点列极限一：数列极限定义与基本性质

定义1

在$\mathbb{R}$上，设$\{a_n\}$是一个数列，$a \in \mathbb{R}$，若$\forall \varepsilon>0$，$\exists N(\varepsilon)\in \mathbb{N^+}$，使得$\forall n>N(\varepsilon)$，有$|a_n-a|<\varepsilon$，则称$\{a_n\}$当$n$趋于无穷大时以$a$为极限，记为

$$\lim_{n\to \infty} a_n = a$$

或

$$a_n \to a \quad (n \to \infty)$$

也称数列$\{a_n\}$收敛于$a$； 存在极限的数列称为收敛数列，否则称为发散数列。

定理1：数列极限唯一性

如果数列$\{a_n\}$收敛，那么极限只有一个。

证：反证法。假设存在两个不同的极限$a, b$，不妨设 $a < b$，由定义1可知，对$\frac{b-a}{2}>0$，存在$N_1 \in \mathbb{N^+}$，使得当$n>N_1$时，有

$$|a_n-a|<\frac{b-a}{2} \tag 1$$

同理存在$N_2 \in \mathbb{N^+}$，使得当$n>N_2$时，有

$$|a_n-b|<\frac{b-a}{2} \tag 2$$

令$N=\max(N_1,N_2)$，可知当$n>N$时，式(1)(2)同时成立，由式(1)可得$a_n<\frac{a+b}{2}$，由式(2)可得$a_n>\frac{a+b}{2}$，从而矛盾，所以假设不成立，记极限唯一。
Q.E.D.

定义2

设$\{a_n\}$是一个数列，若$\exists A \in \mathbb{R}$，使得 $\forall n \in \mathbb{N^+}$ ，有$a_n \le A$，则称$\{a_n\}$有上界，$A$是此数列的一个上界；若$\exists B \in \mathbb{R}$，使得$\forall n \in \mathbb{N^+}$，有$a_n \ge B$，则称$\{a_n\}$有下界，$B$是此数列的一个下界；若数列既有上界又有下界，则称此数列是一个有界数列。

定理2

收敛数列是有界的。

证：设数列$\{a_n\}$收敛于$a$，由定义1可知，对于$1>0$，存在$N \in \mathbb{N^+}$，使得当$n > N$时，有$|a_n-a| < 1$，从而$|a_n|=|a_n-a+a|<=|a_n-a|+|a|<1+|a|$，令$M=|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_N|+|a|+1$，可知对所有的$n \in \mathbb{N^+}$，有$|a_n|<M$。
Q.E.D.

定义3

设$\{a_n\}$是一个数列，$k_i \in \mathbb{N^+} (i=1,2,3,\cdots)$，且满足$k_1<k_2<k_3<\cdots$，那么数列$\{a_{k_n}\}$称为$\{a_n\}$的一个子列。

定理3

设数列$\{a_n\}$的极限为$a$，那么该数列的任何一个子列都收敛于$a$。

证：任取$\{a_n\}$的一个子列$\{a_{k_n}\}，$由定义1可知，任取$\varepsilon>0$，存在$N\in \mathbb{N^+}$，使得当$n>N$时，有$|a_n-a|<\varepsilon$，而$k_n \ge n$，所以当$k_n \ge n > N$时， 有$|a_{k_n}-a|<\varepsilon$，所以$\{a_{k_n}\}$收敛于$a$。
Q.E.D.

定理4：极限的四则运算

设$\{a_n\}$与$\{b_n\}$都是收敛数列，则$\{a_n+b_n\}$，$\{a_nb_n\}$也是收敛数列，如果$\lim \limits_{n\to\infty}b_n \ne 0$，则$\{\frac{a_n}{b_n}\}$也收敛，并且有：
（1）$\lim \limits_{n\to\infty}(a_n \pm b_n)=\lim \limits_{n\to\infty}a_n \pm \lim \limits_{n\to\infty}b_n$
（2）$\lim \limits_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim \limits_{n\to\infty}a_n \cdot \lim \limits_{n\to\infty}b_n$
（3）$\lim \limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim \limits_{n\to\infty}a_n}{\lim \limits_{n\to\infty}b_n}$

