微积分在几何上的应用二：曲线的切线与曲面的切平面

定义1

设空间曲线段$\Gamma$有参数方程

$$\left\{ \begin{aligned} & x = x(t), \\ & y = y(t), \\ & z = z(t), \end{aligned} \right. \quad (\alpha \le t \le \beta)$$

或用向量形式表示为

$$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) \quad (\alpha \le t \le \beta)$$

其中$x(t),y(t),z(t)$都在区间$I = [\alpha, \beta]$上连续可导，且满足条件

$$(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2 + (z^\prime(t))^2 \ne 0 \quad (\alpha \le t \le \beta)$$

称满足这些条件的曲线为光滑曲线。

定理1

设光滑曲线$\Gamma$上有一点$P_0(x(t_0), y(t_0), z(t_0))$，则曲线$\Gamma$在$P_0$处的切线方程为

$$\frac{x - x(t_0)}{x^\prime(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y^(t_0)} = \frac{z - z(t_0)}{z^\prime(t_0))}$$

证：切线方向的一个向量为

$$\boldsymbol{r}^\prime(t) = \lim \limits_{t \to 0} \frac{\boldsymbol{r}(t) - \boldsymbol{r}(t_0)}{t - t_0} = (x^\prime(t_0), y^\prime(t_0), z^\prime(t_0))$$

称为曲线$\Gamma$在点$P_0$出的切向量，又由于切线过点$P_0$，所以切线方程为

$$\frac{x - x(t_0)}{x^\prime(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y^\prime(t_0)} = \frac{z - z(t_0)}{z^\prime(t_0))}$$

Q.E.D.

定理2

光滑曲线的弧长$s$也可以作为曲线的参数，即$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)$，且有

$$\Vert \boldsymbol{r}^\prime(s) \Vert = 1$$

证明：由微积分在几何上的应用一的定理2可知，在曲线参数为$t \in [\alpha, \beta]$时，弧长

$$s(\Gamma) = \int_\alpha^\beta \Vert \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \Vert \mathrm{d} t$$

记函数$s(t)$为从曲线起点$\boldsymbol{r}(\alpha)$沿着曲线到曲线上任意一点$\boldsymbol{r}(t)$这一段弧长，则

$$s(t) = \int_\alpha^t \Vert \boldsymbol{r}^\prime(\tau)\Vert \mathrm{d} \tau \quad (\alpha \le t \le \beta)$$

而$s(t)$是一个变上限积分，将其对$t$求导得

$$\frac{\partial s}{\partial t} = \Vert \boldsymbol{r}^\prime(t) \Vert > 0 \tag {1}$$

这表明$s(t)$是关于$t$的严格递增函数，意味着可以将$t$作为$s$得函数反解出来得到$t = t(s)$，且这也是一个严格递增函数，所以$s$也可以作为弧长的参数，映射关系为

$$s \rightarrow t \rightarrow \boldsymbol{r}$$

记以弧长$s$为参数的曲线方程$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)$，由式$(1)$可知

$$1 = \frac{\partial s}{\partial s} = \Vert \boldsymbol{r}^\prime(s) \Vert$$

Q.E.D.

定义2：曲率

设$\Gamma: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)(\alpha \le t \le \beta)$是一段光滑曲线，$\boldsymbol{r}^\prime(t_0)$与$\boldsymbol{r}^\prime(t_0 + \Delta t)$之间的夹角记为$\Delta \theta$，$\boldsymbol{r}(t_0)$与$\boldsymbol{r}(t_0 + \Delta t)$之间的弧长记为$\Delta s$，如果$\lim \limits_{\Delta t \to 0} |\Delta \theta / \Delta s|$存在，就称此极限为$\Gamma$在$\boldsymbol{r}(t_0)$处的曲率，记为

$$k(t_0) = \lim \limits_{\Delta t \to 0} \left|\frac{\Delta \theta}{\Delta s} \right|$$

定理3

设曲线$\Gamma: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)(s$是弧长参数$)$的每一点处有一个单位向量$\boldsymbol{s}$，记$\boldsymbol{a}(s+\Delta s)$和$\boldsymbol{a}(s)$之间的夹角为$\Delta \theta$，如果$\boldsymbol{a}(s)$可导，那么

$$\Vert \boldsymbol{a}^\prime(s) \Vert = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \left| \frac{\Delta \theta}{\Delta s} \right|$$

证明：由于

$$\begin{aligned} \Vert \boldsymbol{a}^\prime(s) \Vert & = \left\Vert \lim \limits_{\Delta s \to 0} \frac{\boldsymbol{a}(s + \Delta s) - \boldsymbol{a}(s)}{\Delta s} \right\Vert \\ & = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \frac{\Vert \boldsymbol{a}(s + \Delta s) - \boldsymbol{a}(s) \Vert}{\Vert \Delta s \Vert} \\ &= \lim \limits_{\Delta s \to 0} \left| \frac{2 \sin (\Delta \theta / 2)}{\Delta s} \right| = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \left| \frac{ \sin (\Delta \theta / 2)}{\Delta \theta / 2} \right| \left| \frac{2 \Delta \theta}{2\Delta s} \right| \\ & = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \left| \frac{\Delta \theta}{\Delta s} \right| \end{aligned}$$

Q.E.D.

定理4

设$\Gamma: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)$是一条以弧长$s$为参数的光滑曲线，且$\boldsymbol{r}^{\prime\prime}(s)$存在，那么它的曲率为

$$k(s) = \Vert \boldsymbol{r}^{\prime\prime}(s) \Vert$$

证明：由定理2可知，曲线在$s$处的切线向量为单位向量，令$\boldsymbol{a}(s) = \boldsymbol{r}^\prime(s)$，此时再由微积分在几何上的应用二定理3可知，

$$k(s) = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \left| \frac{\Delta \theta}{\Delta s} \right| = \Vert \boldsymbol{r}^{\prime\prime}(s) \Vert$$

Q.E.D.