数学试题七：高中篇6

$501.$ 在棱长都为$a$cm的四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒中任意转动，则正方体棱长最大为多少cm？

$502.$ 设$S_n$是数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$S_n = 2a_n-3n+5 (n \in \mathbb{N^+})$，证明：不存在正整数$p,q,r(p<q<r)$使得$p,q,r$和$S_p,S_q,S_r$同时成等差数列。

$503.$ 设$A$为双曲线$\displaystyle \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$右支上一动点，$F$双曲线的右焦点，连接$AF$交双曲线右支于点$B$，过$B$作直线$BC$垂直于直线$x=\dfrac{16}{5}$，垂足为$C$，则直线$AC$必过定点？，如果是，求出定点坐标，否则说明原因。

$504.$ 已知$\triangle ABC$中，$a=10, c-b=8$，则$\dfrac{\tan \frac{B}{2}}{\tan \frac{C}{2}}=$?

$505.$ 设函数$f(x) = (x+1)\ln (x+1)$，若对所有的$x \ge 0$都有$f(x) \ge ax$成立，则实数$a$的取值范围是？

$506.$ 已知直线$l_1: x - y = 0, l_2 x + y = 0$，点$P$是线性约束条件$\left\{ \begin{aligned} x - y \ge 0 \\ x + y \ge 0 \end{aligned} \right.$所表示区域内一动点，$PM \perp l_1, PN \perp l_2$，垂足分别为$M,N$，且$S_{\triangle OMN} = \dfrac{1}{2}$（$O$为坐标原点）；
（1）求动点$P$的轨迹方程；
（2）是否存在过点$(2,0)$的直线$l$与（1）中的轨迹交于点$A,B$，线段$AB$的垂直平分线交$y$轴与点$Q$，且使得$\triangle ABQ$是等边三角形？若存在，求出$l$的方程；若不存在，请说明理由。

$507.$ 设函数$f(x) = ax - (a+1)\ln (x+1)$，当$a>0$时，设$f(x)$的最小值为$g(a)$，若$g(a) < t$恒成立，求实数$t$的最小值。

$508.$ 已知函数$f(x) = \left\{ \begin{aligned} &(x^2-2x)e^x & x>0 \\ &bx & x \le 0\end{aligned}\right.$，$g(x) = c\ln x + b$；
（1）若方程$f(x)=m$有两个不相等的实数根，求$m$的取值范围；
（2）若直线$l$是函数$f(x)$在点$(2, f(2))$出的切线，且直线$l$与函数$y = g(x)$的图像相切于点$P(x_0,y_0), x_0 \in [e^{-1}, e]$，求实数$b$的取值范围。

$509.$ 已知函数$f(x) = \dfrac{a+\sin x}{2 + \cos x}-bx, (a, b \in \mathbb{R})$，若$f(x)$在$\mathbb{R}$上存在最大值，最小值，且其最大值与最小值的和为$2680$，求$a$和$b$的值。

$510.$ 如图在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中，$B$是$EF$的中点，$AB=EF=1, CA=CB=2$，若$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AF}=2$，则$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角等于？

$511.$ 对于任意$x \in \mathbb{R}$，函数$f(x)$满足$f(x+1)=\sqrt{f(x) - [f(x)]^2} + \dfrac{1}{2}$，设$a_n = [f(x)]^2 - f(x)$，数列$\{a_n\}$的前$15$项和为$-\dfrac{31}{16}$，则$f(15)=$？

$512.$ 已知四面体$ABCD$中，$DA=DB=DC=3\sqrt2$，且$DA，DB，DC$两两互相垂直，点$O$是$\triangle ABC$的中点，将$\triangle DAO$绕直线$DO$旋转一周，则在旋转过程中，直线$DA$与直线$BC$所成角的余弦值的取值范围是？

$513.$ 函数$y = -k |x-a| + b$的图像与函数$y = k|x- c| + d$的图像（$k>0$且$k \ne \dfrac{1}{3}$）交于两点$(2,5),(8,3)$，则$\dfrac{a+c}{b+d}$的值为？

$514.$ 已知直线$l\perp$平面$\alpha$，$O$为垂足，长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中$AD=5, AB=6,AA_1=8, A \in l, B_1 \in \alpha$，则$OC_1$的最大值为？

$515.$ 若$g(x) = |\ln x| + \dfrac{a}{x+1} (a>0)$，且对任意$x_1,x_2 \in [0, 2], x_1 \ne x_2$，都有$\dfrac{g(x_2) - g(x_1)}{x_2 - x_1} < -1$，求$a$的取值范围。

$516.$ 有四根长都为$2$的直铁条，若再选两根长为$2$的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥的铁架，则$a$的取值范围是？

$517.$ 在$\triangle ABC$中，三边长$a,b,c$满足$a+c=3b$，则$\tan \dfrac{A}{2} \tan \dfrac{C}{2}$的值为？

