函数导数七：Taylor定理

定义1

设函数$f$在$x_0$处有直到$n$阶的导数，这里$n$是任意给定的正整数，令

$$T_n(f,x_0;x) = f(x_0) + \frac{1}{1!}f^\prime(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n$$

称它为$f$在$x_0$处的$n$次Taylor多项式。

定理1：带Peano余项的Taylor定理

设函数$f$在$x_0$处有直到$n$阶的导数，则有

$$f(x) = T_n(f,x_0;x) + o((x-x_0)^n) \quad (x \to x_0)$$

证：用数学归纳法。当$n=1$时，由微分性质可知成立。现设$n=k$时，上式成立。由于

$$T_{k+1}^{\prime}(f,x_0;x) = T_k(f^\prime, x_0; x)$$

由L'Hospital法则可知

$$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - T_{k+1}(f,x_0;x)}{(x-x_0)^{k+1}} = \frac{1}{k+1}\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f^\prime(x) - T_k(f^\prime, x_0;x)}{(x-x_0)^k}$$

而$f^\prime$在$n = k$时定理成立，从而

$$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f^\prime(x) - T_k(f^\prime, x_0;x)}{(x-x_0)^k} = 0$$

所以

$$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - T_{k+1}(f,x_0,x)}{(x-x_0)^{k+1}} = 0$$

令

$$R_n(x) = f(x) - T_n(f,x_0;x) \quad (n=1,2,\cdots)$$

称它为余项，满足

$$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0$$

这种余项称为Peano余项，该定理也称为带有Peano余项的Tyalor定理，也叫做函数$f$的Taylor展开式。

Q.E.D.

定理2：带Peano余项的Maclaurin定理

设函数$f$在$x=0$处有直到$n$阶的导数，则多项式

$$T_n(f,0;x) = f(0) + \frac{f^\prime(0)}{1!} x + \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

为$f$的$n$次Maclaurin多项式，相应地，

$$f(x) = T_n(f,0,x) + o(x^n) \quad (x \to x_0)$$

称为带Peano余项的Maclaurin定理，也叫做函数$f$的Maclaurin展开式。

定理3

设函数$f$在$x_0$处有直到$k$阶的导数，并且

$$f^\prime(x_0) = f^{\prime\prime}(x_0) = \cdots = f^{(k-1)} (x_0) = 0, f^{(k)}(x_0) \ne 0$$

那么：
（1）当$k$为奇数时，$x_0$不是$f$的极值点。
（2）当$k$为偶数时，若$f^{(k)}(x_0)>0$，则$x_0$是$f$的严格极小值；若$f^{(k)}(x_0)<0$，则$x_0$是$f$的严格极大值。

证：由Peano余项的Taylor定理可知：

$$f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^k) \quad (x \to x_0)$$

即

$$\frac{f(x) - f(x_0)}{(x-x_0)^k} = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} + o(1)$$

（1）当$k$为奇数时。若$f^{(k)}(x_0) > 0$，则当$x>x_0$时，$f(x)>f(x_0)$，$x<x_0$时，$f(x)<f(x_0)$，表明$x_0$不是极值点；对于$f^{(k)}(x_0) < 0$时，讨论是一样的；
（2）当$k$为偶数时，由于$(x - x_0)^k$在$x\ne x_0$处总是正值，所以当$f^{(k)}(x_0)>0$时，总有$f(x)>f(x_0)$，可知此时$x_0$是极小值；同理当$f^{(k)}(x_0)<0$时，总有$f(x)<f(x_0)$，此时$x_0$是极大值点。

Q.E.D.

定理4：带Lagrange余项和Cauchy余项的Taylor定理

设$f$在开区间$(a,b)$上有$n+1$阶导数，$x_0,x$是$(a,b)$中任意两点，那么

$$f(x) = T_n(f,x_0;x) + R_n(x)$$

其中

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{(n+1)}$$

称为Lagrange余项；
或者

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x - \xi)^n(x - x_0)$$

称为Cauchy余项。

证：记

$$F(t) = T_n(f,t;x) = f(t) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k$$

有

$$\begin{aligned} F^\prime(t) & = f^\prime(t) + \sum_{k=1}^n \left(\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k - \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{(k-1)} \right) \\ & = f^\prime(t) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{(k-1)} \\ & = f^\prime(t) + \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{(n)} - f^\prime(t) = \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{(n)} \end{aligned}$$

对函数$g(t)=F(t),\lambda(t) = \left( \dfrac{x-t}{x-x_0}\right)^{n+1}$，在区间$[x_0,x]$（先设$x_0<x$）上使用函数导数三的定理3可知，必存在$\xi \in (x_0, x)$，使得

$$F^\prime(\xi) = \lambda^\prime(\xi)(F(x_0) - F(x))$$

而

$$\lambda^\prime(t) = -(n+1)\frac{(x-t)^n}{(x-x_0)^{n+1}}$$

从而

$$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} = -(n+1)\frac{(x-\xi)^n}{(x-x_0)^{n+1}}(T_n(f,x_0;x)-f(x))$$

即

$$f(x) = T_n(f,x_0;x) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

这就是带Lagrange余项的Taylor定理；若令$\lambda(t) = \dfrac{x-t}{x- x_0}$，则同上可得

$$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} = -\frac{1}{x-x_0}(T_n(f,x_0;x)-f(x))$$

即

$$f(x) = T_n(f,x_0;x) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-x_0)$$

这就是带Cauchy余项的Taylor定理。

如果$x < x_0$，分别取

$$\lambda(t) = 1 - \left( \frac{x - t}{x-x_0} \right)^{(n+1)}, \quad \lambda(t) = 1 - \frac{x-t}{x-x_0}$$

即可证。

Q.E.D.