数学试题一：初中篇

几何题

$1.$ 在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$D$在线段$BC$上，且$\angle BAD = 20^\circ$，点$E$在线段$AC$上，且$AE = AD$，求$\angle CDE$。

$2.$ 在$\triangle ABC$中，点$D,E$分别是$AC,BC$的中点，点$F$在线段$AB$上，且$BF=\frac{1}{3}AB$，$BD$与$CF$相交于点$G$，连接$EG$；
（1）证：$EG \parallel AC$。
（2）求$\displaystyle \frac{S_{\triangle BFG}}{S_{\triangle BEG}}$。

$3.$ 在$\triangle ABC$中，$\angle BAC$的角平分线$AD$交$BC$于点$D$，点$E$是$BC$的中点，过点$E$作$EG \parallel AD$交$AB$于点$F$，交$CA$的延长线于点$G$。证：$BF = CG$。

$4.$ 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，点$D$在$AB$上，且$CD \perp AB$，$AE$平分$\angle BAC$交$CD$于点$K$，交$BC$于点$E$，$F$是$BE$上的点，且$BF=CE$，证：$FK \parallel AB$。

$5.$ $EFGH$是正方形$ABCD$的内接四边形，其中点$E,F,G,H$分别在线段$AB,BC,CD,DA$中，$\angle BEG,\angle CFH$都是锐角，已知$EG=3,FH=4$，四边形$EFGH$的面积为$5$，求正方形$ABCD$的面积。

$6.$ 平行四边形$ABCD$中，$BC=2AB$，$M$是$AD$的中点，点$E$在$AB$上，且$CE \perp AB$，求$\angle DME : \angle AEM$。

$7.$ 矩形$ABCD$中，$AB=a,BC=b$，点$E,F$分别在$AB,BC$上，定义$S_1=S_{\triangle DAE},S_2=S_{\triangle CDF},S_3=S_{\triangle BEF},S_4=S_{\triangle DEF}$，如果$\displaystyle S_1=S_2=\frac{1}{2} (S_3 + S_4)$，求$S_4$（用$a,b$表示）。

$8.$ 平行四边形$ABCD$中，$M$是$BC$的中点，且$AM=9,BD=12,AD=10$，求平行四边形$ABCD$的面积。

$9.$ 平行四边形$ABCD$中，$AB=5,AD=8$，$\angle BAD,\angle ADC$的角平分线分别交$BC$于点$E,F$，求$EF$。

$10.$ $\triangle ABC$是$\bigodot O$的内接三角形，且$AC=BC$，点$D$在$\bigodot O$上，延长$DA$至点$E$，使$CE=CD$；
（1）证：$AE=BD$。
（2）若$AC \perp BC$，证：$AD+BD = \sqrt 2 CD$。

$11.$ 在三角形$ABC$中，点$O$是$AC$上的一个动点，过点$O$作直线$MN \parallel BC$，设$MN$交$\triangle BCA$的角平分线于点$E$，交$\triangle BCA$的外角平行线于点$F$；
（1）证：$OE=OF$。
（2）点$O$在何处时，四边形$AECF$是矩形？
（3）若$AC$上存在点$O$使四边形$AECF$是正方形，且$\displaystyle \frac{AE}{BC} = \frac{\sqrt 6}{2}$，求$\angle B$的大小。

$12.$ 三角形$ABC$中，$AB=5,AC=3$，$D$为$BC$的中点，$AD=2$，求$BC$的长。

$13.$ $Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，点$M$是$BC$的中点，点$D$在$AB$上，$MD \perp AB$，证：$AC^2 + BD^2 = AD^2$。

$14.$ 在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$P$是$BC$上一点，证：$PA^2 + PB\cdot PC = AB^2$。

$15.$ 点$P$是$\triangle ABC$内一点，$PD \perp AB$于点$D$，$PE \perp BC$于点$E$，$PF \perp AC$于点$F$，证：$AD^2 + BE^2 + CF^2 = AF^2 + BD^2 + CE^2$。

$16.$ 在$\triangle ABC$中，$BD \perp AC$于点$D$，$CE \perp AB$于点$E$，点$F$在$BD$上，且$BF=AC$，点$G$在$CE$的延长线上，且$CG = AB$，证：$AG \perp AF$。