$518.$ 已知函数$f(x) = 2 \ln x - 2x - 3, h(x) = (p-2)x - \dfrac{p+2e}{x}-3$，若在区间$[1,e]$上至少存在一个$x_0$使得$h(x_0) > f(x_0)$处成立，求$p$的取值范围。

$519.$ 设有一组圆$C_k: (x-k+1)^2 + (y-3k)^2 = 2k^4 (k \in \mathbb{N^+})$，下列四个命题中真命题有？
（1）存在一条直线与所有圆相切；
（2）存在一条直线与所有圆相交；
（3）存在一条直线与所有圆都不相交；
（4）所有圆不经过任何圆点；

$520.$ 集合$W$是满足下列两个条件的无穷数列$\{a_n\}$的集合；
（1）$\dfrac{a_n + a_{n+2}}{2} \le a_{n+1}$；
（2）$a_n \le M; M$是与$n$无关的常数；
设数列$\{c_n\}$的各项都为正整数，且$\{c_n\} \in W$，求证$c_n \le C_{n+1}$。

$521.$ 设函数$f(x) = x^2 + ax + b (a,b \in \mathbb{R})$，满足不等式$|f(x)| \le |x^2 + 2x - 3|$恒成立，定义数列$\{a_n\}$和数列$\{b_n\}$，$a_1 = 3, 2a_n=f(a_{n-1}) + 3 (n \ge 3, n \in \mathbb{N^+}), b_n = \dfrac{1}{a_n + 2}(n \in \mathbb{N^+})$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$；
（1）求证：$S_n < \dfrac{1}{3}$；
（2）求证：$a_n > 2^{2^{n-1}} - 1$。

$522.$ 已知数列$a_n$的前$n$项和$S_n = \dfrac{n}{2}a_n (n \in \mathbb{N+})$，且$a_2=1, b_n = (1 + \dfrac{1}{2a_n+2})^{a_{n+1}} (n \in \mathbb{N+})$；
（1）已知定理：若函数$f(x)$在区域$D$是凹函数，且$f^\prime(x)$存在，则当$x>y (x,y \in D)$时，总有$\dfrac{f(x) - f(y)}{x-y} \le f^\prime(x)$，若函数$y = x^{n+1} (n \in \mathbb{N}^+)$在$(0, +\infty)$上是凹函数，试判断$b_n,b_{n+1}$的大小；
（2）求证：$\dfrac{3}{2} \le b_n < 2$。

$523.$ 已知函数$f(x) = x^2 + x - 1$，$\alpha, \beta$是方程$f(x)=0$的两个根（$\alpha > \beta$），$f^\prime(x)$是$f(x)$的导数，设$a_1 = 1, a_{n+1} - \dfrac{f(a_n)}{f^\prime(a_n)} (n=1,2,\cdots)$；
（1）证明：对任意的正整数$n$都有$a_n > \alpha$；
（2）记$b_n = \ln \dfrac{a_n - \beta}{a_n - \alpha}$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和。

$524.$ 已知$A,B$分别为曲线$C: \dfrac{x^2}{a^2} + y^2 = 1 (y \ge 0, a > 0)$与$x$轴的左右两个交点，直线$l$过点$B$且与$x$轴垂直，$S$为$l$上异于$B$的一点，连接$AS$交曲线$l$于点$T$，点$M$是以$SB$为直径的圆与线段$TB$的交点，试问：是否存在$a$，使得$O,M,S$三点共线？若存在，求出$a$的值。

$525.$ 已知双曲线$C: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b>0)$，$B$是右顶点，$F$是右焦点，$A$点在$x$轴正半轴上，且满足$|\overrightarrow{OA}|, |\overrightarrow{OB}|, |\overrightarrow{OF}|$成等比数列，过点$F$作双曲线在一、三象限的渐近线的垂线$l$，垂足为$P$；
（1）求证：$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{FP}$；
（2）若$l$与双曲线$C$的左右两支分别交于$D,E$，求双曲线$C$的离心率$e$的取值范围。

$526.$ 在棱长为$1$的正方体中，有两个球相外切并且分别于正方体的面相切，球的半径为多少时，两球体积之和最小？

$527.$ 已知$f(x) = x^2 + (a-3)x + a^2 - 3a$；
（1）设实数$p,q,r$满足$p,q,r$中的某一个数为$a$，且另外两个恰为方程$f(x)=0$的两实根，判断$p + q + r$，$p^2 + q^2 + r^2$，$3 \ p^3 + q^3 + r^3$这三个式子是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数$g(a)$，并求$g(a)$的最小值；
（2）对于（1）中的$g(a)$，设$H(a) = -\dfrac{1}{6}[g(a) - 27]$，数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1} = H(a_n) (n \in \mathbb{N^+}), a_n \in (0, 1)$，试判断$a_{n+1}$与$a_n$的大小。并证明。