证：设$\lim \limits_{n\to\infty}a_n=a$，$\lim \limits_{n\to\infty}b_n=b$

（1）由定义1可知，任取$\varepsilon>0$，存在$N_1 \in \mathbb{N^+}$，使得当$n>N_1$时，有$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$；存在$N_2 \in \mathbb{N^+}$，使得当$n>N_2$时，有$|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}$；取$N=\max(N_1,N_2)$，可知当$n>N$时，有

$$\begin{aligned} |(a_n \pm b_n) - (a \pm b)| & = |(a_n-a) \pm (b_n-b)| \\ & \le |a_n-a| + |b_n-b| \\ & < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{aligned}$$

（2） 由于$\{a_n\}$收敛，由定理2可知$\{a_n\}$有界，即存在$M \in N^*$，使得$|a_n|<M$对一切$n \in N^*$成立，从而有

$$\begin{aligned} |a_nb_n-ab| & = |a_nb_n-a_nb+a_nb-ab| \\ & \le |a_n||b_n-b| + |b||a_n-a| \\ & \le M|b_n-b| + |b||a_n-a| \end{aligned}$$

类似（1），因为$\{a_n\}$，$\{b_n\}$分别收敛于$a,b$，所以对任意的$\varepsilon>0$，存在$n \in N^*$，使得当$n>N$时，有

$$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}， |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2M}$$

同时成立；从而

$$|a_nb_n-ab| < M \frac{\varepsilon}{2M} + |b|\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)} < \varepsilon$$

（3）先证明，当$b\ne0$时，有

$$\lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}$$

对$\frac{|b|}{2}>0$，存在$N_1 \in N^*$，当$n>N^*$时，有

$$|b_n-b|<\frac{|b|}{2}$$

此时，有$|b_n| \ge |b| - |b_n-b| > \frac{|b|}{2} > 0$，并且有

$$\left|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{b}\right| = \frac{|b_n - b|}{|b_nb|} \le \frac{2}{b^2} |b_n-b|$$

由于$\{b_n\}$收敛于$b$，对任意的$\varepsilon>0$，存在$N_2\in N^*$，使得当$n>N_2$时，有$|b_n-b|<\frac{b^2}{2}\varepsilon$；从而当$n>\max(N_1,N_2)$时，有

$$\left|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{b}\right| < \frac{2}{b^2}\frac{b^2}{2}\varepsilon=\varepsilon$$

所以

$$\lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}$$

再由前面已证的（2），可知

$$\lim \limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim \limits_{n\to\infty}a_n(\frac{1}{b_n})=\frac{b}{a}$$

Q.E.D.

定理5：极限保号性

（1）设$\lim \limits_{n\to\infty}a_n=a$，$\alpha，\beta$满足$\alpha < a < \beta$，那么当$n$充分大时，有$\alpha < a_n < \beta$。
（2）设$\lim \limits_{n\to\infty}a_n=a，\lim \limits_{n\to\infty}b_n=b$，且$a < b$，那么当$n$充分大时，一定有$a_n < b_n$。
（3）设$\lim \limits_{n\to\infty}a_n=a，\lim \limits_{n\to\infty}b_n=b$，并且当$n$充分大时$a_n \le b_n$，那么有$a \le b$。

证：（1）对$\varepsilon = \beta-a>0$，则存在$N_1 \in \mathbb{N^+}$，使得当$n>N_1$时，有

$$|a_n-a|<\beta-a \Rightarrow a_n<\beta$$

同理，对$\varepsilon = a-\alpha>0$，则存在$N_2 \in \mathbb{N^+}$，使得当$n>N_2$时，有

$$|a_n-a|<a-\alpha \Rightarrow a_n>\alpha$$

从而当$n>\max(N_1,N_2)$时，有

$$\alpha < a <\beta$$

（2）取$m=\frac{a+b}{2}$，则有$a<m<b$，此时由（1）可知，当$n$充分大时，有

$$a_n < m < b_n$$

（3）反证法。假设$a>b$，则由（2）可知，当$n$充分大时，有$a_n>b_n$，与条件$a_n \le b_n$矛盾，所以$a \le b$。

Q.E.D.

