本章的内容为接下来的函数极限做铺垫。欧几里得空间Rn中关于点a的邻域两个常用到的概念为
Br(a)={x∈Rn:∥x−a∥<r}Br(aˇ)={x∈Rn:0<∥x−a∥<r}
其中Br(a)称为以a为球心，r>0为半径的球，而Br(aˇ)称为相应的空心球。
定义1：开集
（1）设E∈Rn，如果点a∈E，并且存在r>0，使得Br(a)⊂E，那么称a为E的一个内点；
（2）E的全体内点构成的集合记作E°，称为E的内部
（3）若E°=E，则称E为开集。
定理1
对任何集E，E的内部E°是开集。
证：若E°=∅，可知E°=(E°)°=∅，可知E°是开集；若E°=∅，任取c∈E°，可知存在r>0，使得Br(c)⊂E；从而任取a∈Br(c)，令d=r−∥a−c∥，对于x∈Bd(a)，有
∥x−c∥≤∥x−a∥+∥a−c∥≤d+∥a−c∥=r
从而有x∈Br(c)，可得Bd(a)⊂Br(c)⊂E，从而a∈E°，由于a∈Br(c)，所以Br(c)⊂E°，所以E°是开集。
Q.E.D.
定理2
在空间Rn中：
（1）Rn,∅是开集；
（2）设{Eα}是Rn的一个开子集族，其中指标α来自一个指标集I，那么并集α∈I⋃Eα是开集（任意多个开集的并是开集）
（3）设E1,E2,⋯,Em是有限多个开集，那么交集i=1⋂mEi是开集（有限个开集的交是开集）。
证：（1）显然，下面证（2）（3）
（2）任取a∈α∈I⋃Eα，存在β∈I，使得a∈Eβ，由于Eβ是开集，从而存在球Br(a)⊂Eβ⊂α∈I⋃Eα，从而a是α∈I⋃Eα的内点，所以α∈I⋃Eα是开集。
（3）任取a∈i=1⋂mEi，即a∈Ei(i=1,2,⋯,m)，则存在ri>0，使得
Bri(a)∈Ei(i=1,2,⋯,m)
令r=min(r1,r2,⋯,rm)，可得
Br(a)⊂i=1⋂mEi
所以a是i=1⋂mEi的内点，从而i=1⋂mEi是开集。
Q.E.D.
定义2：闭集
设F⊂Rn，若Fc是开集，则称F是闭集。
定理3
在空间Rn中：
（1）Rn,∅是闭集；
（2）设{Fα}是Rn的一个闭子集族，其中指标α来自一个指标集I，那么交集α∈I⋂Fα是闭集（任意多个闭集的并是闭集）
（3）设F1,F2,⋯,Fm是有限多个开集，那么交集i=1⋃mFi是闭集（有限个闭集的交是闭集）。
利用De Morgan对偶原理与定理7的结论容易证明，从略。
定义3：凝聚点或极限点
设E⊂Rn，若a∈Rn，并满足对任意的r>0，在空心球Br(aˇ)内总有E中的点，则称a为E的凝聚点或极限点。
定义4：导集和闭包
点集E⊂Rn的凝聚点的全体称为E的导集，记作E′，记Eˉ=E∪E′，称Eˉ为E的闭包
定理4
E是闭集的充分必要条件是E′⊂E，即Eˉ=E。
证：必要性。反证法，假设存在a∈E′，而a∈/E，可知a∈Ec，又由于E是闭集，从而Ec是开集，从而存在Br(a)⊂Ec，这时Br(a)中没有$E
中的点，结合\boldsymbol{a} \notin E，可知B_r(\boldsymbol{\check a})中没有E中的点，而这与\boldsymbol{a}是E$的凝聚点矛盾，从而得证。
充分性。任取a∈Ec，可知a∈/E′，从而存在空心球Br(aˇ)⊂Ec，结合a∈/Ec，可知Br(a)∈Ec，所以Ec是开集，从而E是闭集。
Q.E.D.
定理5
E是闭集的充分必要条件是，E中的任意收敛点列的极限必在E中。
证：必要性。设E中的收敛点列{xi}有极限a，则a∈E或a∈/E，如果a∈/E，由极限性质可知a∈E′，又根据定理4，可得a∈E，所以a必在E中。
充分性。任取a∈E′，可从E中选出点列{xi}收敛于a，而a∈E，所以E′⊂E，从而E是闭集。
Q.E.D.
定理6
E的导集E′与Eˉ都是闭集。
证：前一命题。任取a∈(E′)c，可知a不是E的极限点，则存在一个球Br(a)，其中至多只有E中的一个点，且该点若存在只能是a，由因为Br(a)是开集，从而任取c∈Br(a)，若c=a，自然有c∈(E′)c，若c=a，则存在球Bs(c)⊂Br(a)，且Bs(c)不包含E中的点，可知此时c也不可能是E的极限点；即Br(a)⊂(E′)c，所以E′是闭集。
后一命题。若E′=∅，可知Eˉ=E，可知E是闭集，从而Eˉ是闭集；若E′=∅，则任取Eˉ中的一个收敛点列{xi}有极限a，如果{xi}中只有有限个点，显然有a∈Eˉ中，否则其中必有一个子列的点全属于E或者E′，若全属于E，则有a∈E′⊂Eˉ，若全属于E′，由于前面已证得E′是闭集，从而a∈E′⊂Eˉ，所以Eˉ是闭集。
Q.E.D.
定理7
E°是含于E内的最大开集，Eˉ是包含E的最小闭集。
证：前一命题。设开集B⊂E，任取a∈B⊂E，可知存在球Br(a)⊂B⊂E，可知a∈E°，所以B⊂E°。
后一命题。设闭集F⊃E，任取b∈Eˉ=E′∪E，若b∈E，则b∈F；若b∈E′，则E中有一个点列{xi}收敛于b，而这个点列也可以看出是F中的，再由定理5可知，b∈F，所以Eˉ⊂F。
Q.E.D.
定义5：边界
（1）设点集E⊂Rn，(Ec)°中的点称为E的外点，外点的全体称为E的外部；
（2）既不是E的内点又不是E的外点的点称为E的边界点，边界点的全体称为E的边界。
定义6：直径
设非空点集E⊂Rn，记
diam(E)=sup{∥x−y∥:x,y∈E}
称该数为集合E的直径。
定理8：闭区间套定理
设{Fi}(Fi=∅,i=1,2,3,⋯)是一闭集列，并且F1⊃F2⊃F3⊃⋯，若
i→∞limdiam(Fi)=0
那么i=1⋂∞Fi只含唯一的点。
证：因为Fi不是空集，因此对每个i∈N∗，都存在xi∈Fi，又由闭区间套的性质可知
{xi,xi+1,xi+2,⋯}∈Fi(i∈N∗)
所以当k,l>i时，
∥xk−xl∥≤diam(Fi)→0(i→∞)
可知{xi}时基本点列，不妨设其收敛于点a，又由闭集的性质定理5可知，a∈Fi对所有i∈N∗成立，因此a∈i=1⋂∞Fi。
假设还有点b∈i=1⋂∞Fi，从而a,b∈Fi，可知
∥a−b∥≤diam(Fi)=0(i→∞)
可知a=b。所以a唯一。
Q.E.D.