$528.$ 设$V$是已知平面$M$上所有向量的集合，对于映射$f: V \to V, \vec a \in V$，记$\vec a$的象为$f(\vec a)$，若映射$f$满足：对所有$\vec a, \vec b \in V$及任意实数$\lambda, \mu$，都有$f(\lambda \vec a + \mu \vec b) = \lambda f(\vec a) + \mu f(\vec a)$，则称$f$为平面$M$上的线性变换，现有下列命题：
（1）设$f$是$M$上的线性变换，则$f(\vec 0) = \vec 0$；
（2） 对于$\vec a \in V$，则$f(\vec a) = 2 \vec a$，则$f$是$M$上的线性变换；
（3） 若$\vec e$是平面$M$上的单位向量，对$\vec a \in V$，设$f(\vec a) = \vec a - \vec e$，则$f$是$M$上的线性变换；
（4） 设$f$是$M$上的线性变换，$\vec a, \vec b \in V$，若$\vec a, \vec b$共线，则$f(\vec a)$与$f(\vec b)$也共线；
其中真命题有?

$529.$ 已经集合$A = \{a_1,a_2,\dots, a_k\} (k \ge 2)$，其中$a_i \in \mathbb{Z} (i=1,2,\cdots,k)$，有$A$中的元素构成两个相应的集合：$S = \{ (a, b) \mid a \in A, b \in A , a+b \in A\}, T = \{(a,b) \mid a \in A, b \in A, a - b \in A\}$，其中$(a,b)$是有序数对，集合$S$和$T$中的元素个数分别为$m,n$，若对任意的$a \in A$，总有$-a \in A$，则称集合具有性质$P$；
（1）对任何具有性质$P$的集合$A$，证明$n \le \dfrac{k(k-1)}{2}$；
（2）判断$m$和$n$的大小关系，并证明你的结论。

$530.$ 若对给定的实数$a(a \ne 0)$函数$y = f(x+a)$与$y = f^{-1}(x+a)$互为反函数，则称$y = f(x)$满足$a$和性质；若对函数$y = f(ax)$和$y = f^{-1}(ax)$互为反函数，则称$y = f(x)$满足$a$积性质；
（1）求所有满足$2$和性质的一次函数；
（2）设函数$y = f(x) (x >0)$，对任何$a > 0$，满足$a$积性质，求$y = f(x)$的表达式。

$531.$ 若$x^4 + ax - 4 = 0$的各个实根$x_1,x_2,\cdots,x_k (k\le 4)$，所对应的点$(x_i, \dfrac{4}{x_i}) (i=1,2,\cdots,k)$均在直线$y=x$的同侧，则实数$a$的取值范围是？

$532.$ 若$x_1$满足$2x + 2^x = 5$，$x_2$满足$2x + 2\log_2 (x-1) = 5$，则$x_1+x_2=$？

$533.$ 设函数$f_1(x) = 3^{|x-p_1|}$，$f_2(x) = 2 \cdot 3^{|x - p_2|}$，$x \in \mathbb{R}$，$p_1,p_2$为常数，函数$f(x)$定义为，对任意的实数$x$，$f(x) = \left\{ \begin{aligned} & f_1(x) & f_1(x) \le f_2(x) \\ &f_2(x) & f_1(x) > f_2(x)\end{aligned} \right.$；
（1）求$f(x) = f_1(x)$对任意的实数$x$都成立的充分必要条件；
（2）设$a,b$为两个实数，$a<b$，且$p_1,p_2 \in (a, b)$，若$f(a) = f(b)$，求证：$f(x)$在$[a,b]$上的单调增区间的长度和为$\dfrac{b-a}{2}$。

$534.$ 在锐角三角形$ABC$中，$BC=1, B=2A$，则$AC$的取值范围是？

$535.$ 若有穷数列$a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n$是正整数），满足$a_1 = a_n, a_2 = a_{n-1}, \cdots a_n = a_1$，即$a_i = a_{n-i+1}$（$i$是正整数，且$1 \le i \le n$），就称数列为对称数列。对于给定的正整数$m>1$，试写出所有项数不超过$2m$的对称数列，使得$1,2,2^2,\cdots,2^{m-1}$依次是数列中连续的项，当$m>1500$时，求其中一个数列的前$2008$项和$S_{2008}$。

$536.$ 设$S_n$是数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$a_1 = a, S_n^2 = 3n^2a_n + S_{n-1}^2, a_n \ne 0, n=2,3,\cdots$，试找出一个奇数$a$，使以$18$为首项，$7$为公比的等比数列$\{b_n\}$中所有项都是数列$\{a_n\}$中的项并指出$b_n$是数列$\{a_n\}$中的第几项。

