断$x+y$的符号。

$628.$ 已知$a,b,c,m$都是实数，且$a^m = b^m + c^m$，长度分别为$a,b,c$的三线段能构成三角形，求$m$的取值范围。

$629.$ 若函数$f(x) = \dfrac{m + 6x - x^2}{x^2 + 2x + 1}$的最大值为$\dfrac{1}{3}$，则$m =$？

$630.$ 已知$\alpha, \beta$是方程$4x^2 - 4tx - 1 = 0(t \in \mathbb{R})$的两个不等实根，函数$f(x) = \dfrac{2x - t}{x^2 + 1}$的定义域为$[\alpha, \beta]$；
（1）求$g(t) = \max f(x) - \min f(x)$；
（2）证明：对于$\mu_i \in (0, \dfrac{\pi}{2}) (i=1,2,3)$，若$\sin \mu_1 + \sin \mu_2 + \sin \mu_3 = 1$，则$\displaystyle \frac{1}{g(\tan \mu_1)} + \frac{1}{g(\tan \mu_2)} + \frac{1}{g(\tan \mu_3)} < \frac{3}{4}\sqrt 6$。

$631.$ 设$S = \{ (x,y) \mid x^2 - y^2 = \text{奇数}, x, y \in \mathbb{R} \}, T = \{ (x,y) \mid \sin(2\pi x^2) - \sin (2\pi y^2) = \cos (2\pi x^2) - \cos (2\pi y^2), x, y \in \mathbb{R} \}$，则有
（1）$S \subset T$；
（2）$T \subset S$；
（3）$S = T$；
（4）$S \cap T = \varnothing$。

$632.$ 若函数$y = 4^x - 3x2^x + 3$的值域为$[1,7]$，则$x$的取值范围是？

$633.$ 集合$M = \{ \mu \mid \mu = 12m + 8n+ 4l, m, n, l \in \mathbb{Z} \}, N = \{ \mu \mid \mu = 20p+16q + 12r, p,q,r \in \mathbb{Z} \}$，则$M$与$N$的关系是？

$634.$ 设二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c (a > 0)$，方程$f(x) - x = 0$的两个根$x_1,x_2$满足$0 < x_1 < x_2 < \dfrac{1}{a}$；
（1）当$x \in (0, x_1)$时，证明$x < f(x) < x_1$；
（2）设函数$f(x)$的图像关于直线$x = x_0$对称，证明$x_0 < \dfrac{x_1}{2}$。

$635.$ 设二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c (a \ne 0)$满足条件：
（$\mathrm{i}$）$f(x - 4) = f(2-x)$且$f(x) \ge x$；
（$\mathrm{ii}$）当$x \in (0,2)$时，$f(x) \le (\dfrac{x+1}{2})^2$；
（$\mathrm{iii}$）$f(x)$在$\mathbb{R}$上的最小值为$0$；
（1）求$f(x)$的表达式；
（2）求最大的$m (m > 1)$使得存在$t \in \mathbb{R}$，只要$x \in [1, m]$，就有$f(x+t) \le x$恒成立。

$636.$ 已知$f(x) = ax^2 + 2bx + 4c$；
（1）当$b = 4, c = \dfrac{3}{4}$时，对于给定的负数$a$，有一个最大正数$M(a)$，使得$x \in [0, M(a)]$时都有$|f(x)| \le 5$，问$a$为何值时，$M(a)$最大，并求出这个最大值$M(a)$？
（2）若$f(x)$同时满足下列条件：（$\mathrm{i}$）$a>0$，($\mathrm{ii}$）当$|x| \le 2$时，$|f(x)| \le 2$，（$\mathrm{iii}$）当$|x| \le 1$时，$f(x)$的最大值为$2$，求$f(x)$的解析式。

$637.$ 设函数$f(x) = a^x + 3a(a>0,a \ne 1)$的反函数$y = f^{-1}(x)$，已知函数$y = g(x)$的图像与函数$y = f^{-1}(x)$的图像关于点$(a,0)$对称；
（1）求$y = g(x)$的解析式；
（2）是否存在实数$a$，使得$x \in [a+2, a+3]$时，恒有$|f^{-1}(x) - g(-x)| \le 1$成立？若存在，求出$a$的取值范围；若不存在，请说明理由；

