函数积分二：Riemann积分

定义1：分割

在区间$[a,b]$上，记分割

$$\pi : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$$

把$[a,b]$分成$n$个小区间$[x_{i-1},x_i]$，其长度为$\Delta x_i = x_i - x_{i-1} (i=-1,2,\cdots,n)$。并称$\{x_0, x_1, \cdots,x_n\}$为$\pi$的分点序列。令

$$\Vert \pi \Vert = \max \limits_{1 \le i \le n} \{ \Delta x_i \}$$

称$\Vert \pi \Vert$为分割$\pi$的宽度。

定义2：Riemann积分

设函数$f$在区间$[a,b]$上有定义，如果实数$I$使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，只要$[a,b]$的分割$\pi$满足$\Vert \pi \Vert < \delta$，而不管$\xi_i \in [x_{i-1}, x_i] (1 \le i \le n)$如何选择，都有

$$|I - \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i| < \varepsilon$$

成立，则称$f$在$[a,b]$上Riemann可积，称$I$是$f$在$[a,b]$上的Riemann积分，通常用

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$$

来表示。其中$b$与$a$分别称为积分的上限与下限，$f$称为被积函数。和式

$$\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$$

称为$f$的Riemann和（也称积分和），$\{\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\}$称为此积分和的值点序列。

定理1

如果函数$f,g$在$[a,b]$可积且非负，那么
（1）

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \ge 0$$

（2）如果$f \ge g$在$[a,b]$上成立，则

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \ge \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$$

（3）$f \pm g$在$[a,b]$上也可积，且

$$\int_a^b (f(x) \pm g(x)) \mathrm{d} x = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \pm \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$$

（4）对任意的常数$c$，函数$cf$也在$[a,b]$上可积，且

$$\int_a^b cf(x) \mathrm{d} x = c \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$$

证：由积分的定义容易推出。

Q.E.D.

定理2：Newton-Leibiniz

设函数$f$在$[a,b]$上可积，且在$(a,b)$上有原函数$F$，如果$F$在$[a,b]$上连续，那么必有

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = F(b) - F(a)$$

为了方便，引入记号

$$F(x) \Big|_a^b = F(b) - F(a)$$

从而

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = F(x) \Big|_a^b$$

证：用分点$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$把区间$[a,b]$作$n$等分，即$x_i - x_{i-1} = (b-a) / n (i=1,2,\cdots,n)$，于是

$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n (F(x_i) - F(x_{i-1}))$$

对$F$使用微分中值定理，有

$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n F^\prime(\xi_i) \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \tag{1}$$

这里$\xi_i \in (x_{i-1}, x_i)(i=1,2,\cdots,n)$，由于$f$在$[a,b]$上可积，所以当$n \to \infty$时，式(1)的右边以$\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$为极限，从而在式(1)两边令$n \to \infty$，可得

$$F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$$

Q.E.D.

定理3：分部积分公式

设$u,v$是两个可导的函数，且公式中存在的函数积分在$[a,b]$上都存在，则

$$\int_a^b u(x)v^\prime(x) \mathrm{d} x = u(x)v(x)\Big|_a^b - \int_a^b u^\prime(x)v(x) \mathrm{d} x$$

或写成微分形式

$$\int_a^b u \mathrm{d} v = u v\Big|_a^b - \int_a^b v \mathrm{d} u$$

证：由求导法则可知

$$(uv)^\prime = uv^\prime + vu^\prime$$

对上式两边求不定积分得

$$\int_a^b (uv)^\prime \mathrm{d} x = \int_a^b uv^\prime \mathrm{d}x + \int_a^b vu^\prime \mathrm{d}x$$

从而有Newton-Leibniz公式可得

$$\int_a^b u \mathrm{d} v = u v \Big|_a^b - \int_a^b v \mathrm{d} u$$

Q.E.D.

定理4

设函数$f$在区间$I$上连续，$a,b \in I$，函数$\varphi$在区间$[\alpha, \beta]$上有连续的导函数，$\varphi([\alpha, \beta]) \subset I$，且$\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b$，若公式中存在的函数积分在$[a,b]$上都存在，那么

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_{\alpha}^{\beta} f \circ \varphi(t) \varphi^\prime(t) \mathrm{d} x$$

证：设$F$是$f$在$[a,b]$上的一个原函数，则

$$(F \circ \varphi(t))^\prime = F^\prime \circ \varphi(t) \varphi^\prime(t) = f \circ \varphi(t) \varphi^\prime(t)$$

从而$f \circ \varphi(t) \varphi^\prime(t)$的一个原函数为$F\circ \varphi(t)$，从而由Newton-Leibniz公式可知

$$\int_{\alpha}^{\beta} f \circ \varphi(t) \varphi^\prime(t) \mathrm{d} x = F\circ \varphi(t) \Big|_{\alpha}^{\beta} = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$$

Q.E.D.