函数极限五：多变量函数的极限与连续性

定义1

设$D \subset \mathbb{R^n}$，那么映射$f: D \to \mathbb{R}$称为一个$n$元函数，其中$D$称为函数$f$的定义域，而$f(D) \subset \mathbb{R}$称为$f$的值域。

定义2

设$D \subset \mathbb{R^n}$，$f: D \to \mathbb{R}$，点$\boldsymbol{a} \in \mathbb{R^n}$是$D$的一个凝聚点（即$\boldsymbol{a} \in D^\prime$），又设$l$是一个实数。如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < \delta$时，有

$$|f(\boldsymbol{x}) - l| < \varepsilon$$

我们称函数$f$在点$\boldsymbol{a}$处有极限$l$，也就是说当$\boldsymbol{x}$趋向于$\boldsymbol{a}$时，$f(\boldsymbol{x})$趋向于$l$，记作

$$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}) = l$$

也可记作

$$f(\boldsymbol{x}) \to l \quad (\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a})$$

定理1

设$D \subset \mathbb{R^n}$，$f: D \to \mathbb{R}$，点$\boldsymbol{a} \in D^\prime$。函数极限

$$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}) = l$$

的充分必要条件是，对任何的点列$\{\boldsymbol{x}_i\} \subset D$，$\boldsymbol{x}_i \ne \boldsymbol{a} (i=1,2,3,\cdots)$且$\boldsymbol{x}_i \to \boldsymbol{a} (i \to \infty)$，数列极限

$$\lim \limits_{i \to \infty} f(\boldsymbol{x}_i) = l$$

证：必要性。有函数极限定义可知，对$\forall \varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$0 < \Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \Vert < \delta$时，有$|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})| < \varepsilon$；由于$\boldsymbol{x}_i \to \boldsymbol{a} (i \to \infty)$，从而对于给定的$\delta$，存在$N \in \mathbb{N^+}$，使得当$i > N$时，有$0 < \Vert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{a}| < \delta$，从而$|f(\boldsymbol{x}_i) - f(\boldsymbol{a})| < \varepsilon$，即$\lim \limits_{i \to \infty} f(\boldsymbol{x}_i) = l$

充分性。反证法。假设$f$在$\boldsymbol{a}$处不以$l$为极限，则存在$\varepsilon_0 > 0$，使得对任意的$i \in \mathbb{N^+}$，可以取出一个点$\boldsymbol{x}_i \in D$，使得当$|\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{a}| < 1/i$时，有$|f(\boldsymbol{x}_i) - f(\boldsymbol{a})| \ge \varepsilon_0$，这时点列$\{\boldsymbol{x}_i\} \subset D$，且$\boldsymbol{x}_i \to \boldsymbol{a} (i \to \infty)$，但是数列$\{f(\boldsymbol{x}_i)\}$显然不以$l$为极限，矛盾。

Q.E.D.

定理2：函数极限的四则运算

设$D \subset \mathbb{R^n}$，$f,g: D \to \mathbb{R}$，点$\boldsymbol{a} \in D^\prime$。如果$f,g$存在着有限的极限：

$$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}) = l, \qquad \lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} g(\boldsymbol{x}) = m$$

那么有：
（1）$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} (f \pm g)(\boldsymbol{x}) = l \pm m$；
（2）$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} fg(\boldsymbol{x}) = lm$；
（3）$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} (\frac{f}{g})(\boldsymbol{x}) = \frac{l}{m}$，其中$m \ne 0$。

证：证明方法与单变量极限四则运算几乎一样。参考函数极限一的定理4。

Q.E.D.

定理3：复合函数极限

设函数$f$在以$\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^n$为球心，$\boldsymbol{r}$为半径的某个空心球$B_{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{\check a})$上有定义，且$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}) = l$；一元函数$\varphi$在以$l$为球心的空心球$U = \{t: 0<|t - l| < \delta \}$上有定义，且$\lim \limits_{t \to l} \varphi(t) = m$。再设

$$f(B_{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{\check a})) \in U$$

那么就有

$$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} \varphi(f(\boldsymbol{x})) = m$$

证：与单变量复合函数极限证明方法一样。参考函数极限一的定理8。

Q.E.D.

