函数导数五：函数性质与导数的关系

定理1

设函数$f$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，那么$f$在$[a,b]$上递增（减）的充分必要条件是$f^\prime \ge 0 (\le 0)$在区间$(a,b)$上成立。

证：必要性。设$f$在$[a,b]$上递增，任取一点$x \in (a,b)$，对能使$x + h \in (a,b)$的一切$h$，都有

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \ge 0$$

令$h \to 0$，得$f^\prime(x) \ge 0 (a < x < b)$。
类似地，当$f$在$[a,b]$上递减时，可以推出$f^\prime(x) \ge 0$对$x \in (a,b)$成立。

充分性。设在$(a,b)$上$f^\prime \ge 0$，对任何$x_1, x_2 \in [a,b]$且$x_1 < x_2$，由Lagrange中值定理可知，

$$f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(\xi) (x_2 - x_1)$$

其中$\xi \in (x_1,x_2) \in (a,b)$，由于$f^\prime(\xi) \ge 0$，从而$f(x_2) \ge f(x_1)$。
类似地，当在$(a,b)$上$f^\prime \le 0$时，对任何$x_1,x_2 \in [a,b]$且$x_1 < x_2$，可以推出$f(x_1) \ge f(x_2)$。

Q.E.D.

定理2

设函数$f$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，如果$f^\prime > 0 (< 0)$在区间$(a,b)$上成立。那么$f$在$[a,b]$上严格递增（严格递减）的。

证：证法与定理1一样。

Q.E.D.

定理3

设函数$f$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，在区间$(a,b)$内，除了有限个点之外，$f^\prime > 0 (< 0)$成立。那么$f$在$[a,b]$上严格递增（严格递减）的。

证。设除了点$x_1,x_2,\cdots,x_n \in (a,b)$外，$f^\prime > 0$，这里$x_1 < x_2 < \cdots < x_n$，$f$在区间$[a,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_n,b]$上都是连续的，且$f^\prime > 0$，因此在$[a,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_n,b]$的每一个区间上都是严格递增的，因此在$[a,b]$上也是严格递增的。
类似地，递减也可证。

Q.E.D.

定理4

设函数$f$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，那么$f$在$[a,b]$上严格递增（严格递减）的充分必要条件是：
（1）当$x \in (a,b)$时，$f^\prime \ge 0 (f^\prime \le 0)$；
（2）在$(a,b)$的任何开子区间上，$f^\prime \ne 0$。

证：必要性。由定理1可知，（1）是必要的，假如（2）不正确，则存在一个被$(a,b)$包含的开区间，在其上$f^\prime = 0$，那么在这个开区间上$f$为常数，因此$f$在$[a,b]$上不是严格单调的，从而（2）必然正确。

充分性。设（1）（2）同时成立，由（1）和定理1可知，$f$是单调的，若有$x_1,x_2 \in [a,b]$，其中$x_1 < x_2$，使得$f(x_1) = f(x_2)$，那么对$x \in [x_1, x_2]$，有$f(x_1) = f(x) = f(x_2)$。从而对$x \in (x_1,x_2)$，有$f^\prime = 0$，这与（2）矛盾，从而$f$在$[a,b]$上严格单调。

Q.E.D.

定理5

设函数$f$在$[a,b]$上连续，$x_0 \in (a,b)$；
（1）如果存在正数$\delta > 0$，使得在$(x_0 - \delta, x_0)$上$f^\prime > 0$，而在$(x_0, x_0 + \delta)$上$f^\prime < 0$，那么$f(x_0)$是$f$的一个严格极大值，所谓严格极大值是指，当$0 < |x - x_0| < \delta$时，$f(x) < f(x_0)$；
（2）如果存在正数$\delta > 0$，使得在$(x_0 - \delta, x_0)$上$f^\prime < 0$，而在$(x_0, x_0 + \delta)$上$f^\prime > 0$，那么$f(x_0)$是$f$的一个严格极小值，所谓严格极小值是指，当$0 < |x - x_0| < \delta$时，$f(x) > f(x_0)$；

证：这里只证（1），（2）是同样的证法。由定理2可知，$f$在$[x_0-\delta, x_0]$上严格递增，所以当$x \in (x_0-\delta, x_0)$时，$f(x) < f(x_0)$，而$f$在$[x_0, x_0+\delta]$上严格递减，所以当$x \in (x_0, x_0 + \delta)$时，$f(x) < f(x_0)$，即$f(x_0)$是一个严格极大值。

Q.E.D.