$537.$ 设$m$个不全相等的正数$a_1,a_2,\cdots,a_m (m \ge 7)$依次围成一个圈，若每个数$a_n (n \le m)$是其左右相邻两数的平分的等比中项，求证$a_1 + \cdots + a_6 + a_7^2 + \cdots + a_m^2 > m a_1 \cdots a_m$。

$538.$ 对于数列$\{\mu_n\}$，若存在常数$M > 0$，对任意的$n \in \mathbb{N^+}$，恒有$|\mu_{n+1} - \mu_n| + |\mu_n - \mu_{n-1}| + \cdots + |\mu_2 - \mu_1| \le M$，则称该数列$\{\mu_n\}$为$B-$数列；
（1）设$S_n$是数列$\{x_n\}$的前$n$项和，给出下列两组论断：
A组：$\mathrm{i}$：数列$\{x_n\}$是$B-$数列；$\mathrm{ii}$：数列$\{x_n\}$不是$B-$数列；
B组：$\mathrm{i}$：数列$\{S_n\}$是$B-$数列；$\mathrm{ii}$：数列$\{S_n\}$不是$B-$数列；
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论，组成一个命题，判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（2）若数列$\{a_n\}, \{b_n\}$都是$B-$数列；证明数列$\{a_nb_n\}$也是$B-$数列。

$539.$ 如图，过圆$C: (x - 1)^2 + (y-1)^2 = 1$的圆心作直线分别于$x,y$正半轴交于$A,B$两点，$\triangle AOB$被圆分成四部分，若这四部分图像的面积满足$S_{\mathrm{I}} + S_{\mathrm{IV}} = S_{\mathrm{II}} + S_{\mathrm{III}}$，证明这样的直线只有一条。

$540.$ 点$P(x_0,y_0)$在椭圆$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a > b> 0)$上，$x_0 = a\cos \beta, y_0 = a \sin \beta, 0 < \beta < \dfrac{\pi}{2}$，直线$l_2$与直线$l_1: \dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2}=1$垂直，$O$为坐标原点；直线$OP$的倾斜角为$\alpha$，直线$l_2$的倾斜角为$\gamma$；
（1）证明：点$P$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$与直线$l_1$的唯一交点；
（2）证明：$\tan \alpha, \tan \beta, \tan \gamma$构成等比数列。

$541.$ 已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a > b >0)$的两个焦点分别为$F_1(-c,0), F_2(c,0) (c>0)$，过点$E(\dfrac{a^2}{c}, 0)$的直线与椭圆相交于$A,B$两点，且$\overrightarrow{F_1A} \parallel \overrightarrow{F_2B}, |\overrightarrow{F_1A}| = 2|\overrightarrow{F_2B}|$；
（1）求椭圆的离心率与直线$AB$的斜率；
（2）设点$C$是$A$点关于坐标原点的对称点，直线$F_2B$上有一点$H(m,n)(m \ne 0)$在$\triangle AF_1C$的外接圆上，求$\dfrac{n}{m}$的值。

$542.$ 过双曲线$x^2 - y^2 = 4$的右焦点$F$作倾斜角为$105^\circ$的直线交双曲线于$P,Q$两点，则$|FP| \cdot |FQ|$的值为？

$543.$ 已知双曲线$x^2 - y^2 = 2$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，过点$F_2$的动直线与双曲线相交于$A,B$两点；
（1）若动点$M$满足$\overrightarrow{F_1M} = \overrightarrow{F_1A} + \overrightarrow{F_1B} + \overrightarrow{F_1O}$（其中$O$为坐标原点），求点$M$的轨迹方程；
（2）在$x$轴上是否存在定点$C$，使得$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$为常数？若存在，求点$C$的坐标，若不存在，请说明理由。

$544.$ 若$A,B$是抛物线$y^2 = 4x$上的不同两点，不平行于$y$轴的弦$AB$的垂直平分线与$x$轴相交于点$P$，则称弦$AB$是点$P$的一条相关弦，已知当$x_0 > 2$时，点$P(x_0, 0)$有无穷多个相关弦；给出$x_0 > 2$，试问点$P(x_0, 2)$的相关弦的弦长是否存在最大值？若存在，求其最大值，若不存在，说明理由。

$545.$ 双曲线$C_1: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>0, b>0)$的左准线为$l$，左右焦点分别为$F_1,F_2$，抛物线$C_2$的准线为$l$，焦点为$F_2$，$C_1$与$C_2$的一个交点为$M$，则$\displaystyle \dfrac{|F_1F_2|}{|MF_1|} - \dfrac{MF_1}{MF_2}$等于？

$546.$ 如图，已知抛物线$C: y^2 = x$与圆$M: (x-4)^2 + y^2 = r^2 (r >0)$相交于$A,B,C,D$四个点；
（1）求$r$的取值范围；
（2）当四边形$ABCD$的面积最大时；求$AC,BD$的交点$P$的坐标。