$17.$ 在等腰$Rt \triangle ABC$中，$\angle A = 90^\circ$，$\angle ABC$的角平分线$BD$交$AC$于点$D$，点$E$在$BC$上，且$\angle CDE = 45^\circ$，连接$AE$，证：$AE \perp BD$。

$18.$ 点$E$为平行四边形$ABCD$的边$BC$上一动点，$DE$交直线$AB$于点$F$，连接$AE,CF$；
（1）$\triangle ABE$与$\triangle CEF$的面积有何关系？
（2）若$E$在$CB$的延长线上，（1）的结论依然成立吗？

$19.$ $\triangle ABC$中，$AB=5,AC=11$，$\triangle BAC$的角平分线$AD$交$BC$于点$D$，点$E$为$BC$的中点，过点$E$作$EF \parallel AD$交$AC$于点$F$，求$CF$的长。

$20.$ 在$\triangle ABC$中，点$E$在$AB$上，$AE:EB=1:3$，点$D$在$BC$上，$BD:DC=2:1$，$AD$与$CE$相交于点$F$，则$\displaystyle \frac{EF}{FC} + \frac{AF}{FD}$的值为？

$21.$ 在$\triangle ABC$中，$AB > AC$，$AD$平分$\angle BAC$且交$BC$于点$D$，$EF \perp AD$交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，交$AD$于点$G$，交$BC$的延长线于点$M$，证：$\displaystyle \angle M = \frac{1}{2} (\angle ACB - \angle B)$。

$22.$ 在$\triangle ABC$中，$AD$是$\angle BAC$的角平分线且交$BC$于点$D$，若$AB + BD = 25, AC - CD = 4$，则$AD$为多少？

$23.$ 如图，在$\triangle ABC$中，$DE \parallel FG \parallel BC$，$GI \parallel EF \parallel AB$，若$S_{\triangle ADE} = 20, S_{\triangle EFG} = 45, S_{\triangle GIC} = 80$，则$S_{\triangle ABC}$是多少？

$24.$ 在梯形$ABCD$中，$AD \parallel BC$，$AC \perp BD$，已知$AD:BC=3:4$，则$BD:AC$的值为？

$25.$ 如图，六边形$ABCDEF$由$6$个全等的正方形组成，正方形边长为$1$，过点$A$的一条直线分别与$ED,CD$交于$M,N$，若这个六边形在$MN$两侧的部分面积相等，则$EM$的长度是？

$26.$ 正方形$ABCD$的边$AB=12$，点$E$在$CD$上，且$DE=5$，点$M$在$AE$上，且$EM=5$，过点$M$的线段$PQ \perp AE$分别交$AD,BC$于点$P,Q$，则$PM:MQ$为？

$27.$ $\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的中线，点$F$在$AD$上，且$AF:FD=1:5$，连接$CF$并延交$AB$于点$E$，则$AE:EB$为？

$28.$ 在梯形$ABCD$中，$AD \parallel BC$，$EH \parallel BC$分别交$AB,BD,AC,CD$于点$E,F,G,H$，且$BC=a,AD=b (a > b)$，$AE:EB=3:2$，则$FG$为？

$29.$ 设$P,M,N$分别是$\triangle ABC$的边$BC,CA,AB$上的点，且$AP,BM,CN$三线共点，证$\displaystyle \frac{AN}{NB} \cdot \frac{BP}{CP} = \frac{AM}{MC}$。

$30.$ 已知$M,N$为$\triangle ABC$的边$BC$上的两点，且满足$BM=MN=NC$，一条平行于$AC$的直线分别交$AB,AM$和$AN$的延长线于点$D,E,F$，证$EF=3DE$。

$31.$ 已知$\triangle ABC$和$\triangle A_1B_1C_1$均为正三角形，$BC$和$B_1C_1$的中点均为$D$，证$AA_1 \perp CC_1$。

$32.$ 如图，在$\triangle ABC$内部选取一点$P$，过点$P$作三条分别与$\triangle ABC$的三边平行的直线，这样所得的三角形$t_1,t_2,t_3$的面积分别为$4, 9, 49$，求$S_{\triangle ABC}$。

