数学试题三：高中篇2

$101.$ 已知$g(x)$的图像是$f(x)$的图像关于原点对称，且$f(x) = x^2 + 2x$；
（1）解不等式$g(x) \ge f(x) - |x - 1|$；
（2）若$h(x) = g(x) - \lambda f(x) + 1$在$[-1,1]$上是增函数，求实数$\lambda$的取值范围。

$102.$ 已知$\displaystyle \vec a = (\sqrt2 \sin wx, \cos wx + \sin wx), \vec b = (\cos wx, \frac{\sqrt 6}{2} \cos wx - \frac{\sqrt 6}{2} \sin wx)$，其中$0 < w < 2$，函数$f(x) = \vec a \cdot \vec b$，且$f(x)$的图像关于直线$\displaystyle x = \frac{\pi}{12}$对称，且在$\displaystyle x = \frac{\pi}{12}$处取最大值，若$\displaystyle x \in [\frac{5\pi}{24}, \frac{7 \pi}{12}]$时，$|f(x) - m| \le 3$恒成立，求$m$的取值范围。

$103.$ 如图，$Rt \triangle ABC$中，$S,r$分别是$\triangle ABC$的面积和内切圆半径，$l$是三角形周长，令$\displaystyle t = \frac{lr}{S}$；
（1）$t$表示为$\angle A$的函数$t = f(A)$；
（2）$t = f(A)$的取值范围。

$104.$ 在$\triangle ABC$中，若$\displaystyle \frac{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC}}{3} = \frac{\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA}}{2} = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow{AB}$，则$\tan A=$?

$105.$ 已知$\displaystyle \vec a = (\sqrt 3, -1), \vec b = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt 3}{2}), \vec c = \vec a + (\cos \pi x - \sin pi x) \vec b, \vec d = (y - 1) \vec a + (\sin \pi x) \vec b$，其中$\displaystyle x,y \in \mathbb{R}, x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), \vec c \perp \vec d$，
（1）求函数$y=f(x)$的解析式与最大值；
（2）若函数$f(x)$是区间$\displaystyle [1 - \frac{p}{2}, \frac{p}{16}]$上的减函数，求$p$的取值范围。

$106.$ $l_1,l_2,l_3$是三条平行的直线，$l_1,l_2$的距离为$1$，$l_2,l_3$的距离为$2$，正三角形$ABC$的三个顶点分别在$l_1,l_2,l_3$上，则$\triangle ABC$的边长是？

$107.$ 已知椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$的左右顶点为$A,B$，右焦点为$F$，设过点$T(9,m)$的直线$TA,TB$与椭圆分别交于$M(x_1,y_2), N(x_2,y_2)$，其中$m>0, y_1>0, y_2<0$，求证$MN$必过一定点。

$108.$ 已知关于$x$的不等式组$1 \le kx^2 + 2x + k \le 2$有唯一的实数解，则实数$k$的取值范围是？

$109.$ 当$\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}$时，函数$\displaystyle f(x) = \frac{1 + \cos 2x + 8 \sin^2 x}{\sin 2x}$的最小值是？

$110.$ 已知$a \ge 0, b \ge 0, a + b = 1$，则$\displaystyle \sqrt {a + \frac{1}{2}} + \sqrt {b + \frac{1}{2}}$的取值范围是？

$111.$ 在平行四边形$ABCD$中，$AB=AC=1$，$\angle ACD = 90^\circ$，将它们沿对角线$AC$折起，使$AB$与$CD$成$60^\circ$角，求$BD$的长度。

$112.$ 过抛物线$C: y = x^2$上两点$M,N$的直线$l$交$y$轴于点$D(0, b)$；
（1）若$\angle MDN$为钝角（$O$为坐标原点），求$b$的取值范围；
（2）若$b = 2$，曲线$C$在$M,N$处的切线的交点为$Q$，求证点$Q$必在一条定直线上运动。

$113.$ 设$G,M$分别为不等边$\triangle ABC$的垂心与外心，$A(-1, 0), B(1, 0)$，且$GM \parallel AB$，求点$C$的轨迹方程。

$114.$ 在平面直角坐标系中，过顶点$C(0,p)$作直线与抛物线$x^2 = 2py (p>0)$相交于$A,B$两点，若点$N$是点$C$关于原点$O$的对称点，
（1）求$\triangle ANB$面积的最小值；
（2）是否存在垂直于$y$轴的直线$l$，使得$l$被以$AC$为直径的圆截得的弦长恒为定值。