$547.$ 已知双曲线$C: x^2 - \dfrac{y^2}{2} = 1$，直线$l$是圆$O: (x-4)^2 + y^2 = 2$上一动点$P(x_0,y_0) (x_0y_0 \ne 0)$处的切线，$l$与双曲线$C$交于不同的两点$A,B$，证明：$\angle AOB$的大小为定值。

$548.$ 椭圆$C_1: \dfrac{y^2}{4} + x^2 = 1$的右顶点为$A$，设点$P$在抛物线$C_2: y = x^2 + h (h \in \mathbb{R})$上，$C_2$在点$P$处的切线与$C_1$交于点$M,N$，当线段$AP$的中点与$MN$的中点的横坐标相等时，求$h$的最小值。

$549.$ 设$P(a,b)$是平面直角坐标系$xOy$中的一点，$l$是经过原点与点$(1,b)$的直线，记$Q$是直线$l$与抛物线$x^2 = 2py (p\ne 0)$的异于原点的交点；
（1）已知点$P(a,b) (ab \ne 0)$在椭圆$\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$上，$p = \dfrac{1}{2ab}$，求证$Q$落在$4x^2 - 4y^2= 1$上；
（2）已知动点$P(a,b)$满足$ab \ne 0, p=\dfrac{1}{2ab}$，若点$Q$始终在一条关于$x$轴对称的抛物线上，试问动点$P$的轨迹落在哪一种二次曲线上，请说明理由。

$550.$ 在平面直角坐标系$xOy$中，点$P$到$F(3,0)$的距离的$4$倍与它到直线$x=2$的距离的$3$倍之和记为$d$，当点$P$运动时，$d$恒等于$P$的横坐标与$18$之和；
（1）求点$P$的轨迹方程$C$；
（2）设过点$F$的直线$l$与轨迹$C$相交于$M,N$两点，求线段$MN$长度的最大值。

$551.$ 已知球的半径为$2$，相互垂直的平面分别截球面得到得到两个圆，若两圆的公共弦长为$2$，则两圆的圆心距等于？

$552.$ 已知数列$\{a_n\}, \{b_n\}$与函数$f(x), g(x), x \in \mathbb{R}$满足条件$b_1=1, a_n = f(b_n) = g(b_{n+1}) (n \in \mathbb{N^+}), g(x) = f^{-1}(x), f(1)<1$，若函数$f(x)$为$\mathbb{R}$上的增函数，证明对任意的$n \in \mathbb{N^+}$，$a_{n+1} < a_n$。

$553.$ 已知函数$f(x) = \dfrac{1}{(1-x)^n} + \ln (x-1)$，其中$n \in \mathbb{N^+}$，证明：对任意正整数$n$，当$x \ge 2$时，$f(x) \le x - 1$。

$554.$ 已知函数$f(x) = x^3 - (k^2 - k + 1)x^2 + 5x - 2, g(x) = k^2x^2 + kx + 1$，其中$k \in \mathbb{R}$；
（1）设函数$p(x) = f(x) + g(x)$，若$p(x)$在区间$(0,3)$内不单调，求$k$的取值范围；
（2）设函数$g(x) = \left\{ \begin{aligned} & g(x) & x \ge 0 \\ & f(x) & x < 0 \end{aligned}\right.$，是否存在$k$，对任意给定的非零实数$x_1$，都存在唯一的非零实数$x_2 (x_2 \ne x_1)$，使得$g^\prime(x_2) = g^\prime(x_1)$成立？若存在，求出$k$的值；若不存在，请说明理由。

$555.$ 在$\mathbb{R}$上定义运算$\bigotimes$，$p \bigotimes q = -\dfrac{1}{3}(p-c)(q-b) + 4bc$（$b,c$为实常数），记$f_1(x) = x^2 - 2c, f_2(x) = x - 2b, x \in \mathbb{R}$，令$f(x) = f_1(x) \bigotimes f_2(x)$；
（1）求曲线$y = f(x)$上斜率为$c$的切线与该曲线的公共点；
（2）记$g(x) = |f^\prime(x)| (-1 \le x \le 1)$的最大值为$M$，若$M \ge k$对任意的$b, c$恒成立，试求$k$的最大值。

$556.$ 如图，已知$\triangle ABC$的两条角平分线$AD$和$CE$相交于$H$，$\angle B = 60^\circ$，$F$在$AC$上，且$AE = AF$；
证明：（1）$B,D,H,E$四点共圆；
（2）$CE$平分$\angle DEF$。

$557.$ 对于给定的$n \in \mathbb{N^+}$，定义$C_{n}^x = \dfrac{n(n-1)\cdots(n - [x] - 1)}{x(x-1)\cdots(x - [x] + 1)}, x \in [1, +\infty)$，则当$x \in [\dfrac{3}{2}, 3)$时，$C_{8}^x$的值域是？

