数学试题六：高中篇5

$401.$ 已知椭圆$\displaystyle M: \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$，$P$为$M$上一点，$EF$是圆$N: x^2 + (y - 2)^2 = 1$的任意一条直径，$E,F$为直径的两个端点，求$\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF}$的最大值。

$402.$ 已知定义域为$[a,b]$的函数$f(x)$，其图像是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：（1）$f(x)$的值域为$G \subset [a, b]$；（2）对任意不同的$x,y \in [a, b]$，都有$|f(x) - f(y)| < |x - y|$，那么$f(x)=x$在区间$[a,b]$上有多少个实数解。

$403.$ 已知$F_1,F_2$分别是椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的左右焦点，其左准线与$x$轴交于点$N$，并且满足$\overrightarrow{F_1F_2} = 2\overrightarrow{NF_1}, |\overrightarrow{F_1F_2}|=2$，设$A,B$是上半椭圆上满足$\overrightarrow{NA} = \lambda \overrightarrow{NB}$的两点，其中$\displaystyle N \in [\frac{1}{5}, \frac{1}{3}]$；
（1）求直线$AB$的斜率的取值范围；
（2）过$A,B$两点分别作椭圆的切线，两切线交于点$P$，求证$P$在一定直线上，并求点$P$的纵坐标的取值范围。

$404.$ 已知$f(x) = \ln (1 + e^x) - m x (m \ge 1)$；
（1）若$x_1, x_2 \in \mathbb{R}, x_1 \ne x_2$，当$m=1$时，比较$f(\dfrac{x_1+x_2}{2})$与$\dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$的大小；
（2）设$A,B,C$是函数$f(x)$图像上不同的三点，求证$ABC$是钝角三角形。

$405.$ 已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，$O$为双曲线的中心，$P$为双曲线右支上一点，$\triangle PF_1F_2$的内切圆的圆心为$I$，且$\odot I$与$x$轴相切于点$A$，过$F_2$作直线$PI$的垂线，垂足为$B$，则$\dfrac{OA}{OB}=$？

$406.$ 已知抛物线的方程$y^2 = 2px (p>0)$，直线$l$与抛物线交于两点$A,B$，且以弦$AB$为直径的圆$M$与抛物线准线相切，则弦$AB$的中点$M$的轨迹方程为？

$407.$ 设$a_0 + a_1 (x+1) + a_2 (x+1)^2 + \cdots + a_{2013} (x+1)^{2013} = (x^2 + x + 1)^{1006}(x+2)$，则$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2012}=$？

$408.$ 已知$P(4,0)$，$A,B$为抛物线$y^2 = 4x$上两点，且$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$，则$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{BA}$的最小值为？

$409.$ 已知定义在$(0, +\infty)$上的单调函数$f(x)$，且$f(x)f(f(x) + \dfrac{1}{x})=1$，则$f(1)=$？

$410.$ 底面边长为$4$的正四棱柱高$h>6$形的容器，先放入一个半径为$2$的球，然后再放入一个半径为$1$的小球，则小球最高点距棱柱底面距离为？

$411.$ 已知函数$f(x) = |\log_2 |x|| - (\dfrac{1}{2})^x$，则$f(x)$有几个零点，且所有零点之和与$-1$的大小关系是？

$412.$ 设椭圆$C: \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$，圆$O: x^2 + y^2 = 1$，直线$l: mx + ny = 1$，试证：当$P(m,n)$在椭圆上运动时，直线$l$与圆$O$恒相交，并求直线$l$被圆$O$所截得的弦长$L$的取值范围。

$413.$ 已知函数$f(x) = \left\{ \begin{aligned} &-x^3 + x^2 &x<1 \\ &a \ln x &x \ge 1\end{aligned} \right.$，对任意给定的正实数$a$，曲线$y=f(x)$上是否存在两点$P,Q$使得$\triangle POQ$是以$O$为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在$y$轴上。

$414.$ 已知椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a> b > 0)$和圆$O: x^2 + y^2 = b^2$，过椭圆上一点$P$引圆$O$的两条切线，切点分别为$A,B$，设直线$AB$与$x,y$轴分别交于$M,N$，求证$\displaystyle \frac{a^2}{|ON|^2} + \frac{b^2}{|OM|^2}$为定值。