$115.$ 已知双曲线$\displaystyle \frac{x^2}{m^2} - \frac{y^2}{n^2} = 1 (m >0, n>0)$的顶点$A_1,A_2$，与$y$轴平线的直线$l$交双曲线于点$P,Q$，求直线$A_1P$与$A_2Q$交点$M$的轨迹方程。

$116.$ 已知$f(f(x) - x^2 + x) = f(x) - x^2 + x$，设有且仅有一个实数$x_0$使得$f(x_0) = x_0$，求函数$f(x)$的解析式。

$117.$ 设$x \ge 0, y \ge 0$，且$\displaystyle 2x + y = \frac{1}{2}$，那么函数$\displaystyle y = \log_{\frac{1}{5}} (4x^2 + 8xy + 1)$的最大值为？

$118.$ 将半径为$1$的四个钢球完全装入正四面体的容器里，则这个四面体的高的最小值为？

$119.$ 过点$A(11, 2)$作圆$x^2 + y^2 + 2x - 4y - 164 = 0$的弦，其中弦为整数的共有多少条？

$120.$ 若圆$O_1: x^2 + y^2 = 5$与圆$O_2: (x-m)^2 + y^2 = 20 (m \in \mathbb{R})$相交于$A,B$两点，且两圆在点$A$处的切线相互垂直，则线段$AB$的长度是？

$121.$ 若圆$x^2 + y^2 = 4$与圆$x^2 + y^2 + 2ay - 6 = 0 (a > 0)$的公共弦长为$2\sqrt 3$，则$a=$?

$122.$ 已知圆$x^2 + y^2 = 1$，过点$A(1, 0)$作直线交圆于$Q$，在直线上取一点$P$，作$P$到$x=-1$的距离等于$|PQ|$，求点$P$的运动轨迹。

$123.$ 已知$x_1 + \lg x_1 = 3, x_2 + 10^{x_2} = 3$，求$x_1 + x_2$。

$124.$ 过圆$x^2 + y^2 = 5$内一点$\displaystyle P(\frac{\sqrt 5}{2}, \frac{\sqrt 3}{2})$有$n$条弦，这$n$条弦长成等差数列$\{a_n\}$，如果过点$P$的最短弦长为$a_1$，最长弦长为$a_n$，且公差$\displaystyle d \in (\frac{1}{6}, \frac{1}{3})$，那么$n$的取值集合为?

$125.$ 已知$a > b >0$，则$\displaystyle a^2 + \frac{25}{b(a-b)}$的最小值为？

$126.$ 已知$a, b, c \in (0, 1)$，求证$(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a$不能同时大于$\frac{1}{4}$。

$127.$ 设$f(x) = |\lg x|$，$a,b$满足$\displaystyle f(a) = f(b) = 2f(\frac{a+b}{2})$，其中$0 < a < b$；
（1）求证：$a < 1 < b$；
（2）求证：$2 < 4b - b^2 < 3$。

$128.$ 已知$\displaystyle f(x) = 4 \sin^2 (\frac{\pi}{4} + x) - 2 \sqrt 3 \cos 2x - 1$，且给定条件$\displaystyle p: \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$，条件$q: |f(x) - m| < 2$，且$p$是$q$的充分条件，求$m$的取值范围。

$129.$ 在棱长为$a$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$\displaystyle \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB_1}$，在平面$ABCD$中取一点$F$，使$\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG}$最小，则最小值为？

$130.$ 设$f(x) = ax^2 - (a^2 - b^2) x - 4c^2$，且$f(2) = 0$，在$\triangle ABC$中，$a,b, c$分别是角$A,B,C$的对边，求角$C$的取值范围。

$131.$ 在$\triangle ABC$中，$A$最大，$C$最小，且$A = 2C$，$a + c = 2b$，求此三边之比。

$132.$ 已知$\triangle ABC$满足$a^2 - a - 2b - 2c = 0, a + 2b - 2c + 3 = 0$，判断哪一个角最大，并求出最大角。

$133.$ $B_1,B_2,\cdots,B_n$依次为曲线$\displaystyle y = \frac{1}{x} (x > 0)$上的点，$A_1,A_2,\cdots, A_n$依次为$x$轴上的点，且$\triangle OB_1A_1, \triangle A_1B_2A_2, \cdots, \triangle A_{n-1}B_nA_n$均为等腰直角三角形（其中$B_1,B_2,\cdots,B_n$为直角顶点），设$A_n$的坐标为$(x_n, 0)$；
（1）求数列$\{x_n\}$的通项公式；
（2）设$S_n$为数列$\displaystyle \{ \frac{1}{x_n} \}$的前$n$项和，试比较$\log_a (S_n + 1)$与$\displaystyle \frac{1}{2} \log_a (n+1)$的大小，其中$a > 0, a \ne 1$。