$558.$ 已知函数$f(2x+2)-1$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，函数$y = g(x)$的图像与函数$f(x)$的图像交于$y=x$对称，若$x_1 + x_2 = 2$，则$g(x_1) + g(x_2)=$？

$559.$ 设函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上满足$f(2-x) = f(2+x), f(7-x)=f(7+x)$，且在闭区间$[0, 7]$上，只有$f(1)=f(3)=0$；
（1）试判断$f(x)$的奇偶性；
（2）试求方程$f(x)$在区间$[-2005, 2005]$上的根的个数。

$560.$ 已知函数$f(x) = \dfrac{2a+1}{a} - \dfrac{1}{a^2x}$，设$0 < m < n$且$f(x)$的定义域与值域都为$[m,n]$，求$m+n$的最大值。

$561.$ 函数$f(x) = \log_a(2-3a) (a>0,a\ne 1)$，当点$p(x,y)$是函数$y = f(x)$的图像上的点时，$Q(x-2a,-y)$是函数$y=g(x)$的图像上的点，且$x \in [a+2, a+3]$时，恒有$|f(x) - g(x)| \le 1$，试确定$a$的取值范围。

$562.$ 已知数列$\{x_n\}$满足$x_n^2 + 4 = 2x_n x_{n+1}, x_1 = 4$，$T_n$是数列$\{x_n\}$的前$n$项和，证明$T_n < 3 + 2n$。

$563.$ 已知数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3, a_2 = 5$，其前$n$项和为$S_n$，$S_n + S_{n-2} = 2S_{n-1} + 2^{n-1} (n \ge 3)$；
（1）求$\{a_n\}$；
（2）令$b_n = \dfrac{1}{a_na_{n+1}}$，试求一个函数$f(x)$，使得对任意的正整数$n$，有$T_n = b_1f(1) + b_2f(2) + \cdots + b_n f(n) < \dfrac{1}{6}$且对任意的$m \in (0, \dfrac{1}{6})$，存在$n_0 \in \mathbb{N^+}$使得$n \ge n_0$时，$T_n > m$。

$564.$ 已知$D$为$\triangle ABC$的边$AB$上一点，$P$是$\triangle ABC$内一点，满足$\overrightarrow{AD} = \dfrac{\lambda+1}{\lambda^2 + \sqrt{2}\lambda + 1} \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \dfrac{\lambda}{1+\lambda}\overrightarrow{BC}, \lambda>0$，则$\dfrac{S_{\triangle APD}}{S_{\triangle ABC}}$的最大值为？

$565.$ 已知变量$x,y$满足$\left\{ \begin{aligned} & y \le x \\ & x+y\ge2 \\ &y \ge 3x - 6 \end{aligned} \right.$，则$z=x-y + |x+2y - 2|$的最大值为？

$566.$ 设圆$O: x^2 + y^2 = \dfrac{16}{9}$，直线$l: x + 3y -8 = 0$，点$A \in l$，且圆$O$上存在点$B$，使得$\angle AOB = 30^\circ$（$O$为坐标原点），则点$A$的横坐标的取值范围是？

$567.$ 设$a,b,c$是不全相等的正数，求证$\lg \dfrac{a+b}{2} + \lg \dfrac{b+c}{2} + \lg \dfrac{c+a}{2} \ge \lg a + \lg b + \lg c$。

$568.$ 正方体的一个顶点$A$在平面$\alpha$内，其余顶点在$\alpha$的同侧，正方体上与顶点$A$相邻的三个顶点到$\alpha$的距离分别是$1,2,4$，$P$是正方体的其余四个顶点中的一个，则$P$到平面$\alpha$的距离可能是（1）3， （2）4，（3）5，（4）6，（5）7。

$569.$ 空间四边形$ABCD$中，$EFGH$分别是$AB,BC,CD,DA$的中点，$|AC|$与$|BD|$是方程$x^2 - ax + b = 0$的两个实根，则$EG^2 + FH^2=$?

$570.$ 已知椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b> 0)$的左右焦点分别是$F_1(-c,0), F_2(c,0)$，$Q$是椭圆外的动点，且满足$|\overrightarrow{F_1Q}|=2a$，点$P$是线段$F_1Q$与该椭圆的交点，点$T$在线段$F_2Q$上，并满足$\overrightarrow{PT} \cdot \overrightarrow{TF_2} = 0, |\overrightarrow{TF_2}| \ne 0$；
（1）求点$T$的轨迹$C$的方程；
（2）试问在点$T$的轨迹$C$上，是否存在点$M$，使得$\triangle MF_1F_2$的面积$S = b^2$？若存在，求$\angle F_1MF_2$的正切值；若不存在，请说明理由。

$571.$ 记函数$g(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a \ne 0)$的图像为$C$，若对任意不等与$-\dfrac{b}{3a}$的实数$x_1$，曲线$C$与其在$P_1(x_1, g(x_1))$处的切线交于另一点$P_2(x_2, g(x_2))$，曲线$C$与其在$P_2$处的切线交于另一点$P_3(x_3,g(x_3))$，线段$P_1P_2, P_2P_3$与曲线$C$所围成封闭图像的面积分别记为$S_1,S_2$，证明$\dfrac{S_1}{S_2}$为定值。