$415.$ 函数$f(x)= (-x^2 + ax) e^x (x \in \mathbb{R})$是否可能为$\mathbb{R}$上的单调函数。

$416.$ 已知数列$\{a_n\}, a_n \ge 0, a_1 = 0, a_{n+1}^2 + a_{n+1} - 1 = a_n^2 (n \in \mathbb{N^+})$，记$\displaystyle S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，$\displaystyle T_n = \frac{1}{1+a_1} + \frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)} + \cdots + \frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}$；
（1）证明：$a_n < a_{n+1}$；
（2）$S_n > n-2$；
（3）$T_n < 3$。

$417.$ 已知$f(x) = \dfrac{\sin \pi x}{(x^2+1)(x^2 - 2x + 2)}$，对于下列命题：
（1）$f(x)$是周期函数；
（2）$f(x)$既有最大值，又有最小值；
（3）$f(x)$的定义域为$R$且其图像有对称轴；
（4）对于任意的$x \in (-1, 0), f^\prime(x) < 0$；
其中真命题的序号为？

$418.$ 双曲线$W: x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，过$Q(0, -2)$的直线$l$交双曲线$W$的右支于$A,B$两个不同点（$B$在$A,Q$之间），若点$H(7, 0)$在以线段$AB$为直径的圆的外部，试求$\triangle AQH$与$\triangle BQH$面积之比的取值范围。

$419.$ $f(x) = [x[x]]$，当$x \in [0, n] (n \in \mathbb{N^+})$时，设函数$f(x)$的值域为集合$A$，记$A$中的元素个数为$a_n$，则使$\dfrac{a_n + 71}{n}$为最小时的$n$是？

$420.$ 已知$f(x) = \dfrac{4x - a}{1 + x^2}$，若$f(x)$在$[m,n]$上为增函数，且$f(m)f(n) = -4$，当$f(n) - f(m)$取最小值时；
（1）求$a$和$n$的值；
（2）如果$P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2) (a < x_1 < x_2 < n)$是$f(x)$图像上两点，且存在实数$x_0$使得$f^\prime(x_0) = \dfrac{f(x_2) -f(x_1)}{x_2 - x_1}$，求证$x_1 < x_0 < x_2$。

$421.$ $a_n = 2n + 1, b_n = 3^n$，试确定所有的$p \in \mathbb{N^+}$，是数列$\{b_n\}$中存在某个连续$p$项的和为数列$\{a_n\}$中的某一项，试证明。

$422.$ 设$M$是圆$x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$上的动点，$O$是坐标原点，$N$是射线$OM$上的点，若$|OM||ON|=150$，求点$N$的轨迹方程。

$423.$ 若关于$x$的实系数方程不等式$ax^2 + bx + c \ge 0 (a < b)$的解集为$\mathbb{R}$，则$\dfrac{a+2b+4c}{b-a}$的最小值是？

$424.$ 已知与圆$C: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$的相切的直线$l$与$x,y$轴的正半轴交于点$A,B$，点$O$是坐标原点，则$\triangle ABC$面积的最小值为？

$425.$ 已知过点$P(0,-1)$的直线$l$与抛物线$x^2 = 4y$相交于$A,B$两点，$l_1,l_2$分别是抛物线在$A,B$两点处的切线，$M,N$分别是$l_1,l_2$与直线$y=-1$的交点，试比较$|PM|$与$|PN|$的大小。

$426.$ 已知$f(x) = ax - \ln(-x), x \in [-e, 0]$，$g(x) = -\dfrac{\ln(-x)}{x}$；
（1）当$a=-1$时，证明$|f(x)| > g(x) + \dfrac{1}{2}$；
（2）是否存在实数$a$，使得$f(x)$的最小值为$3$？

$427.$ 对于任意函数$f(x), x\in D$（定义域），现给出一个数列构造法，若$x_1 \in D$，令$x_2 = f(x_1)$，依此类推，现定义$f(x) = \dfrac{4x - 2}{x + 1}$，若初始数据为$x_0$时，产生无穷数列$\{x_n\}$满足，对任意正整数$n$，均有$x_n < x_{n+1}$，求$x_0$的值。