$33.$ 点$E$是四边形$ABCD$的对角线$BD$上一点，且$\angle BAC=\angle BDC=\angle DAE$，
（1）证：$BE \cdot AD = CD \cdot AE$；
（2）猜想$\displaystyle \frac{BC}{DE}$可能等于哪两条线段之比？注：只需写出一组比？并证明你的猜想。

$34.$ 在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 120^\circ$，$AD \perp BC$并交$BC$于点$D$，且$AB+BD=DC$，则$\angle C=$？

$35.$ $BM$和$CM$分别是$\triangle ABC$的内角$ABC$和外角$ACD$的角平分线，$ME \parallel BC$交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，证$EF = BE - CF$。

$36.$ 在等腰$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$D,E$在线段$BC$上，且$BD=DE=EC$，证$\angle BAD < \angle DAE$。

$37.$ 如图，已知$BE$是$\angle ABD$的角平分线，$CF$是$\angle ACD$的角平分线，$BE$与$CF$交于点$G$，若$\angle BDC=140^\circ,\angle BGC=110^\circ$，则$\angle A=$？

$38.$ 已知$\angle xOy = 90^\circ$，点$A,B$分别在射线$Ox,Oy$上移动，$BE$是$\angle ABy$的角平分线，$BE$的反向延长线与$\angle OAB$的角平分线交于点$C$。试问$\angle ACB$的大小是否变化，如果保持不变，请证明；如果变化，请求出变化范围。

$39.$ 点$D,F$分别是$\triangle ABC$的边$AB,AC$上的点，且$AD:DB=CF:FA=2:3$，$DF$延长线交$BC$的延长线于点$E$，则$EF:FD=$？

$40.$ 已知矩形$ABCD$的边长$AB=2,BC=3$，点$P$是$AD$边上的一动点，$Q$是$BC$边上的任意一点，连接$AQ,DQ$，过点$P$作$PE \parallel DQ$交$AQ$于点$E$，作$PF \parallel AQ$交$DQ$于点$F$，
（1）设$AP$的长为$x$，试求$S_{\triangle PEF}$关于$x$的函数式，并求当$P$在何处时，$S_{\triangle PEF}$取最大值，最大值是多少？
（2）当$Q$在何处时，$\triangle ADQ$的周长最小？

$41.$ 在矩形$ABCD$中，点$E$为$AD$的中点，点$F$在$AB$上且$EF \perp EC$，连接$FC$，$(AB > AE)$，
（1）$\triangle AEF \sim \triangle ECF$成立吗？若成立，请证明；否则，请说明理由。
（2）设$\displaystyle \frac{AB}{BC}=k$，是否存在这样的$k$使得$\triangle AEF \sim \triangle BCF$？若存在，证明之并求出$k$；否则，请说明理由。

$42.$ 点$M$为$\triangle ABC$的边$BC$的中点，截线$PQ$分别交$AB,AM,AC$于点$P,N,Q$，求证$\displaystyle \frac{AB}{AP} + \frac{AC}{AQ} = 2\frac{AM}{AN}$。

$43.$ 点$M$为正方形$ABCD$的边$AB$上一点，$BP \perp CM$于点$P$，$N$为$BC$上一点，且$BM=BN$，求证$PD \perp PN$。

$44.$ 四边形$ABCD$中，$AC,BD$相交于点$O$，过点$O$作$AB$的平行线分别交$AD,BC$以及$DC$的延长线于点$E,F,G$，求证$GO^2 = GE\cdot GF$。

$45.$ 在平行四边形$ABCD$中，$O_1,O_2,O_3$为$BD$上三点，且$BO_1=O_1O_2=O_2O_3=O_3D$，连接$AO_1$并延长交$BC$于点$E$，连接$EO_3$并延长交$AD$于点$F$，则$AD:FD=?$

$46.$ 在等腰直角三角形$BAC$中，$\angle A = 90^\circ$, $AB=1$，$E$为$AC$的中点，点$F$在$BC$上，且$EF \perp BE$，求$\triangle CEF$的面积。