$134.$ 已知等比数列$\{a_n\}$的公比$q > 1$，第17项的平方等于第24项，求使$\displaystyle a_1 + a_2 + \cdots + a_n > \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}$成立的$n$的取值范围。

$135.$ 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$满足$\displaystyle S_n - S_{n-2} = 3 (-\frac{1}{2})^{n-1} (n \ge 3)$且$\displaystyle S_1 = 1, S_2 = -\frac{3}{2}$，求数列$\{a_n\}$的通项公式。

$136.$ 函数$f(x) = ax^2 + bx + c (a > 0)$，方程$f(x) = x$有两个实根$x_1, x_2$，满足$\displaystyle 0 < x_1 < x_2 < \frac{1}{a}$，当$x \in (0, x_1)$时，证明$x < f(x) < x_1$。

$137.$ 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c (a,b \in \mathbb{R}, a > 0)$，设方程$f(x) = x$的两个实根$x_1, x_2$；
（1）如果$x_1 < 2 < x_2 < 4$，设$f(x)$的对称轴为$x = x_0$，求证$x_0 > -1$；
（2）如果$|x_1| < 2, |x_2 - x_1| = 2$，求$b$的取值范围。

$138.$ 设$\{a_n\}$是由正数组成的等比数列，$S_n$是其$n$项和；
（1）证明：$\displaystyle \frac{1}{2} (\lg s_n + \lg S_{n+2}) < \lg S_{n+1}$；
（2）是否存在常数$C>0$，使得$\displaystyle \frac{1}{2}[\lg (S_n - C) + \lg (S_{n+2} - C)] = \lg (S_{n+1} - C)$成立，并证明你的结论。

$139.$ 已知圆$(x - 3)^2 + y^2 = 4$和过原点的直线$y = kx$的交点为$P,Q$，则$|OP|\cdot |OQ|=$？

$140.$ 如图，在四面体$ABCD$中，截面$AEF$经过四面体的内切球的球心$O$，且与$BC,DC$分别交于$E,F$，如该截面将四面体分成体积相等的两部分，设$A-BEFD$与三棱锥$A-EFC$的表面积分别为$S_1,S_2$，则$S_1$与$S_2$的大小关系为？

$141.$ 证明：过椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$外一点$P$作其两条切线$PA,PB$，其中$A,B$为切点，点$F$为椭圆的一个焦点，则$\angle PFA = \angle PFB$。

$142.$ 证明：过抛物线$x^2 = 2py (p>0)$外一点$P$作其两条切线$PA,PB$，若$F$为抛物线的焦点，则$\angle PFA = \angle PFB$。

$143.$ 过双曲线$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0)$外（两支之间）一点$P$（$P$不在渐近线上）作双曲线的两条切线$A,B$，若$F$为双曲线的一个焦点，证明：
（1）若$A,B$在同一支，则$\angle PFA = \angle PFB$；
（2）若$A,B$不在同一支，则$PF$平分$\angle AFB$的邻补角。

$144.$ 在四面体$ABCD$中，$AB,AC,AD$两两垂直，$AO \perp$平面$BCD$，垂足为$O$，则有$\displaystyle \frac{1}{AO^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AD^2}$。

$145.$ 在四面体$ABCD$中，$AD \perp$平面$ABC$，$AO \perp$平面$BCD$，垂足为$O$，则有$S^2_{\triangle ABC} = S_{\triangle BOC} S_{\triangle BCD}$。

$146.$ 点$O$在$\triangle ABC$内，证明$S_{\triangle OBC \cdot \overrightarrow{OA}} + S_{\triangle OAC} \cdot \overrightarrow{OB} + S_{\triangle OAB}\cdot \overrightarrow{OC} = \vec 0$。

$147.$ 点$O$在四面体内，证明$V_{O-BCD} \cdot \overrightarrow {OA} + V_{O-ACD} \cdot \overrightarrow{OB} + V_{O-ABD} \cdot \overrightarrow{OC} + V_{O-ABC} \cdot \overrightarrow{OD} = \vec 0$。

$148.$ 若$n$个实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$满足$a^2_1 + a^2_2 + \cdots + a^2_n = 1$，证明$a_1 + a_2 + \cdots + a_n < \sqrt n$。

$149.$ 锐角$\alpha, \beta$满足$\displaystyle \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \frac{1}{4} = \sin \alpha \sin \beta + \frac{1}{2}(\sin \alpha + \sin \beta)$，证明$\alpha = \beta = 30^\circ$。

$150.$ 已知$\triangle ABC$中，$\sin A \sin B \cos C = \sin B \sin C \cos A + \sin A \sin C \cos B$，令$R$为外切圆半径，$S$为其面积，则$\displaystyle y = \frac{RS}{c^3}$的取值范围是?