$428.$ 若$f(x) = e^x - 1, g(x) = \ln(x+1)$，当$x_1>x_2>0$时，试比较$f(x_1-x_2), g(x_1-x_2), g(x_1) - g(x_2)$的大小。

$429.$ 在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边为$a,b,c$，且$BC$边上的高为$\dfrac{a}{2}$，则$\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}$的取值范围是？

$430.$ 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 0, a_2 = 2$，且对任意$m,n \in \mathbb{N^+}$，都有$a_{2m-1} + a_{2n-1} = 2a_{m+n-1} + 2(m-n)^2$，设$c_n = (a_{n+1} - a_n)q^{n-1} (q \ne 0, n \in \mathbb{N^+})$，求数列$\{c_n\}$的前$n$项和。

$431.$ 若数列$\{b_n\}$满足：$b_{n+1} = b_n^2 - (n-2)b_n + 3$，且$b_1 \ge 1, n\in \mathbb{N^+}, a_n = n$；
（1）证明$b_n \ge a_n, n\in \mathbb{N^+}$；
（2）记$\displaystyle T_n = \frac{1}{3+b_1} + \frac{1}{3+b_2} + \cdots + \frac{1}{3+b_n}$，证明$T_n < \dfrac{1}{2}$。

$432.$ 已知二次函数$f(x) = ax^2 + x(a \ne 0, a\in \mathbb{R})$；
（1）对任意的$x \in \mathbb{R}$，总有$|f(\sin x \cos x)| \le 1$，试求$a$的取值范围；
（2）令$a=1$，求证：$\displaystyle 1 < \sum_{i=n}^{3n} \frac{i}{f(i)} < 2$。

$433.$ 是否存在各项都是正整数的无穷数列$\{c_n\}$，使得$c_{n+1}^2 > 2 c_n c_{n+2}$都一切$n \in \mathbb{N^+}$都成立。

$434.$ 已知函数$f(x) = \dfrac{1+x}{1-x} e^{-ax}$，若对任意的$x \in (0, 1)$，恒有$f(x)>1$，求$a$的取值范围。

$435.$ 已知$f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$，对于定义在$(e, +\infty)$上的函数$h(x)$有$h(x) = (f(x) - e)(x-e)^2$，已知$a_1,a_2,a_3,a_4 \in (e, +\infty), a_1 < a_2, a_3 = ta_1 + (1-t)a_2, a_4 = (1-t)a_1 + ta_2$，若$\displaystyle \left| \dfrac{h(a_3) - h(a_4)}{h(a_1) - h(a_2)} \right| < 1$，求$t$的取值范围。

$436.$ 是否存在过点$(-1,1)$的直线与函数$f(x) = \ln x - \dfrac{x-1}{x}$的图像相切？若存在，有多少条？若不存在，请说明理由。

$437.$ 已知$x, y$满足约束条件$\left\{ \begin{aligned} x + y & \le 3 \\ x - y & \ge -1 \\ y & \ge 1 \end{aligned} \right.$，若$0 \le ax + by \le 2$，则$\dfrac{b+2}{a+1}$的取值范围是？

$438.$ 已知圆$M: x^2 + y^2 = \dfrac{2}{3}$的切线$l$与椭圆$\dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$相交于$A,B$两点，那么以$AB$为直径的圆是否经过定点？

$439.$ 在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边为$a,b,c$，面积$S = \dfrac{1}{4}(b^2 + c^2 - a^2)$，若$a = 10$，则$bc$的最大值为？

$440.$ 求证：对任意不小于$3$的正整数$n$，不等式$\displaystyle (\frac{2}{n!})^2 < \ln \frac{n+1}{3} < \frac{2}{n!}$都成立。

$441.$ 已知$f(x) = x^2 + bx + 2, x \in \mathbb{R}$；
（1）若函数$F(x) = f(f(x))$与$f(x)$在$x \in \mathbb{R}$上有相同的值域，求$b$的取值范围；
（2）若方程$f(x) + |x^2 - 1| = 2$在$(0,2)$上有两个不同的解$x_1,x_2$，求$b$的取值范围，并证明$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} < 4$。

$442.$ 已知角$\alpha$为锐角，求证$\displaystyle (1 + \frac{1}{\sin \alpha})(1 + \frac{1}{\sin \alpha}) \ge 3 + 2 \sqrt 2$。