$47.$ 在梯形$ABCD$中，$AD \parallel BC$，$AB=DC=3$，点$P$是$BC$上一点，$PE \parallel AB$ 交$AC$与点$E$，$PF \parallel CD$交$BD$于点$F$，令$m=PE,n=PF,x=m+n$，那么当$P$在$BC$上移动时，$x$的值是否变化，如果变化，求出$x$的取值范围，否则，求出$x$的值，并说明理由。

$48.$ 设点$P$是等边三角形$ABC$的边$BC$上任一点，连接$AP$并作$AP$的中垂线交$AB$与$AC$分别于点$M,N$，求证$BP\cdot PC=BM\cdot CN$。

$49.$ 正方形$GEFD$内接于$\triangle ABC$，若$\angle C=90^\circ$，$AC=b,AB=c,BC=a$，则$AD:DE:EB=?$

$50.$ $\triangle ABC$中，$E,D$是边$BC$上两点，若$AD=AE$，$\angle BAD = \angle C$，$AC=6$，$CE=4$，则$BE=?$

$51.$ $\triangle ABC$中，$F$是$AC$的中点，$DE$是$BC$的三等分点，$BF$分别交$AD,AE$于点$G,H$，则$BG:GH:HF=?$

$52.$ $\triangle ABC$中，点$D,E,F$分别在边$AB,BC,CA$上，已知$S_{\triangle ABC} = 18, AD=4, BD=5, S_{\triangle ABE}=S_{DBEF}$，则$S_{\triangle ABE}=?$

$53.$ 在四边形$ABCD$中，$AB=CD$，但不平行，点$M,N$分别是$AD,BC$的中点，$NM$的延长线与$BA,CD$的延长线分别交于点$P,Q$，求证$\angle APM = \angle DQM$。

$54.$ 在等腰$\triangle ABC$中，$AB=AC, AM \parallel BC$，且$\displaystyle AM=\frac{1}{2}AC$，点$D$在$AB$上，$\displaystyle AD=\frac{1}{4}AB$，延长$MD$至$N$，使得$DM=DN$，连接$AN,BN$，证明$AN \perp BN$。

$55.$ 直角$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，作$\displaystyle BN \perp BC, BN=AN, BD=\frac{1}{4}BA$，连接$ND$至点$M$，使得$MD=ND$，
（1）证明$BM \perp AB$；
（2）$M$点于$BC$的垂直平分线有何位置关系，为什么？

$56.$ 在正方形$ABCD$中，点$E$在$CB$的延长线上，点$F$在$BA$的延长线上，且$AF=CE$，点$P$是$\triangle EFB$中$\angle FEB, \angle FBE$两个外角平分线的交点，证明$DP=DF$。

$57.$ 在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+2ax-b$与$x$轴交于$A,B$两点，与$y$轴的正半轴交于$C$点，且$A(-4,0), OC=2OB$，
（1）求$a,b$的值；
（2）点$T$为其顶点，$L$为抛物线上一动点，且$\displaystyle MN=\frac{2}{3}LN$（点$M,N,L$按逆时针顺序），当点$L$在抛物线上运动时，直线$AM,TL$是否存在某种未知关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由。

$58.$ 在菱形$ABCD$与菱形$BEFG$中，且$\angle ABC=\angle BEF=60^o$，$A,B,E$在同一条直线上，
（1）点$P$是线段$DF$的中点，连接$PG,PC$，探究$PG$与$PC$的位置和数量关系？$\displaystyle \frac{PG}{PC}$的值；
（2）如果将$BEFG$绕点$B$顺时针旋转，使$BF$与菱形$ABCD$边$AB$在同一条直线上，原条件不变，则（1）中的结论是否依然成立？为什么？

$59.$ 如果，直角梯形$ABCD$中，$AB \parallel CD, \angle A = 90^o, CD=3, AD=4, \tan B = 2$，过点$C$作$CH \perp AB$，点$P$为线段$AD$上一动点，直线$PM \parallel AB$分别交$BC,CH$于点$M,Q$，以$PM$为斜边向右作等腰直角三角形$PMN$，直线$MN$交$AB$与点$E$，直线$PN$交$AB$于点$F$，设$PD$的长为$x$，$EF$的长为$y$；
（1）求$PM$的长；
（2）求$y$与$x$的函数关系及自变量$x$的取值范围；
（3）当点$E$在线段$AH$上时，求$x$的取值范围。