$151.$ 已知函数$\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{x}{4} + \frac{3}{4x} - 1, g(x) = x^2 - 2bx + 4$，若对任意$x_1 \in (0, 2)$存在$x_2 \in [1, 2]$使得$f(x_1) \ge g(x_2)$，求实数$b$的取值范围。

$152.$ 已知函数$\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{a}{x}$，若$f(x)$在$[1,e]$上的最小值为$\displaystyle \frac{3}{2}$，求$a$的值。

$153.$ 已知曲线$C_1: y = x^2$与曲线$C_2: y = x^2 + 2ax (a>1)$交于$O,A$两点，直线$x = t(0 \le t \le 1)$与曲线$C_1,C_2$分别交于$D, B$，设$S$为梯形$ABOD$的面积，求$S$的最大值。

$154.$ 已知$A,B$分别是直线$\displaystyle y = \frac{\sqrt 3}{3}x$与$\displaystyle y = -\frac{\sqrt 3}{3}x$上两动点，线段$AB$的长为$2\sqrt 3$，$P$是$AB$的中点，设动点$P$的轨迹为$C$，过点$Q(1, 0)$作直线$l$（与$x$轴不垂直）与轨迹$C$交于$M,N$两点，与$y$轴交于$R$，若$\overrightarrow{RM} = \lambda \overrightarrow{MQ}, \overrightarrow{RN} = \mu \overrightarrow{NQ}$，求证$\lambda + \mu$为定值。

$155.$ 已知$f(x) = x^3 - 3x^2$，设$m>1$，若过点$(m,n)$可作函数的三条切线，求证$1 - 3m < n < f(m)$。

$156.$ 设$f(x) = x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)$，求$f^\prime(0)$的值。

$157.$ 已知函数在定义域$R$上可导，设点$P$是函数$y=f(x)$的图像上距离原点$O$最近的点；
（1）设点$P$的坐标$(a,f(a))$，求证$a + f(a)f^\prime(a) = 0$；
（2）若函数$y = f(x)$的图像不通过坐标原点$O$，证明：直线$OP$与函数$y=f(x)$的图像上过$P$点切线互相垂直。

$158.$ 设直线$l_1$与曲线$y=\sqrt x$相切于点$P$，直线$l_2$过点$P$且垂直$l_1$，若$l_2$交$x$轴于点$Q$，又作$PK \perp x$轴于点$K$，求证$KQ$的长度为定值。

$159.$ 设$f(x) = x^2 + bx + c，x \in [-1, 1]$，试证明：当$b < -2$时，在$[-1,1]$上总存在一个$x$使得$|f(x)| \ge |b|$。

$160.$ 已知$f(x) = x(x-1)(x-a)，(a>1)$的两个极值点$x_1,x_2$，如果$f(x_1) + f(x_2) \le 0$恒成立，求$a$的最小值。

$161.$ 已知$a>0$且$a \ne 1$，$f(x)$是奇函数，$\displaystyle \varphi(x) = (a-1)f(x)\left( \frac{1}{a^x-1} + \frac{1}{2} \right)$；
（1）判断$\varphi(x)$的奇偶性；
（2）证明：若$xf(x)>0$，则$\varphi(x) > 0$。

$162.$ 设$x_1,x_2$是函数$f(x) = e^x$定义域内的两个变量且$x_1 < x_2$，若$\displaystyle x_0 = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$，那么$|f(x_0) - f(x_1)|$与$|f(x_2) - f(x_0)|$的大小关系为？

$163.$ 已知函数$f(x) = \lg (a^x - kb^x)$的定义域是$(0, +\infty), (k \in \mathbb{N^+}, 0<b<1<a)$，是否存在这样的$a$与$b$使$f(x)$在$(1, +\infty)$上的值域为$(0, +\infty)$且$f(3) = \lg 4$？若存在求出$a$与$b$的值，若不存在，请说明理由。