$443.$ 已知$\alpha, \beta \in (0, \pi)$，且$\cos \alpha + \cos \beta - \cos(\alpha + \beta) = \dfrac{2}{3}$，试求$\alpha, \beta$的值。

$444.$ 已知$x_1,x_2,x_3,x_4$为实数，且$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6, x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 12$，求证$0 \le x_i \le 3, i = 1,2,3,4$。

$445.$ 设$a_i \in \mathbb{R}_+ (i=1,2,\cdots,n), a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$，求证：$\displaystyle (a_1 + \frac{1}{a_1})^2 + (a_2 + \frac{1}{a_2})^2 + \cdots + (a_n + \frac{1}{a_n})^2 \ge \frac{(n^2 + 1)^2}{n}$。

$446.$ $a,b,c$为三角形三边，求证$(a^2 + b^2 + c^2)^2 \ge 2 (a^4 + b^4 + c^4)$。

$447.$ 已知$i, m, n$是正整数，且$1 < i \le m \le n$，证明$n^i A_{m}^i < m^i A_n^i$。

$448.$ 已知圆$M: x^2 + (y - 2)^2 = 1$，$Q$是$x$轴上的动点，$QA,QB$分别切圆$M$于$A,B$两点；
（1）若$|AB| = \dfrac{4 \sqrt 2}{3}$，求直线$MQ$的方程；
（2）求证：直线$AB$恒过定点。

$449.$ 已知抛物线$x^2 = 4y$的焦点$F$，过焦点$F$且不平行于$x$轴的直线$l$交抛物线于$A,B$两点，抛物线在$A,B$两点处的切线交于点$M$；
（1）求证：$A,M,B$三点的横坐标成等差数列；
（2）设直线$MF$交抛物线$C,D$两点，求四边形$ABCD$的面积。

$450.$ 对于直角坐标系内任意两点$P_1,P_2$，定义运算$P_1 \otimes P_1 = (x_1, y_2) \otimes (x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1)$，若点$M$是与坐标原点$O$相异的点，且$M \otimes (1, 1) = N$，则$\angle MON=$？

$451.$ $O$是$\triangle ABC$内任意一点，若存在实数$k, \lambda$，使得$\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{EC}, \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OE}$，则$k,\lambda$的值分别为？

$452.$ 设锐角三角形$\triangle ABC$的内角$A,B,C$所对的边为$a,b,c$且$\cos C = a - \dfrac{1}{2}c, b = 1$，求$\triangle ABC$周长$l$的取值范围。

$453.$ 若方程$\ln (x + 1) = \dfrac{1}{6}x^3 + b$在$(0, +\infty)$上有且仅有两个不同的实数解$x_1,x_2$，比较$x_1x_2+1$与$x_1 + x_2$的大小。

$454.$ 求证：$\displaystyle \frac{\ln 2}{2!} + \frac{\ln 3}{3!} + \cdots + \frac{\ln n}{n!} < 1$。

$455.$ 求证：$\displaystyle \frac{\ln 2}{2^4} + \frac{\ln 3}{3^4} + \cdots + \frac{\ln n}{n^4} < \frac{1}{2e}$。

$456.$ 求证：$\displaystyle \frac{\ln 2^2}{2^2} + \frac{\ln 3^2}{3^2} + \cdots + \frac{\ln (n + 1)^2}{(n+1)^2} > \frac{n}{2(n+1)(n+2)}, n \in \mathbb{N^+}$。

$457.$ 设抛物线过定点$A(2,0)$且以直线$x=-2$为准线；
（1）求抛物线顶点的轨迹$C$的方程；
（2）若$A,B$是轨迹$C$上的两个动点，且$OA \perp OB$，$O$为坐标原点，过点$D$作直线$AB$的垂线$OD$，垂足为$D$，求证点$D$在定圆上。

$458.$ 数列$\{a_n\}$中，$a_1 = \dfrac{1}{2}, a_{n+1} = \dfrac{na_n}{(n+1)(na_n + 1)}$，若其前$n$项和为$S_n$，求证$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(1 - \frac{S_i}{S_{i+1}})\frac{1}{\sqrt{S_i + 1}} < 2(2\sqrt2 -1)$。