$572.$ 已知$a$是给定的实常数，设函数$f(x) = (x-a)^2(x+b)e^x, b \in \mathbb{R}$，$x=a$是$f(x)$的一个极大值点；
（1）求$b$的取值范围；
（2）设$x_1,x_2,x_3$是$f(x)$的$3$个极值点，问是否存在实数$b$，可找到$x_4 \in \mathbb{R}$，使得$x_1,x_2,x_3,x_4$的某种排列$x_{i_1}, x_{i_2}, x_{i_3}, x_{i_4}$，其中$\{i_1,i_2,i_3,i_4\} = \{1,2,3,4\}$依次成等差数列？若存在，求所有的$b$及相应的$x_4$，若不存在，请说明理由。

$573.$ 若$f(x) = x^2 - x + c, |x-a| < 1$，求证$|f(x) - f(a)| < 2(|a| + 1)$。

$574.$ 设数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，已知$S_n = 2a_n - 2^{n+1}, (n \in \mathbb{N^+})$；
（1）设$b_n = \log_{\frac{a_n}{n+1}}2$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$B_n$，若存在整数$m$，使对任意$n \in \mathbb{N^+}$且$n \ge 2$都有$B_{3n} - B_n > \dfrac{m}{20}$成立，求$m$的最最大值。

$575.$ 已知数列$\{x_n\}$满足$x_{n+1} = \dfrac{x_{n}+2}{x_n+1}, x_1=1, a_n = x_n - \sqrt2$，数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，证明$S_n < \dfrac{\sqrt2}{2}$。

$576.$ 证明：$\displaystyle 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{n^3} < \dfrac{5}{4}$，$(n \in \mathbb{N^+})$。

$577.$ 数列$\{a_n\}, \{b_n\}$满足$a_{n+1} = a_n - \ln (1 + a_n), 0 < a_1 < 1, b_1 = \dfrac{1}{2}, b_{n+1} \ge \dfrac{1}{2}(n+1)b_n$，求证：
（1）$a_{n+1} < \dfrac{1}{2}a_n^2$；
（2）若$a_1 = \dfrac{\sqrt 2}{2}$，则当$n \ge 2$时有$b_n > a_n \cdot n!$。

$578.$ 从曲线$x^2 - y^2 = 4$上一点$M$引直线$x - y = 3$的垂线，垂足为$N$，求线段$MN$的中点$P$的轨迹方程。

$579.$ 已知双曲线$C: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0)$，$l_1,l_2$为其渐近线，$F$为右焦点，过点$F$作直线$l \parallel l_2$，且$l$交双曲线于点$R$，$l_1 \cap l = M$，又过点$F$作$x$轴的垂线与$C$交于第一象限内的$P$点；
（1）求证$\dfrac{|FP|}{|FR|}$为定值；
（2）若$\overrightarrow{FR} = \lambda \overrightarrow{FM}$，且$\lambda \in (\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3})$，试求双曲线$C$的离心率$e$的取值范围。

$580.$ 过点$N(0,1)$和$M(m,-1)(m \ne 0)$的动直线$l$与抛物线$C: x^2 = 2py$交于$P,Q$两点，点$P$在$MN$之间，$O$为原点坐标，对于任意的动直线$l$，是否存在常数$p$，总有$\angle MOP = \angle PON$？

$581.$ 设过原点的一条射线$l$分别与$\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1, \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8}=1$交于$A,B$两点，其中点$A$在线段$OB$上，求$\dfrac{|OA|}{|OB|}$的最大值与最小值。

$582.$ 过原点的一条射线分别与相似比为$2$（即$\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{b_2}{b_1} = 2$）的两个椭圆$C_1: \dfrac{x^2}{a_1^2} + \dfrac{y^2}{b_1^2} = 1 (a_1 > b_1 >0)$和椭圆$C_2: \dfrac{x^2}{a_2^2} + \dfrac{y^2}{b_2^2} = 1 (a_2>b_2>0)$交于$A,B$两点，$P$为线段$AB$上一点，若$|OA|,|OP|,|OB|$成等比数列，证明$P$的轨迹方程为$\dfrac{x^2}{b_2^2} + \dfrac{y^2}{b_1^2} = 1$。

$583.$ 已知$P(a,0)(a>0)$为$x$轴上一动点，过$P$作直线交抛物线$y^2 = 2px (p>0)$于$A,B$两点，设$S_{\triangle AOB} = t \cdot \tan \angle AOB$，试问：$a$为何值时，$t$取得最小值，求出最小值。