定理6

设$f$在$[a,b]$上连续，$x_0 \in (a,b)$是$f$的一个驻点，进一步假设$f^{\prime\prime}(x_0)$存在，那么
（1）当$f^{\prime\prime} < 0$时，$f(x_0)$是$f$的一个严格极大值；
（2）当$f^{\prime\prime} > 0$时，$f(x_0)$是$f$的一个严格极小值。

证：这里只证（1），（2）是同样的证法。因为

$$f^{\prime\prime}(x_0) = \lim \limits_{x \to x_0} \frac{f^\prime(x) - f^\prime(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f^\prime(x)}{x-x_0} < 0$$

从而存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，有

$$\frac{f^\prime(x)}{x - x_0} < 0$$

所以，当$x \in (x_0, x_0 + \delta)$时，$f^\prime(x) < 0$；而当$x \in (x_0 - \delta, x_0)$时，$f^\prime(x) > 0$，即$f(x_0)$是$f$的一个严格极大值。

Q.E.D.

定义1：凸函数

设函数$f$在区间$I$上有定义，如果对任何$x_1,x_2 \in I$，$x_1\ne x_2$，以及任意的$\lambda_1,\lambda_2 > 0$，且$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$，都有

$$f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \le \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)$$

则称$f$为$I$上的凸函数，如果上述不等式的不等号总成立，则称$f$为$I$上的严格凸函数。

定理7

设$f$在区间$I$上是凸函数，则对任何的$x_1,x_2,\cdots,x_n \in I$，以及$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n > 0$，且$\lambda _1+\lambda _2+\cdots+\lambda_n = 1$，都有

$$f(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$$

如果$f$是$I$上的严格凸函数，则当$x_1,x_2,\cdots,x_n$不全相等时，有

$$f(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i) < \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$$

证：使用数学归纳法。当$n=2$时，由凸函数定义知显然成立；设$n = k$时命题成立，现在证$n = k+1$时命题也成立。设$x_1,x_2,\cdots,x_{k+1} \in I$，$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{k+1} > 0$，并且$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_{k+1} = 1$，知

$$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_k = 1 - \lambda_{k+1} \Rightarrow \frac{\lambda_1}{1-\lambda_{k+1}} + \frac{\lambda_2}{1-\lambda_{k+1}} + \cdots + \frac{\lambda_k}{1-\lambda_{k+1}} = 1$$

令$u_i = \frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}} (i=1,2\cdots,k)$，从而有

$$\begin{aligned} f(\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i x_i) & = f\left((1-\lambda_{k+1})\sum_{i=1}^k u_i x_i + \lambda_{k+1}x_{k+1}\right) \\ & \le (1-\lambda_{k+1}) f(\sum_{i=1}^k u_ix_i) + \lambda_{k+1} f(x_{k+1}) \\ & \le (1-\lambda_{k+1}) \sum_{i=1}^k u_i f(x_i) + \lambda_{k+1} f(x_{k+1}) \\ & = \sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i f(x_i) \end{aligned}$$

从而当$f$为$I$上的凸函数时，对任何$n \in \mathbb{N^{*}}$，不等式都成立。
再设$f$是$I$上的严格凸函数，同样当$n=2$时，自然严格不等号成立。假设当$n=k$时，严格不等号成立。现设$x_1,x_2,\cdots,x_{k+1}$不全相等，有两种情况：
（1）$x_1,x_2,\cdots,x_k$不全相等，则此时上述归纳法的最后一个不等号是严格的，
（2）$x_1=x_2=\cdots=x_k \ne x_{k+1}$，则

$$\sum_{i=1}^k u_ix_i = x_1 \ne x_{k+1}$$

此时上述归纳法的第一个不等号是严格的。从而对任何$n \in \mathbb{N^+}$，最终不等式都是严格的。

Q.E.D.