$459.$ 从数列$\{a_n\}$中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个新的数列$a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \dots$，称之为数列$\{a_n\}$的一个子数列，设数列$\{a_n\}$是一个公差不为零的等差数列，且$a_3 = 6$，取$n_1 = 1, n_2 = 3$；
（1）若$a_1 = 4$，那么数列$\{a_n\}$中是否存在以$a_1,a_3$为首前$2$项的无穷等比数列$\{a_{n_k}\}$，若存在，求$n_k$的表达式；
（2）在（1）问中，若$a_1$未知，也满足（1）中的其他条件，试求$a_1$的最小正整数值及$n_k$的表达式。

$460.$ 已知数列$a_n = \dfrac{n}{2^n}, b_n = \ln (1 + a_n) + \dfrac{1}{2}a_n^2$，记数列$\{a_n^2\}, \{b_n\}$的前$n$项和分别为$A_n,B_n$，证明$2B_n - A_n < 4$。

$461.$ 在$(0 + \infty)$上，$xg^\prime(x) > g(x)$恒成立（$g^\prime(x)$为$g(x)$的导函数），当$x_1>0,x_2>0$时，求证$g(x_1) + g(x_2) < g(x_1 + x_2)$。

$462.$ 已知$A,B$为椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3}=1$上的两点且直线$AB \perp x$轴，点$N(4,0)$，直线$AF$与$BN$交于点$M$，
（1）求证点$M$在椭圆上；
（2）求$\triangle AMN$面积的最大值。

$463.$ 在平面直角坐标系中，定义点$P(x_1,x_2),Q(x_2,y_2)$之间的交通距离$\rho(P,Q) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2|$，则与点$A(2,3),B(-6,9),C(-3,-8)$的交通距离均相等的交通距离为？

$464.$ 已知双曲线$C:\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)$和圆$O: x^2+y^2 = b^2$，过双曲线$C$上一点$P$引圆$O$的切线，切点分别为$A,B$；
（1）若双曲线上存在点$P$，使得$\angle APB = \dfrac{\pi}{2}$，求双曲线离心率的取值范围；
（2）设直线$AB$与$x,y$轴分别交于$M,N$点，求$\displaystyle \frac{a^2}{|ON|^2} - \frac{b^2}{|OM|^2}$的值。

$465.$ 已知函数$f(x) = \dfrac{9^x+k3^x+1}{9^x+3^x+1}$，若对任意的实数$x_1,x_2,x_3$均存在$f(x_1),f(x_2),f(x_3)$为三边长的三角形，则$k$的取值范围是？

$466.$ 过直线$y = -m (m>0)$上一动点$Q$作$x$轴的垂线交抛物线$C: y = x^2$相交于点$P$，抛物线上两点$A,B$满足$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{QP}$；
（1）求证：直线$AB$与抛物线$C$在在点$P$出的切线$l$平行，且直线$AB$恒过定点；
（2）是否存在$m$，使得点$Q$在直线$y=-m$上运动时，恒有$\overrightarrow{QA} \perp \overrightarrow{QB}$？

$467.$ 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1, a_n+a_{n+1}+(-1)^{n+1}a_na_{n+1}=0$；
（1）证明：当$n>1$时，$\dfrac{1}{2} \le a_1 + a_2 + \cdots + a_n < 1$；
（2）设$b_n = |a_1a_2\cdots a_n|$，函数$f_n(x)=1+b_1x+b_2x^2+ \cdots b_{2n}x^{2n}, n \in \mathbb{N^+}$，证明对任意的$n \in \mathbb{N^+}$，函数$f_n(x)$无零点。

$468.$ 已知$f(x) = x^2 + \dfrac{8}{x}$，证明：当$a>3$时，关于$x$的方程$f(x)=f(a)$有三个实数解。

$469.$ 已知定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$满足以下条件，（1）对任意$x \in \mathbb{R}, f(x)>0$；（2）对任意$x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}$，有$f(xy) = [f(x)]^y$；（3）$f(\dfrac{1}{3})>1$；
（1）求证：$f(x)$在$\mathbb{R}$上为递增函数；
（2）若$a>b>c>0$且$b^2=ac$，求证$f(a)+f(c)>2f(b)$。