$164.$ 证明：两个既约分数的和与积不能同时为整数。

$165.$ 证明：$\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \frac{2n-1}{2n} < \frac{\sqrt{2n+1}}{2n+1} (n \in \mathbb{N^+})$。

$166.$ 已知$a, b \in \mathbb{R}^*$，集合$A = \{x \mid |x+1| < a, x \in \mathbb{R}\}，B = \{ x \mid |x-2| > b, x \in \mathbb{R}\}$，且$A \subseteq B$，则$a+b$的最大值为？

$167.$ 椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$上到直线$2x + 3y + 1 = 0$的距离等于$\displaystyle \frac{\sqrt 3 + 1}{2}$的点的个数为？

$168.$ 直线$MN$过$\triangle ABC$的重心$G$，且$\overrightarrow AM = m \overrightarrow AB, \overrightarrow AN = n \overrightarrow AC$（其中$m>0,n>0$），则$mn$的最小值为？

$169.$ 已知四面体$ABCD$，$AB=AC=AD=BC=1, CD = \sqrt 2$，则该四面体的内切球半径为？

$170.$ 从直线$\displaystyle l: \frac{x}{8} + \frac{y}{4} = 1$上的任意一点$P$作圆$O: x^2 + y^2 = 8$的两条切线，切点为$A,B$，则弦$AB$的最小值为？

$171.$ 在半径为$1$的大球内放入$6$个半径相同的小球，当小球的体积最大时，小球的半径为？此时在6个小球之间的空隙里还可以放入一个小球，该小球的最大半径为？

$172.$ 关于$x$的不等式$\displaystyle \frac{mx+1}{2x^2+ax-1} \ge n$（$m,a,n$是实数）的解集为$\displaystyle [-2, -1) \cup (\frac{1}{2}, 1]$，则$a=?,m=?$

$173.$ 若不等式$\displaystyle (-1)^n a < 2 + \frac{(-1)^{n+1}}{n}$对任意正整数$n$恒成立，则实数$a$的取值范围是？

$174.$ $a,b,c$为互不相等的正数且$abc=1$，求证：$\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c$。

$175.$ 在$\triangle ABC$中，求证：$\displaystyle \sin^2A + \sin^2B + \sin^2C \le \frac{4}{9}$。

$176.$ 已知函数$f(x) = x^3 - x + c$定义在区间$[0, 1]$上，$x_1,x_2 \in [0, 1]$且$x_1 \ne x_2$，求证：
（1）$|f(x_2) - f(x_1)| < 2|x_1 - x_2|$；
（2）$|f(x_2) - f(x_1)| < 1$。

$177.$ 已知$a,b,c \in \mathbb{R}$，且$ab + bc + ac = 1$，求证：
（1）$a + b + c \ge \sqrt 3$；
（2）$\displaystyle \sqrt {\frac{a}{bc}} + \sqrt {\frac{b}{ac}} + \sqrt {\frac{c}{ab}} \ge \sqrt 3 (\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)$。

$178.$ 已知$a>b>0$，求证$\displaystyle \frac{(a-b)^2}{8a} < \frac{a+b}{2} - \sqrt {ab} < \frac{(a-b)^2}{8b}$。

$179.$ 在$\triangle ABC$中，若$\angle A: \angle B: \angle C = 4:2:1$，$a,b,c$分别为$\angle A, \angle B, \angle C$的对边，求证：$\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$。

$180.$ 设$a,b,c$均为大于$1$的正数，且$ab = 10$，求证$\log_a c + \log_b c \ge 4 \lg c$。

$181.$ 已知函数$f(x) = - x^3 + ax^2 + b(a, b \in \mathbb{R})$，记在$f(x)$图像上任意一点处的切线斜率为$k$，当$x \in [0, 1]$,有$|k| \le 1$，求$a$的取值范围。

$182.$ 已知$f(x) = \ln (1 + x) - x, g(x) = x \ln x$。设$0 < a < b$，证明：$\displaystyle 0 < g(a) + g(b) - 2g\left( \frac{a+b}{2} \right) < (b - a) \ln 2$。

$183.$ 设$z$为虚数，$\displaystyle w = z + \frac{1}{z}$是实数且$-1 < w < 2$，$\displaystyle u = \frac{1-z}{1+z}$，求$w - u^2$的最小值。

$184.$ 证明：首项系数为$1$的整系数多项式的有理根必是整数。

$185.$ 设在$\triangle ABC$中有$\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C < 1$，证明$\triangle ABC$是锐角三角形。