$638.$ 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$满足$S_n = 2a_n + (-1)^n, (n \ge 1)$；
（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；
（2）证明：对任意的整数$m \ge 4$，都有

$$\frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} + \cdots + \frac{1}{a_m} < \frac{7}{8}$$

$639.$ 数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1, a_{n+1} = (1 + \dfrac{1}{n^2 + n})a_n + \dfrac{1}{2^n} (n \ge 1)$；证明：$2 \le a_n \le e^2 (n \ge 2)$。

$640.$ 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = a, a_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{a_n}$，当$a=1$时，得到无穷数列$1,2,\dfrac{3}{2},\cdots$，当$a = -\dfrac{1}{2}$时，得到有穷数列$-\dfrac{1}{2},-1,0$；
（1）设数列$\{b_n\}$满足$b_1 = -1, b_{n+1} = \dfrac{1}{b_n - 1} (n \in \mathbb{N^+})$，求证：$a$取数列的$\{b_n\}$中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；
（2）若$\dfrac{3}{2} < a_n < 2 (n \ge 4)$，求$a$的取值范围。

$641.$ 删除正整数数列$1,2,3,\cdots$中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第$2003$项是？

$642.$ 如图所示，有一列曲线$P_0,P_1,P_2,\cdots$，已知$P_0$所围成的图形是面积为$1$的等边三角形，$P_{k+1}$是$P_k$进行如下操作得到：将$P_k$的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（$k = 0,1,2,\ldots$），记$S_n$为曲线$P_n$所围成图形的面积，求$\lim \limits_{n \to \infty} S_n$。

$643.$ 设$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\cdots,P_n(x_n,y_n) (n \ge 3, n \in \mathbb{Z})$是二次曲线$C$上的点，且$a_1 = |OP_1|^2,a_2 = |OP_2|^2, \cdots, a_n = |OP_n|^2$构成一个公差为$d(d\ne 0)$的等差数列，其中$O$为坐标原点，记$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$；
（1）若$C$的方程为$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b> 0)$，点$P_1(a,0)$，对于任意给定的自然数$n$，当公差$d$变化时，求$S_n$的最小值；
（2）请选定一条除椭圆外的二次曲线$C$及$C$上一点$P$，对于给定的自然数$n$，写出符合条件的点$P_1,P_2,\cdots,P_n$存在的充要条件，并说明理由。

$644.$ 求证$\displaystyle \tan^2 x + \cot^2 x = \frac{2(3 + \cos 4x)}{1 - \cos 4x}$。

$645.$ 已知$\alpha, \beta$为锐角，且满足$3 \sin^2 \alpha + 2 \sin^2\beta = 1, 3 \sin 2\alpha - 2 \sin 2\beta = 0$，求证$\alpha + 2\beta = \dfrac{\pi}{2}$。

$646.$ 在三角形$ABC$中，$\sin A = \dfrac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C}$，试判断三角形$ABC$的形状。

$647.$ 已知$f(x) = (\dfrac{\cos \alpha}{\sin \beta})^x + (\dfrac{\cos \beta}{\sin \alpha})^x (x > 0)$，其中$\alpha, \beta \in (0, \dfrac{\pi}{2})$，求证$f(x) < 2$的充要条件是$\alpha + \beta > \dfrac{\pi}{2}$。

$648.$ 设函数$f(x) = x\sin x$；
（1）设$x_0$是$f(x)$的一个极值点，证明$[f(x_0)]^2 = \dfrac{x_0^4}{1 + x_0^2}$；
（2）设$f(x)$在$(0, +\infty)$的全部极值点按从小到大的顺序为$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$，证明$\dfrac{\pi}{2} < a_{n+1} - a_n < \pi$。

$649.$ 设$A = \{ x \mid \log_x (5x^2 - 8x + 3) > 2\}, B = \{ x \mid x^2 - 2x - a^4 + 1 \ge 0\}$，已知$A \subset B$，则$a$的取值范围是？