$470.$ 函数$f(x)=2x^2 + (x-a)|x-a|, a \in \mathbb{R}$，求$f(x)$的最小值。

$471.$ 如果函数$f(x) = a^x(a^x - 3a^2 - 1) (a>0$且$a \ne 1)$在区间$[0, +\infty)$上是增函数，那么实数$a$的取值范围是？

$472.$ 等差数列的前$n$项和为$S_n$，若$S_n-S_m=a (n >m )$，则$S_{n+m}=$？

$473.$ 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1, a_{n+1}=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{1}{2}a_n+n & n\text{为奇数}\\ & a_n-2n & n\text{为偶数} \end{aligned}\right.$，且$b_n = a_n -2$；
（1）求证$\{b_n\}$为等比数列；
（2）求$S_{2n+1}=a_1+a_2+\cdots+a_{2n+1}$。

$474.$ 证明：两个公比不相等的等比数列$\{a_n\}, \{b_n\}$的和$\{a_n + b_n\}$不是等比数列。

$475.$ 已知$P(4,0)$是圆$x^2+y^2=36$内一点，$A,B$是圆上两动点且满足$\angle APB = 90^\circ$，求矩形$APBQ$的顶点$Q$的轨迹方程。

$476.$ 已知双曲线$C: \dfrac{x^2}{4} - y^2 = 1$，如图过点$M(x_1,y_1)$的直线$l_1: x_1x+4y_1y=4$与过点$N(x_2,y_2)$的直线$l_2: x_2x+4y_2y=4$的交点$E$在双曲线$C$上，直线$MN$与双曲线的两条渐近线分别交于$G,H$两点，求$\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OH}$的值。

$477.$ 已知$A(-1,1),B(1,-1)$，点$P$是抛物线$x^2 + 3y^2=4$的一动点，直线$AP$和$BP$分别与$x=3$交于点$M,N$，是否存在点$P$使得$\triangle PAB$与$\triangle PMN$的面积相等？

$478.$ 已知$E$的方程为$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$， 设直线$l$与圆$C: x^2 + y^2 = R^2 (1<R<2)$相切于$A_1$，且$l$与轨迹$E$只有一个公共点$B_1$，当$R$为何值时，$|A_1B_1|$取得最大值？

$479.$ 已知复平面内一个点列$z_n = \dfrac{n+1}{2n}+i\dfrac{3+n}{4n}$（$n$为正整数），是否存在一个圆使得$\{z_n\}$中任意一点都不在圆内？若存在，求出半径最小的圆的方程，若不存在，请说明理由。

$480.$ 已知椭圆方程$\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1$，在椭圆内任取三个不同点$P_1,P_2,P_3$使得$\angle P_1FP_2=\angle P_2FP_3 = \angle P_3FP_1$，证明$\displaystyle \frac{1}{|FP_1|} + \frac{1}{|FP_2|} + \frac{1}{|FP_3|}$为定值，并求出此定值。（$F$为右焦点）

$481.$ 如果$x \in [0, 1]$时，$|ax^2+x| \le 1$恒成立，试求$a$的取值范围。

$482.$ 设函数$f(x) = \ln [(x-1)(2-x)]$的定义域为$A$，函数$g(x)=\lg (\sqrt{a^2-2^x}-1)$的定义域是$B$，若$A \subset B$，则正数$a$的取值范围是？

$483.$ 设$f(x) = x^2-1$，对任意$x \in [\dfrac{3}{2}, +\infty]$，$f(\dfrac{x}{m}) - 4m^2f(x) \le f(x-1) + 4f(m)$恒成立，则实数$m$的取值范围是？

$484.$ 关于$x$的不等式组$\left\{ \begin{aligned} &x^2-x-2>0 \\ &2x^2+(2k+5)x+5k<0 \end{aligned}\right.$ 的整数解的集合为$\{-2\}$，则实数$k$的取值范围是？

$485.$ 不等式$e^x-x>ax$的解集为$P$，且$[0,2] \subset P$，则实数$a$的取值范围是？

$486.$ 已知$f(x) = x + \dfrac{1}{x} -2$，若方程$f(k^x-1) + k(\dfrac{2}{|2^x-1|}-3)=0$有三个不同的实数解，则$k$的取值范围是？

