点列极限四：欧式空间中的点列极限

本篇主要讲多维空间中点列的极限，下面的讨论都会基于$n$维欧式空间，通常用$\mathbb{R^n}$表示；以下内容的前提是已知$n$维Euclid空间以及各种名词的概念，比如向量，范数，内积等等，如有不理解的概念，建议查看高等代数中关于度量空间的内容。

定义1：点列收敛

设$\boldsymbol{x}_i \in \mathbb{R^n}(i=1,2,\cdots)，称\{\boldsymbol{x}_i\}是\mathbb{R^n}$中的一个点列。$\boldsymbol{a} \in \mathbb{R^n}$，如果对任意给定的$\varepsilon>0$，存在$N \in \mathbb{N^+}$，使得当$i > N$时，有

$$\Vert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{a} \Vert < \varepsilon$$

称点$\boldsymbol{a}$是点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$的极限，记作

$$\lim \limits_{i\to\infty} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{a} \quad 或 \quad \boldsymbol{x}_i \to \boldsymbol{a}(i \to \infty)$$

也称点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$收敛于点$\boldsymbol{a}$。

定理1

（1）如果点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$收敛，那么它的极限必是唯一的；
（2）收敛点列必定是有界的。

证明与数列极限的证明几乎一样，从略

定理2

设$\lim \limits_{i \to \infty}\boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{a}，\lim \limits_{i \to \infty}\boldsymbol{y}_i = \boldsymbol{b}$，那么
（1）$\lim \limits_{i \to \infty}(\boldsymbol{x}_i \pm \boldsymbol{y}_i) = \boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}$
（2）对任意$\lambda \in \mathbb{R}$，有

$$\lim \limits_{i \to \infty}(\lambda \boldsymbol{x}_i) = \lambda \boldsymbol{a}$$

证明与数列极限的证明几乎一样，从略

定义2

设$\{\boldsymbol{x}_i\}$是$\mathbb{R^n}$中的一个点列，并设

$$\boldsymbol{x}_i = (x_1^{(i)},x_2^{(i)},\cdots,x_n^{(i)}) \quad (i=1,2,\cdots)$$

如果对$k=1,2,\cdots,n$，有

$$\lim \limits_{i \to \infty} x_k^{(i)} = a_k$$

则称点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$按分量收敛于$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$。

定理3

$\lim \limits_{i \to \infty} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{a}$等价于点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$按分量收敛于$\boldsymbol{a}$。

证：（a）先证$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$的情形，易知不等式

$$|x_k^{(i)}| \le \Vert \boldsymbol{x}_i \Vert \le |x_1^{(i)}| + |x_2^{(i)}| + \cdots + |x_n^{(i)}| \quad (k=1,2,\cdots,n)$$

对所有的$i \in \mathbb{N^+}$都成立；所以当$\lim \limits_{i \to \infty} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{0}$，有$\lim \limits_{i \to \infty} x_k^{(i)}=0 (k=1,2,\cdots,n)$，即$\{\boldsymbol{x}_i\}$按分量收敛于$\boldsymbol{0}$。反之，若$\{\boldsymbol{x}_i\}$按分量收敛于$\boldsymbol{0}$，则有

$$\lim \limits_{i \to \infty} |x_1^{(i)}| + |x_2^{(i)}| + \cdots + |x_n^{(i)}| = 0$$

由此可知$\lim \limits_{i \to \infty} \Vert \boldsymbol{x}_i \Vert = 0$，即$\lim \limits_{i \to \infty} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{0}$。
（b）若$\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$，则考虑点列$\{\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{a}\}$，再由（a）的结论就易证明 $\lim \limits_{i \to \infty} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{a}$等价于点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$按分量收敛于$\boldsymbol{a}$。

Q.E.D.

定义3：基本点列

设$\{\boldsymbol{x}_i\}$是$\mathbb{R^n}$中的一个点列，如果对任意的$\varepsilon>0$，存在$N \in \mathbb{N^+}$，使得当$k,l>N$时，有$\Vert \boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{x}_l \Vert < \varepsilon$，则称$\{\boldsymbol{x}_i\}$是一个基本（点）列。

定理4：基本点列收敛

$\{\boldsymbol{x}_i\}$是收敛点列的充分必要条件是$\{\boldsymbol{x}_i\}$是基本点列。

证：必要性。设$\{\boldsymbol{x}_i\}$收敛于$\boldsymbol{a}$，可知对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$N \in \mathbb{N^+}$，使得当$i > N$时，有$\Vert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{a}\Vert < \frac{\varepsilon}{2}$，因此当$k,l>N$时，有

$$\Vert \boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{a} \Vert < \frac{\varepsilon}{2}, \quad \Vert \boldsymbol{x}_l - \boldsymbol{a} \Vert < \frac{\varepsilon}{2}$$

从而有

$$\Vert \boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{x}_l \Vert \le \Vert \boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{a} \Vert + \Vert \boldsymbol{a} - \boldsymbol{x}_l \Vert < \varepsilon$$

即$\{\boldsymbol{x}_i\}$是基本列；
充分性。设$\{\boldsymbol{x}_i\}$是基本列，由不等式

$$|x_j^{(k)} - x_j^{(l)}| \le \Vert \boldsymbol{x}_k - \boldsymbol{x}_l \Vert \quad (j=1,2,\cdots,n)$$

可知$\{x_j^{(k)}\}(j=1,2,\cdots,n)$是基本列，所以它们是收敛数列，令

$$\lim \limits_{i \to \infty} x_j^{(i)} = a_j \quad (j = 1,2,\cdots,n)$$

从而有点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$按分量收敛于$\boldsymbol{a} = (a_1,a_2,\cdots,a_n)$，也即$\{\boldsymbol{x}_i\}$收敛于$\boldsymbol{a}$。

Q.E.D.

定理5

(Bolzano-Weierstrass) 从任一有界的点列可以选出收敛的子点列。

证：设点列$\{\boldsymbol{x}_i\}$有界，由不等式$|x_k^{(i)}| \le \Vert \boldsymbol{x}_i \Vert$，易知数列$\{x_k^{(i)}\}(k=1,2,\cdots,n)$是有界的，从而根据数列的Bolzano-Weierstrass定理，存在$\{i\}$的子列$\{i^{(1)}\} \subset \{i\}$，使得，

$$\lim \limits_{l \to \infty} x_{1}^{(i^{(1)})} = a_1$$

而$\{x_2^{(i^{(1)})}\}$也是一个有界数列，从而存在$\{i^{(1)}\}$的一个子列$\{i^{(2)}\} \subset \{i^{(1)}\}$，使得

$$\lim \limits_{l \to \infty} x_{k}^{(i^{(2)})} = a_2$$

依此下去，找到一串子列满足$\{i^{(n)}\} \subset \{i^{(n-1)}\} \subset \cdots \subset \{i^{(2)}\} \subset \{i^{(1)}\}$，且有

$$\lim \limits_{l \to \infty} x_{k}^{(i^{(k)})} = a_k \quad (k=1,2,\cdots,n)$$

根据收敛数列的任意子列收敛于同一值，可知

$$\lim \limits_{l \to \infty} x_{k}^{(i^{(n)})} = a_k \quad (k=1,2,\cdots,n)$$

从而找到了$\{i\}$的一个子列$\{i^{(n)}\}$，使得$\{\boldsymbol{x}_{i^{n)}}\}$按分量收敛于$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，即选出了一个收敛子点列。

Q.E.D.