$650.$ 已知不等式$ax^2 + bx + c > 0$的解集是$\{x \mid a < x < b\}$，其中$b > a > 1$，则不等式$a(ax^2+bx+c)(x^2 + bx + a) < 0$的解集是？

$651.$ （1）若$A,B,C \in [0, \pi]$，求证$\sin A + \sin B + \sin C \le 3 \sin \dfrac{A+B+C}{3}$；
（2）$\triangle ABC$的三内角平分线分别交其外接圆于$A_1,B_1,C_1$，求证$S_{\triangle ABC} < S_{\triangle A_1B_1C_1}$。

$652.$ 设$\dfrac{3}{2} \le x \le 5$，证明$2\sqrt{x+1} + \sqrt{2x-3} + \sqrt{15-3x} < 2\sqrt{19}$。

$653.$ 求所有的实数$k$，使得$a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + 1 \ge k (a+b+c+d)$对任意$a,b,c,d \in [1, +\infty)$都成立。

$654.$ $n$是正整数，$a_j (j=1,2,\cdots,n)$为复数，且对集合$\{1,2,\cdots,n\}$的任一非空子集$I$有$|\prod \limits_{j \in I}(1+a_j) - 1| \le \dfrac{1}{2}$，证明：$\sum \limits_{j=1}^n |a_j| \le 3$。

$655.$ 证明：$\displaystyle (1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})\cdots(1+\frac{1}{2n-1}) > \frac{\sqrt{2n+1}}{2}, (n \in \mathbb{N^+}), n > 1$。

$656.$ 设$P$是$A,B,C$三点所在直线上的任意一点，求证：$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$。

$657.$ 在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^\circ$，$D,E$是斜边$BC$的两个三等分点，若$|AD| = \sin \alpha, |AE| = \cos \alpha (0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2})$，求斜边$BC$的长。

$658.$ 已知双曲线$x^2 - \dfrac{y^2}{2} = 1$，过点$A(2,1)$的直线与双曲线交于两点$P_1,P_2$，求线段$P_1P_2$的中点$P$的轨迹方程。

$659.$ 已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0)$的左右焦点为$F_1,F_2$，左准线为$l$，$P$是双曲线左半支上一点，并且有$|PF_1|$是$P$到$l$的距离$d$与$|PF_2|$的比例中项，求双曲线离心率$e$的取值范围。

$660.$ $P$是抛物线$y = \dfrac{1}{2}x^2$上一点，直线$l$过点$P$并与抛物线在点$P$的切线垂直，$l$与抛物线相交于另一点$Q$，当点$P$在抛物线上移动时，求线段$PQ$中点$M$的轨迹方程，并求$M$点到$x$轴的最短距离。

$661.$ 椭圆的长轴$A_1A_2$与$x$轴平行，短轴$B_1B_2$在$y$轴上，中心$M(0,r)$；
（1）直线$y = k_1x$交椭圆与两点$C(x_1,y_1), D(x_2,y_2) (y_2 > 0)$，直线$y = k_2x$与椭圆交于两点$G(x_3,y_3),H(x_4,y_4) (y_4>0)$，求证：$\dfrac{k_1x_1x_2}{x_1+x_2} = \dfrac{k_2x_3x_4}{x_3+x_4}$；
（2）对于（1）中的$C,D,G,H$，设$CH$交$x$轴于点$P$，$DG$交$x$轴于点$Q$，求证$|OP| = |OQ|$。

$662.$ 设椭圆$\dfrac{x^2}{m+1} + y^2 = 1$的两个焦点是$F_1(-c,0), F_2(c,0)$，且椭圆上存在点$P$使得直线$PF_1$与直线$PF_2$垂直；
（1）求实数$m$的取值范围；
（2）设$l$是相应于焦点$F_2$的准线，直线$PF_2$与$l$相交于点$Q$，若$\dfrac{|QF_2|}{|PF_2|} = 2 - \sqrt{3}$，求直线$PF_2$的方程。

