函数积分五：可积函数的性质

定理1：积分的可加性

设$c \in (a,b)$，函数$f$在$[a,c],[c,b]$上可积，那么$f$在$[a,b]$上也可积，且

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_a^c f(x) \mathrm{d} x + \int_c^b f(x) \mathrm{d} x$$

证：由Lebesgue定理易知$f$在$[a,b]$上可积，取分割

$$\begin{aligned} & \pi_1: a < a + \frac{1}{n}(c-a) < a+\frac{2}{n}(c-a) < \cdots < c \\ & \pi_2: c < c + \frac{1}{n}(b-c) < a+\frac{2}{n}(b-c) < \cdots < b \end{aligned}$$

而

$$\begin{aligned} \int_a^c f(x) \mathrm{d} x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(a + \frac{i}{n}(c-a)) \frac{1}{n} \\ \int_c^b f(x) \mathrm{d} x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(c + \frac{i}{n}(b-c)) \frac{1}{n} \end{aligned}$$

取分割$\pi = \pi_1 + \pi_2$，即

$$\pi: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n < x_{n+1} < \cdots < x_{2n} = b$$

其中

$$x_i = \left\{ \begin{aligned} &a+\frac{i}{n}(c - a) &(i=1, 2, \cdots, n) \\ &c+\frac{i-n}{n}(b - c) &(i=n+1, \cdots, 2n) \end{aligned} \right.$$

此时有

$$\int_a^c f(x) \mathrm{d} x + \int_c^b f(x) \mathrm{d} x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{2n} f(x_i) \frac{1}{n}$$

有因为$f$在$[a,b]$上可积，所以

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{2n} f(x_i) \frac{1}{n} = \int_a^c f(x) \mathrm{d} x + \int_c^b f(x) \mathrm{d} x$$

Q.E.D.

定义1

为了后续积分的扩展，这里定义两个等式。设函数$f$在$[a,b]$上可积，则定义
（1）$\displaystyle \int_a^a f(x) \mathrm{d} x = 0$
（2）$\displaystyle \int_b^a f(x) \mathrm{d} x = - \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$

定理2

如果$f$在$[a,b]$上连续且非负，但$f$不恒等于$0$，那么

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x > 0$$

证：设有一点$x_0 \in [a,b]$，使得$f(x_0) > 0$，则由连续函数的性质可知，存在一个子区间$[\alpha, \beta]$，满足$x_0 \in [\alpha, \beta] \subset [a,b]$，使得对一切$x \in [\alpha, \beta]$有

$$f(x) \ge \frac{f(x_0)}{2}$$

从而

$$\begin{aligned} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x &= \int_a^\alpha f(x) \mathrm{d} x + \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x + \int_{\beta}^b f(x) \mathrm{d}x \\ &\ge \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x \ge \int_{\alpha}^{\beta} \frac{f(x_0)}{2} \mathrm{d} x = \frac{f(x_0)}{2} (\beta - \alpha) > 0 \end{aligned}$$

Q.E.D.

定理3

设$f$在$[a,b]$上可积，那么$|f|$也在$[a,b]$上可积，且

$$\left| \int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right| \le \int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x$$

证：由于$D(|f|) \subset D(f)$，所以$|f|$在$[a,b]$上可积，而

$$- |f(x)| \le f(x) \le |f(x)|$$

所以

$$- \int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x \le \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \le \int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x$$

Q.E.D.

定理4：积分平均值定理

设函数$f$与$g$在$[a,b]$上连续，$g$在$[a,b]$上不改变符号，则存在$\xi \in (a,b)$，使得

$$\int_a^b f(x)g(x) \mathrm{d} x = f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$$

证：不妨设当$x \in [a,b]$时，$g(x) \le 0$但不恒等于0，从而$\displaystyle \int_a^b g(x) \mathrm{d} x > 0$。设$m,M$分别是$f$在$[a,b]$上的最小值和最大值，则

$$m \le f(x) \le M \quad (a \le x \le b)$$

从而

$$mg(x) \le f(x)g(x) \le M g(x)$$

求积分可得

$$m\int_a^b g(x) \mathrm{d} x \le \int_a^b f(x)g(x) \mathrm{d} x \le M\int_a^b g(x) \mathrm{d}x$$

所以

$$m \le \int_a^b f(x)g(x) \mathrm{d} x (\int_a^b g(x) \mathrm{d} x)^{-1} \le M$$

由连续函数的介值定理可知，存在一点$\xi \in (a,b)$，使得

$$f(\xi) = \int_a^b f(x)g(x) \mathrm{d} x (\int_a^b g(x) \mathrm{d} x)^{-1}$$

Q.E.D.

定理5

设函数$f$在区间$[a,b]$上连续，则存在一点$\xi \in [a,b]$，使得

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = f(\xi)(b - a)$$

证：令定理4中的$g = 1$，即可得。

Q.E.D.