定理8：Jensen不等式

设$f$在区间$I$上是凸函数，则对任何$x_1,x_2,\cdots,x_n \in I$，以及对任何的正数$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$，有不等式

$$f(\sum_{i=1}^n \beta_i x_i / \sum_{i=1}^n \beta_n) \le \frac{\sum\limits_{i=1}^n \beta_i f(x_i)}{\sum\limits_{i=1}^n \beta_i}$$

证：令

$$\lambda_i = \frac{\beta_i}{\sum\limits_{i=1}^n \beta_i} \quad (i=1,2,\cdots,n)$$

再由定理7可证。

Q.E.D.

定理9

函数$f$在区间$I$是凸函数，当且仅当对任何$(x_1,x_2) \in I$及任何$x \in (x_1,x_2)$，有

$$\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}$$

若$f$是严格凸函数，当且仅当上述不等式是严格的。

证：必要性。记

$$\lambda_1 = \frac{x_2 - x}{x_2 - x_1} \qquad \lambda_2 = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

则有$\lambda_1 > 0, \lambda_2 > 0, \lambda_1 + \lambda_2 = 1$，且$x = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2$，
由凸函数的定义可知

$$\lambda_1 f(x) + \lambda_2 f(x) = f(x) = f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \le \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)$$

可得

$$\lambda_1 (f(x) - f(x_1)) \le \lambda_2 (f(x_2) - f(x)) \Rightarrow \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}$$

又易证得：若$b>0,d>0,a/b \le c/d$，则有

$$\frac{a}{b} \le \frac{a+c}{b+d} \le \frac{c}{d}$$

由以上性质，易得要证不等式成立，若$f$是严格凸函数，那么上述证明中得不等号都是严格的。

充分性。必要性的证明倒推回去即可证。

Q.E.D.

定理10

设$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，则$f$在$[a,b]$上为凸函数（严格凸函数）的充分必要条件是，$f^\prime$在$(a,b)$上递增（严格递增）。

证：必要性。设$(x_1,x_2) \subset (a,b)$，由定理9可知，当$x \in (x_1,x_2)$，有

$$\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}$$

左边不等式令$x \to x_1^+$，得

$$f^\prime(x_1) \le \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \tag 1$$

右边不等式令$x \to x_2^-$，得

$$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le f^\prime(x_2) \tag 2$$

从而有

$$f^\prime(x_1) \le f^\prime(x_2)$$

所以$f^\prime$是递增的。
当$f$是严格凸函数时，我们取$x_1 < x^* < x_2$，由于$x_1 < x^*$，从而由式(1)可知

$$f^\prime(x_1) \le \frac{f(x^*) - f(x_1)}{x^* - x_1}$$

又由于$x^* < x_2$，从而有式(2)可知

$$\frac{f(x_2) - f(x^*)}{x_2 - x^*} \le f^\prime(x_2)$$

而再由定理9中严格凸函数的结论有

$$\frac{f(x^*) - f(x_1)}{x^* - x_1} < \frac{f(x_2) - f(x^*)}{x_2 - x^*}$$

从而得$f^\prime(x_1) < f^\prime(x_2)$，即$f^\prime$是严格递增的。

充分性。设$f^\prime$在$(a,b)$上递增，对任何$x \in (x_1,x_2)$，有

$$\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} = f^\prime(\xi_1) \qquad \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} = f^\prime(\xi_2)$$

其中$\xi_1 \in (x_1, x), \xi_2 \in (x, x_2)$，可知$\xi_1 < x < \xi_2$，从而$f^\prime(\xi_1) \le f^\prime(\xi_2)$，即

$$\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}$$

当$f^\prime$严格递增时，上述不等式都是严格的，即得证。

Q.E.D.

定理11

设$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上有二阶导数，则$f$在$[a,b]$上为凸函数的充分必要条件是，$f^{\prime\prime} \ge 0$在$(a,b)$上成立；而$f$在$[a,b]$上为严格凸函数的充分必要条件是，$f^{\prime\prime} \ge 0$在$(a,b)$上成立，且在$(a,b)$的任何开区间的子区间内$f^{\prime\prime}$不恒等于$0$。

证：结合定理1和定理10易证得前半部分，结合定理4和定理10易证得后半部分。

Q.E.D.