$663.$ 已知$l_1,l_2$是过点$(-\sqrt 2, 0)$的两条互相垂直的直线，且$l_1,l_2$与双曲线$y^2 - x^2 = 1$各有两个焦点，分别为$A_1,B_1$和$A_2,B_2$；
（1）求$l_1$的斜率$k_1$的取值范围；
（2）若$|A_1B_1| = \sqrt 5|A_2B_2|$，求$l_1,l_2$的方程。

$664.$ 设点$A,F$分别是双曲线$9x^2 - 3y^2 = 1$的左顶点和右焦点，点$P$是双曲线右支上的动点；
（1）若$\triangle PAF$是直角三角形，求点$P$的坐标；
（2）是否存在常数$\lambda$，使得$\angle PFA = \lambda PAF$对于任意的点$P$恒成立？

$665.$ $O$在四面体$ABCD$内，有$\overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} + 4\overrightarrow{OD} = \vec 0$，则$V_{ABCD}:V_{OBCD}=$？

$666.$ 圆内接四边形$ABCD$的四条边长$AB,BC,CD,DA$的长均为正整数，$DA=2005, \angle ABC = \angle ADC=90^\circ$，且$\max{AB,BC,CD} < 2005$，求四边形$ABCD$的周长的最大与最小值。

$667.$ 在平面直角坐标系$xOy$中，给定三点$A(0, \dfrac{4}{3}), B(-1,0), C(1,0)$，点$P$到直线$BC$的距离是该点到直线$AB,AC$距离的等比中项；
（1）求点$P$的轨迹方程；
（2）若直线$l$经过$\triangle ABC$的内心（设$D$）且与$P$点的轨迹方程恰好有$3$个公共点，求$l$的斜率$k$的取值范围。

$668.$ 设圆满足：（1）截$y$轴所得的弦长为$2$；（2）被$x$轴分成两段圆弧，且弧长比例为$3:1$；在满足（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线$l: x - 2y = 0$的距离最小的圆的方程。

$669.$ 已知椭圆$\dfrac{x^2}{24} + \dfrac{y^2}{16} = 1$，直线$l: \dfrac{x}{12} + \dfrac{y}{8} = 1$，$P$是$l$上一点，射线$OP$交椭圆于点$R$，又点$Q$在$OP$上，且满足$|OQ||OP| = |OR|^2$，当点$P$在$l$上移动时，求点$Q$的轨迹方程。

$670.$ 若三棱锥$V-ABC$各侧面与底面所成的三面角都相等，求此三棱锥的三面角多大时，其体积最大？

$671.$ 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一场地种同一种植物，相邻的两块中不同的植物，现有$4$中不同的植物可供选择，则有多少栽种方案？

$672.$ 点$P_1,P_2,\cdots,P_{10}$分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面内四点组$(P_1,P_i,P_j,P_k) (1 < i < j < k< 10)$有多少个？

$673.$ 设三位数$n = \overline {abc}$，若以$a,b,c$为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数$n$有多少个？

$674.$ 设抛物线$C: y = x^2$的焦点为$F$，动点$P$在直线$l: x - y - 2 = 0$上运动，过$P$作抛物线$C$的两条切线$PA,PB$且与抛物线$C$分别相切于$A,B$两点；
（1）求$\triangle APB$的重心$G$的轨迹方程；
（2）证明$\angle PFA = \angle PFB$。

$675.$ 对于$Q \in [0, \dfrac{\pi}{2}]$，不等式$\sin 2\theta - (2\sqrt 2 + \sqrt 2 a)\sin(\theta + \dfrac{\pi}{4}) + 2a+3 > \dfrac{2\sqrt 2}{\cos (\theta - \dfrac{\pi}{4})}$恒成立，求$a$的取值范围。

$676.$ 已知抛物线$C_1: y^2 = x + 7$，圆$C_2: x^2 + y^2 = 5$，过点$P(a,0)$作与$x$轴不垂直的直线$l$交$C_1,C_2$依次为$A,B,C,D$，若$|AB| = |CD|$，求实数$a$的取值范围。