$60.$ 点$A,B$分别是两条平行线$m,n$上的任意两点，在直线$n$上找一点$C$，使得$BC=kAB$，连接$AC$，在线段$AC$上任取一点$E$，作$\angle BEF = \angle ABC$，$EF$交直线$m$于点$F$，
（1）当$k=1$时，探究线段$EF$与$EB$的关系，并加以说明；
（2）若$\angle ABC=90^\circ, k \ne 1$，探究线段$EF$与$EB$的关系。

$61.$ 如图，$E$是正方形$ABCD$的边$BC$上一点，$AF$平分$\angle EAD$交$CD$于点$F$，求证$AE = BE + DF$。

$62.$ 矩形$ABCD$中，$AD = a, AB = b$，要使$BC$边上至少存在一点$P$，使$\triangle ABP, \triangle APD, \triangle CDP$两两相似，则$\displaystyle \frac{a}{b}$的取值范围是？

$63.$ 如图，$AM$为$\angle BAD$的平分线，$CM$为$\angle BCD$的平分线，求证$\displaystyle \angle M = \frac{1}{2} (\angle B + \angle D)$。

$64.$ 如图，$ABCD$为矩形，$CD$的延长线上有一点$E$，连接$BE$，$BE$上有一点$G$，有$BD = DG, DG = GE$，求证$\angle DBA = 3 \angle EBA$。

$65.$ 在平行四边形$ABCD$中，$E$为$CD$上一点，$DE:EC = 2:3$，连接$AE,BE,BD$，且$AE,BD$交于点$F$，则$S_{\triangle EDF}: S_{\triangle EBF}: S_{\triangle ABF} =$？

$66.$ 过$\triangle ABC$内任一点$P$，作$DE \parallel BC, HK \parallel AB, GF \parallel AC$，则$\displaystyle \frac{DE}{BC} + \frac{FG}{AC} + \frac{KH}{AB}=$？

$67.$ $\triangle ABC$中，$\angle ABC = 45^\circ$，$AD$是$\angle BAC$的平分线，$EF$垂直平分$AD$交$BC$延长线于$F$，则$\angle CAF=$？

$68.$ 在锐角三角形中，三个内角度数都是质数，则$3$个内角大小为？

$69.$ 已知四边形$ABCD$中，$\angle ADC = \angle ABC = 90^\circ$，$M,N$分别是$AC,BD$的中点，证明$MN \perp BD$。

$70.$ 三角形$ABC$中，若$\angle A$的外角平分线与三角形的外接圆交于点$D$，证明$BD=CD$。

$71.$ 若$a,b,c$表示$\triangle ABC$的三边长，$m>0$，证明$\displaystyle \frac{a}{a+m} + \frac{b}{b+m} > \frac{c}{c+m}$。

$72.$ 已知$BE,CF$分别为$\triangle ABC$的边$AC,AB$上的高，$G$为$EF$的中点，$H$为$BC$的中点，求证$HG \perp EF$。

$73.$ 证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰距离之差等于一腰上的高。

代数题

$1.$ 当关于$x$的方程$rx^2 + (r+2)^2x + r - 1 = 0$有且仅有整数根时，求$r$的值。

$2.$ 已知$\displaystyle \frac{1}{4}(b-c)^2 = (a-b)(c-a)$，且$a \ne 0$，则$\displaystyle \frac{b+c}{a}=$？

$3.$ 已知$x + y + z=0$，则$\displaystyle \frac{1}{y^2+z^2-x^2} + \frac{1}{z^2+x^2-y^2} + \frac{1}{x^2+y^2-z^2}=$？

$4.$ 已知$\displaystyle \frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1$，$\displaystyle \frac{m}{x} + \frac{n}{y} + \frac{p}{z} = 0$，则$\displaystyle \frac{x^2}{m^2} + \frac{y^2}{n^2} + \frac{z^2}{p^2}=$？

$5.$ 已知$f(x) = ax^2 + bx + c (a \ne 0)$且$a,b,c$都为整数，$f(0),f(1)$都为奇数，求证：$f(x)=0$无整实根。

$6.$ 已知$x,y,z$为互不相等的实数，且$\displaystyle x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}$，证明$x^2y^2z^2 = 1$。