$186.$ $\displaystyle f(x) = x + \frac{x}{x-1}$，证明：曲线$y=f(x)$上任一点的切线与直线$x=1$和直线$y=x$所围成的三角形的面积为定值。

$187.$ 已知$A,B,C$是直线$l$上的点，向量$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$及函数$f(x)$满足：$\displaystyle \overrightarrow{OA} - \left[ f(x) - f^\prime(\frac{1}{2})\right]\overrightarrow{OB} + x^2 \overrightarrow{OC} = \vec 0$。
（1）求函数$f(x)$的表达式；
（2）设$a>0, g(x) = ax + 5 - 2a$，若对任意$x_0 \in [0,1]$，总存在$x_1 \in [0, 1]$使$f(x_0) = g(x_1)$成立，求实数$a$的取值范围。

$188.$ 已知$f(x) = (x^2 + bx + c)e^x$，其中$b,c \in \mathbb{R}$为常数；
（1）若$b^2 > 4(c-1)$，讨论函数$f(x)$的单调性；
（2）若$b^2 \le 4(c-1)$，且$\displaystyle \lim \limits_{x\to 0} \frac{f(x) - c}{x} = 4$，求$b$的取值范围。

$189.$ 已知$f(x) = \ln x$，当$0 < a < b$时，求证$\displaystyle f(b) - f(a) > \frac{2a (b-a)}{a^2 + b^2}$。

$190.$ 已知$i,m,n$是正整数，且$1 < i \le m \le n$，证明$n^i A_m^i < m^i A_n^i$。

$191.$ 设关于$x$的方程$2x^2 - ax - 2 = 0$的两根为$\alpha, \beta (\alpha < \beta)$，函数$\displaystyle f(x) = \frac{4x - n}{x^2 + 1}$；
（1）证明：$f(x)$是$[\alpha, \beta]$上的增函数；
（2）当$a$为何值时，$f(x)$在区间$[\alpha, \beta]$上的最大值与最小值之差最小？

$192.$ 已知关于$x$的方程$x^2 - (6 + i)x + 9 + ai = 0 (a \in \mathbb{R})$有实根$b$；
（1）求$a,b$的值；
（2）若复数$z$满足$|\bar z - a - bi| - 2|z| = 0$，求$z$为何值时，$|z|$有最小值，并求出$|z|$的值。

$193.$ 对于$\mathbb{R}$上可导的任意函数$f(x)$，若满足$(x-1)f^\prime(x) \ge 0$，则$f(0) + f(2)$与$2f(1)$的大小关系是？

$194.$ 已知椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，$AA^\prime$是椭圆的长轴，$P(x_1,y_1)$是椭圆上异于$A,A^\prime$的任意一点，过点$P$斜率为$\displaystyle - \frac{4x_1}{9y_1}$的直线$l$，若直线$l$上的两点$M,M^\prime$在$x$轴上的射影分别为$A,A^\prime$，证明：
（1）$|AM| \cdot |A^\prime M^\prime|$为定值；
（2）求由$A,A^\prime, M^\prime, M$四点构成的四边形的面积的最小值。

$195.$ 过双曲线$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)$的右焦点$F(c,0)$的直线交双曲线于$M,N$两点，交$y$轴于点$P$，点$M,N$分$\overrightarrow{PF}$所成的比例分别为$\lambda_1, \lambda_2$，求证$\lambda_1 + \lambda_2$为定值。

$196.$ 求证$a^2 + b^2 + 3 \ge ab + \sqrt 3 (a+b)$。

$197.$ 若$\displaystyle |x - a| + \frac{1}{x} \ge \frac{1}{2}$对任意$x>0$恒成立，则$a$的取值范围是？

$198.$ 在$\triangle ABC$中，$AB = 4, AC = 3$，$G$为外心，则$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BC}=$？

$199.$ 已知$\displaystyle (2x + 1)^10 = a_0 + a_1(x+1) + \frac{a_2}{2}(x+1)^2 + \cdots + \frac{a_10}{10}(x+1)^10$，则$a_1 + a_2 + \cdots + a_10=$?

$200.$ 已知$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)[1 + \ln (x+1)]}{x}$，$g(x) = x^2 f^\prime(x) (x > 0)$；
（1）若存在唯一的实数$a \in (m, m+1)$，使得$g(a) = 0$成立，求正整数$m$的值；
（2）若$x > 0$时，$f(x) > n$恒成立，求正整数$n$的最大值。