定理4：Cauchy收敛原理

设$D \in \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{a} \in D^\prime$，$f: D \to \mathbb{R}$。那么极限$\lim \limits_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})$存在的充分必要条件是，对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$\boldsymbol{x}^\prime,\boldsymbol{x}^{\prime\prime} \in D$且

$$0 < \Vert \boldsymbol{x}^\prime - \boldsymbol{a} \Vert < \delta \quad 0 < \Vert \boldsymbol{x}^{\prime\prime} - \boldsymbol{a} \Vert < \delta$$

同时成立时，一定有$|f(\boldsymbol{x}^\prime) - f(\boldsymbol{x}^{\prime\prime})| < \varepsilon$。

证：与证明单变量的Cauchy收敛原理类似。参考函数极限一定理7。

Q.E.D.

定义3：多变量连续函数

设$D \subset \mathbb{R}^n$，$f: D \to \mathbb{R}$，$\boldsymbol{a} \in D$。如果对$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$\boldsymbol{x} \in D \cap B_\delta(\boldsymbol{a})$，有

$$|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})| < \varepsilon$$

则称函数$f$在点$\boldsymbol{a}$处连续，$\boldsymbol{a}$称为$f$的一个连续点，$D$中$f$的非连续点称为$f$的间断点。如果$f$在$D$中的每个点上都连续，则称$f$在$D$上连续。

注：设$D=\{\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_m \}$，定义函数$f: D \to \mathbb{R}$为$f(\boldsymbol{p}_i) = \lambda_i (i=1,2,\cdots,m)$，这里$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$是任意给定的数，那么根据定义3，$f$在$D$上连续。对于单变量函数也成立，比如定义域$D=\{a\}$，且$f(a)$存在，这时$f$在$D$内连续。这与函数极限三的定义1不矛盾，单变量点连续定义的时候$D$为非单点闭区间，且极限值等于函数值，这种定义不包含孤立点的情况，所以单变量连续函数的真正定义也囊括在本章的定义3中。

定理5：多变量连续函数的四则运算

设$D \subset \mathbb{R^n}$，$f,g: D \to \mathbb{R}$，点$\boldsymbol{a} \in D$。如果$f,g$在$\boldsymbol{a}$处连续，那么$f \pm g$和$fg$都在$\boldsymbol{a}$处连续，如果$g(\boldsymbol{a}) \ne 0$，那么$f/g$也在$\boldsymbol{a}$处连续。

证：类似单变量极限的四则运算证明，这里以证明$f+g$在$\boldsymbol{a}$处连续为例，其他类似证明方法。由题意可知，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta_1 > 0$，使得当$x \in D \cap B_{\delta_1}(\boldsymbol{a})$时，有$|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})| < \varepsilon / 2$；$\exists \delta_2 > 0$，使得当$x \in D \cap B_{\delta_2}(\boldsymbol{a})$时，有$|g(\boldsymbol{x}) - g(\boldsymbol{a})| < \varepsilon / 2$。令$\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$，从而当$x \in D \cap B_{\delta}(\boldsymbol{a})$时，有

$$|f(\boldsymbol{x}) + g(\boldsymbol{x}) - (f(\boldsymbol{a}) + g(\boldsymbol{a}))| \le |f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})| + |g(\boldsymbol{x}) - g(\boldsymbol{a})| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

这就表明$f+g$在$\boldsymbol{a}$处连续。

Q.E.D.

定理6

设函数$f$在以$\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^n$为球心，$\boldsymbol{r}$为半径的某个球$B_{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{a})$上有定义，且在$\boldsymbol{a}$处连续；一元函数$\varphi$在$U = \{t: 0<|t - l| < \delta \}$上有定义，且且在$l$处连续，则函数$\varphi(f(\boldsymbol{x}))$在$\boldsymbol{a}$处连续。

证：与单变量复合函数极限证明方法类似。参考函数极限一的定理8。