函数导数三：极值定义与微分中值定理

定义1：极值

设函数$f: (a,b) \to \mathbb{R}$，如果对点$x_0 \in (a, b)$，存在$\delta > 0$，使得$\Delta = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a,b)$，且当$x \in \Delta$时，有$f(x_0) \ge f(x)$，则称$f(x_0)$是$f$在$(a,b)$上的极大值，$x_0$称为极大值点。类似地，可以定义$f$在$(a,b)$上的极小值和极小值点。极小值和极大值统称为极值，而极小值点和极大值点统称为极值点。

定理1：Fermat

若函数$f$在其极值点$x_0 \in (a,b)$处可导，则必有$f^\prime(x) = 0$。

证：不妨设$f(x_0)$时极大值，由极大值点的定义可知，存在$\delta > 0$，使得当$x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$，有$f(x_0) > f(x)$。从而，当$x \in (x_0 - \delta, x_0)$时，有

$$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0$$

而当$x \in (x_0, x_0+\delta)$，又有

$$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0$$

由于$f^\prime(x)$存在，因此$f_-^{\prime}(x)$和$f_+^{\prime}(x)$都存在，且相等。从而在以上两个不等式中分别令$x \to x_0^-, x \to x_0^+$，得

$$f_-^{\prime}(x_0) \ge 0 \qquad f_+^{\prime}(x) \le 0$$

因此必有$f^\prime(x) = 0$。

Q.E.D.

定义2：驻点

满足$x_0 \in (a,b)$且$f^\prime(x_0) = 0$的点$x_0$称为函数$f$的一个驻点。

定理2：Rolle

设函数$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a) = f(b)$，那么存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f^\prime(\xi) = 0$。

证：闭区间$[a,b]$上的连续函数$f$取到最小值和最大值分别记为$m$ 和 $M$。如果$m = M$，那么$f$时常值函数，这时$f^\prime = 0$，因此$(a,b)$上任意一点都可为所求的点。若$M > m$，由于$f(a) = f(b)$，则$m, M$至少有一个时$f$在内点$\xi \in (a,b)$上所取得的。这时$\xi$为一个极值点，由定理1可知$f^\prime(\xi) = 0$。

Q.E.D.

定理3

设函数$f$与$\lambda$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\lambda(a) = 1,\lambda(b) = 0$，则必存在一点$\xi \in (a,b)$使得

$$f^\prime(\xi) = \lambda^\prime(\xi)(f(a) - f(b))$$

证：构造函数

$$\varphi(x) = f(x) - (\lambda(x)f(a) + (1 - \lambda(x))f(b))$$

可知$\varphi(a) = \varphi(b) = 0$。因此函数$\varphi$满足Rolle定理条件，从而存在一点$\xi \in (a,b)$使得$\varphi^{\prime}(\xi) = 0$，由于

$$\varphi^\prime(x) = f^\prime(x) - \lambda^\prime(x)(f(a) - f(b))$$

将$\xi$代入上式，得

$$f^\prime(\xi) = \lambda^\prime(\xi)(f(a) - f(b))$$

Q.E.D.

定理4：Lagrange

设函数$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则存在$\xi \in (a,b)$使得

$$\frac{f(a) - f(b)}{a - b} = f^\prime(\xi)$$

证：在定理3中取

$$\lambda (x) = \frac{b-x}{b-a} \quad (a \le x \le b)$$

即可得。

Q.E.D.

定理5

设函数$f$与在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则函数$f$在$[a,b]$上为常数的充分必要条件是$f^\prime = 0$。

证：必要性易证。充分性：设$f^\prime = 0$，任取$x_1,x_2 \in [a,b]$，且$x_1 < x_2$，那么存在$\xi \in (x_1,x_2)$，使得

$$f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(\xi) (x_2 - x_1)$$

由于$f^\prime(\xi) = 0$，从而$f(x_2) = f(x_1)$。

Q.E.D.

定理6：Cauchy

设函数$f$和$g$在区间$[a,b]$上连续，在区间$(a,b)$内可导，且当$x \in (a,b)$时，$g^\prime(x) \ne 0$，这时必存在一点$\xi \in (a,b)$，使得

$$\frac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)} = \frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}$$

证：在定理3中取

$$\lambda (x) = \frac{g(b) - g(x)}{g(b) - g(a)} \quad (a \le x \le b)$$

即可得。

Q.E.D.

定理7：Darboux

如果$f$在$[a,b]$上可导，那么：
（1）导函数$f^\prime$可以取到$f^\prime(a)$与$f^\prime(b)$之间的一切值。
（2）$f^\prime$无第一类间断点。

证：（1）先证明：如果$f^\prime(a)f^\prime(b) < 0$，那么必有$\xi \in (a,b)$，使得$f^\prime(\xi) = 0$。不妨设$f^\prime(a) > 0, f^\prime(b) < 0$。由于

$$f^\prime(a) = \lim\limits_{x\to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} > 0$$

所以存在$\delta_1 > 0$，当$x \in (a, a+\delta_1)$时，$\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} > 0$，由于$x > a$，所以$f(x) > f(a)$。同理可知存在$\delta_2 > 0$，当$x \in (b - \delta_2, b)$时，$f(x) > f(b)$，表明$f(a),f(b)$都不是$f$在$[a,b]$上的最大值，从而必存在$\xi \in (a,b)$，使得$f^\prime(\xi) = 0$。

现在设$f^\prime(a) < f^\prime(b)$，任取介于$f^\prime(a)$和$f^\prime(b)$之间的值$\gamma$，即

$$f^\prime(a) < \gamma < f^\prime(b)$$

记$F(x) = f(x) - \gamma x$，那么$F^\prime(x) = f^\prime(x) - \gamma$，可知$F^\prime(a)F^\prime(b) < 0$，从而利用上面所证的结论可知，存在$\xi \in (a,b)$，使得$F^\prime(\xi) = 0$，即

$$f^\prime(\xi) = \gamma$$

（2）用反证法。如果$x_0$是$f^\prime$的一个第一类间断点，那么$f^\prime(x_0+)$和$f^\prime(x_0-)$都存在，于是由定理4可得

$$f^\prime(x_0) = f_+^\prime(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0^+} \frac{f^\prime(\xi_+)(x-x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0^+} f^\prime(\xi_+)$$

其中$\xi_+ \in (x_0, x)$。由于当$x \to x_0^+$，$\xi_+ \to x_0^+$，且已知$f^\prime(x_0+)$存在，所以得

$$f^\prime(x_0) = f^\prime(x_0+)$$

同理可证$f^\prime(x_0) = f^\prime(x_0-)$。由此可知$f^\prime$在$x_0$处连续，这与$x_0$是$f^\prime$的间断点矛盾。

Q.E.D.