定理6：夹逼定理

三个实数域上的数列$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$，若满足

$$a_n \le b_n \le c_n \quad (n \in \mathbb{N^+})$$

若$\lim \limits_{n\to\infty}a_n=\lim \limits_{n\to\infty}c_n=a$，那么

$$\lim \limits_{n\to\infty}b_n = a$$

证：由定理5的（3）可知，有

$$a = \lim \limits_{n\to\infty}a_n \le \lim \limits_{n\to\infty}b_n \le \lim \limits_{n\to\infty}c_n = a$$

从而有

$$\lim \limits_{n\to\infty}b_n = a$$

Q.E.D.

定义4

如果数列$\{a_n\}$满足条件，对任何正数$A$，都存在$N\in \mathbb{N^+}$，使得当$n>N$时，有$a_n>A$，则称数列$\{a_n\}$趋向于$+\infty$，记作

$$\lim \limits_{n\to\infty}a_n = +\infty$$

如果对任何正数$A$，都存在$N\in \mathbb{N^+}$，使得当$n>N$时，有$a_n<-A$，则称数列$\{a_n\}$趋向于$-\infty$，记作

$$\lim \limits_{n\to\infty}a_n = -\infty$$

定义5

如果收敛数列$\{a_n\}$的极限为0，则称该数列为无穷小数列，简称无穷小；如果$\lim \limits_{n\to\infty}|a_n|=\infty$，则称该数列趋向于$\infty$，记作$\lim \limits_{n\to\infty}a_n=\infty$，也称该数列为无穷大数列，简称无穷大。

定义6：单调数列

如果数列$\{a_n\}$满足

$$a_n \le a_{n+1} \quad (n=1,2,\cdots)$$

则称此数列为递增数列；如果$\{a_n\}$满足

$$a_n \ge a_{n+1} \quad (n=1,2,\cdots)$$

则称此数列为递减数列；如果上面两个不等式都是严格的，即$a_n < a_{n+1}$（或$a_n > a_{n+1}$）（$n=1,2,\cdots$），则称此数列为严格递增的（或严格递减的）

定理7：单调且有界的数列一定有界。

证：不妨设数列$\{a_n\}$为递增的且有上界，利用实数都可以表示成十进制无尽小数的性质，将该数列的每项表示为无尽小数：

$$\begin{aligned} a_1 & = A_1.b_{11}b_{12}\cdots \\ a_2 & = A_2.b_{21}b_{22}\cdots \\ a_3 & = A_3.b_{31}b_{32}\cdots \\ & \cdots \end{aligned}$$

其中$A_1,A_2,A_3,\cdots$都是整数，而$b_{ij}$是0到9中的数。由于$\{a_n\}$有上界，从而$\{A_n\}$必有上界，记该数为$A$，而$\{a_n\}$又是单调递增的，从而存在$N_0 \in \mathbb{N^+}$，使得当$n \ge N_0$时，有$A_n=A$；此时考虑$\{a_n\}$数列$n \ge N_0$的项，对$b_{N_01},b_{(N_0+1)1},b_{(N_0+2)1},\cdots$类似前面的讨论，可知$\{b_{i1}\}(i \ge N_0)$存在上界，记为$x_1$，同时存在$N_1 \ge N_0$，使得当$n \ge N_1$时，有$b_{n1}=x_1$；对其他列类比讨论，可以得到一列数$x_1,x_2,x_3,\cdots$，以及相应的正整数$N_0 \le N_1 \le N_2 \le \cdots$。令$a=A.x_1x_2x_3\cdots$，下面证明$a$就是数列$\{a_n\}$的极限。任取$\varepsilon>0$，总存在$m \in \mathbb{N^+}$，使得$10^{-m}<\varepsilon$，而当$n>N_m$，有$a_n$的整数部分和小数点后的前$m$位上的数与$a$完全一致，所以

$$|a_n-a| < 10^{-m} < \varepsilon$$

从而证明了

$$\lim \limits_{n\to\infty}a_n = a$$