$584.$ 若椭圆$C_1:\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$的左右顶点分别为$A,B$，过$F$的直线交$C_1$于$M,N$零点，记$\triangle AMB, \triangle ANB$的面积分别为$S_1,S_2$，求$\dfrac{S_1}{S_2}$的取值范围。

$585.$ 在$\triangle ABC$中，若$\sin C = \dfrac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B}$，则$\triangle ABC$是什么三角形？（直角，等腰，等边，锐角）

$586.$ 已知$T=4$的周期函数$f(x) = \left\{ \begin{aligned} & m\sqrt{1-x^2} & x \in (-1,1] \\ & 1 - |x-2| & x \in (1, 3] \end{aligned}\right.$，其中$m > 0$，若方程$3f(x) = x$有$5$个实数解，则$m$的取值范围是？

$587.$ 在$\triangle ABC$中，$a,b,c$成等差数列，则$\dfrac{\cos A + \cos C}{1 + \cos A \cos C}=$？

$588.$ 已知实数$x,y$满足$(3x + y)^5 + x^5 + 4x +y = 0$，则$4x + y=$?

$589.$ 过抛物线$x^2 = 4y$准线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为$M,M$，求证：直线$MN$过一定点。

$590.$ 若规定$E = \{a_1,a_2,\cdots,a_{10}\}$的子集$\{a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_n}\}$为$E$的第$k$个子集，其中$k = 2^{i_1-1} + 2^{i_2-1} + \cdots + 2^{i_n-1}$，则$E$的第$211$个子集是？

$591.$ 已知曲线$C_1: \dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1 (a >b >0, y \ge 0)$与抛物线$C_2: x^2 = 2py (p>0)$的交点分别是$A,B$，曲线$C_1$与抛物线$C_2$在点$A$处的切线分别为$l_1,l_2$，且$l_1,l_2$的斜率分别为$k_1,k_2$；
（1）求证$k_1 \cdot k_2 = - \dfrac{2a^2}{b^2}$；
（2）若$l_2$与$y$轴的焦点为$(0,-2)$，当$a^2 + b^2$取最小值$9$时，求曲线$C_1$和$C_2$的方程。

$592.$ 已知$m \ge 0, n \ ge 0$，求证$\dfrac{1}{2}(m+n)^2 + \dfrac{1}{4}(m+n) \ge m\sqrt n + n \sqrt m$。

$593.$ 求$\sin^2 20^\circ + \cos^2 80^\circ + \sqrt 3 \sin 20^\circ \cos 80^\circ$。

$594.$ 已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a >b > 0)$，其长轴顶点为$A,B$，如果椭圆上存在一点$Q$，使得$\angle AQB = 120^\circ$，求该椭圆离心率的取值范围。

$595.$ 若曲线$y=x^2$的所有弦都不能被直线$y = m(x-3)$垂直平分，求$m$的最小值。

$596.$ 数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n^2 - a_n + 2$，证明当$n \ge 5$时，$\sum \limits_{i=1}^n \dfrac{1}{a_i} < n - 1$。

$597.$ 对于每项均是正整数的数列$A: a_1,a_2,\cdots,a_n$，定义变换$T_1$，将数列$A$变换成数列$T_1(A): a_1-1,a_2-1,\cdots,a_n-1$，对于每项均是非负整数的数列$B: b_1,b_2,\cdots,b_n$，定义变换$T_2$，将数列$B$的各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列$T_2(B)$，又定义$S(B) = 2(b_1+2b_2+\cdots+nb_n) + b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2$，设$A_0$是每项都为正整数的有穷数列，零$A_{k+1} = T_2(T_1(A_k)) (k=0,1,2, \cdots)$；
（1）对于各项均是正整数的有穷数列$A$，证明$S(T_1(A)) = S(A)$；
（2）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列$A_0$，存在正整数$K$，当$k \ge K$时，有$S(A_{k+1}) = S(A_k)$。

$598.$ 已知$f_n(x)$满足$\left\{ \begin{aligned} & f_n(0) = \dfrac{1}{2} \\ & n[f_n(\dfrac{k+1}{n}) - f_n(\dfrac{k}{n})] = [f_n(\dfrac{k}{n}) - 1]f_n(\dfrac{k+1}{n}) & k=0,1,2,\cdots,n-1 \end{aligned} \right.$；
（1）当$n$固定时，记$a_k = \dfrac{1}{f_n(\frac{k}{n})}$，求$a_k (k=0,1,2,\cdots,n)$；
（2）对$n \in \mathbb{N^+}$，证明$\dfrac{1}{4} < f_n(1) < \dfrac{1}{3}$。

$599.$ 若关于$x$的不等式$x^2 + |x - a| < 2$至少有一个正解，则实数$a$的取值范围是？

$600.$ 已知$f(x) = ax^2 + (4a + 2)x + 4a - 6$，则使函数$f(x)$至少有一个整数零点的所有正整数$a$的值之和为？