$677.$ 若函数$g(x) = |x^2 - ax - a|$在区间$[0,1]$上递增，求实数$a$的取值范围。

$678.$ 已知梯形$ABCD$中，$|AB|=2|CD|$，点$E$分有向线段$\overrightarrow{AC}$所成的比为$\lambda$，双曲线过$C,D,E$三点，且以$A,B$为焦点，当$\dfrac{2}{3} \le \lambda \le \dfrac{3}{4}$，求双曲线离心率$e$的取值范围。

$679.$ 直线$l_1: y = kx + 1 - k (k \ne 0, k \ne \pm\dfrac{1}{2})$与$l_2: y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$相交于点$P$，直线$l_1$与$x$轴交于点$P_1$，过$P_1$作$x$轴的垂线交直线$l_2$于点$Q_1$，过点$Q_1$作$y$轴的垂线交直线$l_1$于点$P_2$，过点$P_2$作$x$轴的垂线交直线$l_2$于点$Q_2$，$\cdots$这样已知下去，可得到一系列点$P_1,Q_1,P_2,Q_2,\cdots$，记点$P_n(n=1,2,\ldots)$横坐标构成的数列$\{x_n\}$；
（1）求数列$\{x_n\}$的通项公式；
（2）比较$2|PP_n|^2$与$4k^2|PP_1|^2 + 5$的大小。

$680.$ 已知数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，且$a_{2k} = a_{2k-1} + (-1)^k, a_{2k+1} = a_{2k} + 3^k$，其中$k=1,2,\ldots$，求$\{a_n\}$的通项公式。

$681.$ 设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，问是否存在实数$k$，使不等式$f(k + \sin 2x) \ge f[(k-4)(\sin x + \cos x)]$对于任意实数$x$恒成立？并说明理由。

$682.$ 在锐角三角形$ABC$中，若$\cos A = \cos \alpha \sin \beta, \cos B = \cos \beta \sin \gamma, \cos C = \cos \gamma \cos \alpha$，求证$\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma = 1$。

$683.$ 设$A,B,C$分别是复数$z_0 = ai, z_1 = \frac{1}{2} + bi, z_2 = 1 + ci$（其中$a,b,c$都是实数）对应不共线的三点，证明：曲线$z = z_0 \cos^4 t + 2z_1 \cos^2 t \sin^2 t + z_2 \sin^4 t (t \in \mathbb{R})$与$\triangle ABC$中平行于$AC$的中位线只有一个交点。

$684.$ 设$a,b \in \mathbb{R}$，满足$2a +b + 2 \le 0$，试证：方程$x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1=0$至少存在一个正实数解。

$685.$ 直线$l_1: y = kx (k >0)$与直线$l_2: y = -kx$之间的阴影区域（不含边界）记为$W$，若左半部分为$W_1$，右半部分为$W_2$，设不过原点$O$的直线$l$与曲线$C: k^2x^2 - y^2 - (k^2 + 1)d^2 = 0$相交于$M_1,M_2$两点，且与$l_1,l_2$分别交于$M_2,M_4$两点，求证$\triangle OM_1M_2$的重心与$\triangle OM_3M_4$的重心重合。

$686.$ 已知函数$f(x) = \dfrac{x^n - x^{-n}}{x^n + x^{-n}} (n \in \mathbb{N})$，试比较$f(\sqrt 2)$与$\dfrac{n^2-1}{n^2+1}$的大小关系。

$687.$ 给定有限个正数，满足条件$T$：每个数都不小于$50$，且总和$L=1275$，现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于$150$且分组步骤是：首先从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得$150$与这组数之和的差$r_1$与所有可能其他选择相比是最小的，$r_1$称为第一组余差；然后在去掉已选入第一组数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组数，这是余差为$r_2$，如此继续，直到第$N$组（余差为$r_N$），把这些数全部分为为止；
（1）当构成第$n (n < N)$组后，指出余下的每个数与$r_n$的大小关系，并证明$r_{n-1} > \dfrac{150n - L}{n-1}$；
（2）对任何满足条件$T$的有限个正数，证明$N \le 11$。