$487.$ 若数列$\{x_n\}$满足$x_{n+1} = \dfrac{2x_n}{x_n^2+1} (n \in \mathbb{N^+})$，求证$\dfrac{(x_1-x_2)^2}{x_1x_2} + \dfrac{(x_2-x_3)^2}{x_2x_3} + \cdots + \dfrac{(x_n-x_{n+1})^2}{x_nx_{n+1}} < \dfrac{5}{16}$。

$488.$ 已知函数$f(x) = 1 - \dfrac{\sin x}{1 + |x|} (x \in \mathbb{R})$的最大值为$M$，最小值为$m$，则$M+m=$？

$489.$ 已知函数$f(x) = \ln x + 2x, g(x) = a(x^2+x)$，若$f(x) \le g(x)$恒成立，则$a$的取值范围是？

$490.$ 已知函数$f(x) = ax^3 - \dfrac{1}{2}\sin \theta \cdot x^2 - 2x + C$的图像过点$(1, \dfrac{37}{6})$，且在$[-2,1)$内单调递减，在$[1, +\infty)$内单调递增；
（1）求$f(x)$的解析式；
（2）若对任意的$x_1,x_2 \in [m, m+3] (m \ge 0)$不等式$|f(x_1) - f(x_2)| \le \frac{45}{2}$恒成立，求$m$的取值范围。

$491.$ 设$a_1,a_2,\cdots,a_n$是各项均不为$0$的等差数列，$n \ge 4$且公差$d \ne 0$，若将数列删去一项后所得（按原来顺序）的数列为等比数列；
（1）求$n$的所有可能取值；
（2）求证：对于给定的正整数$n (n \ge 4)$，存在一个各项及公差均不为$0$的数列$b_1,b_2,\cdots,b_n$，其中任意三项不能成等比数列。

$492.$ 数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，且$n \ge 2$时，$\displaystyle a_n = n^2 (\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dfrac{1}{(n+1)^2})$；
（1）证明：当$n \ge 2$时，$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{(n+1)^2} - \frac{a_n}{n^2} = \frac{1}{n^2}$；
（2）证明：$\displaystyle (1+\frac{1}{a_1})(1+\frac{1}{a_2})\cdots(1+\frac{1}{a_n}) < 4$。

$493.$ 对于各项均为整数的数列$\{a_n\}$，如果$a_i+i(i=1,2,\cdots,n)$为完全平方数，则称数列$\{a_n\}$具有P性质，不论数列$\{a_n\}$是否具有P性质，如果存在与$\{a_n\}$不是同一数列的$\{b_n\}$，且满足（1）$b_1,b_2,\cdots,b_n$是$a_1,a_2,\cdots,a_n$的一个排列，（2）数列$\{b_n\}$具有P性质，则称数列具有变换P性质；对于有限数列$A: 1,2,\cdots,n$，某人已验证当$n \in [12,m^2](m \ge 5)$时，数列$A$具有变换P性质，试证明当$n \in [m^2+1, (m+1)^2]$时数列$A$也具有变换P性质。（$m$为常数）

$494.$ 对于各数互不相等的整数数组$(i_1,i_2,\cdots,i_n)(n \ge 3)$，对于任意的$p,q \in \{1, 2, \cdots, n\}$，当$p<q$时，有$i_p > i_q$，则称$i_p,i_q$是该数组的一个逆序，一个数组中的所有逆序的个数成为逆序数，若数组$(i_1,i_2,\cdots,i_n)$中的逆序数为$n$，则数组$i_n,i_{n-1},\cdots,i_1$中的逆序数为？

$495.$ 一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数$x$，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数$x$生成两个数，一个是$-x$，另一个是$x+3$，若$x=1$，前$n$次生成所有数中不同的数的个数为$T_n$，则$T_n=$？

$496.$ 对于数列$A: a_1,a_2,\cdots,a_n$，若满足$a_i \in \{0, 1\} (i=1,2,\cdots,n)$，则称数列$A$为“0-1数列”，定义变换$T$，$T$将"0-1"数列$A$中原有的每个$1$都变成$0,1$，原有的每个$0$都变成$1,0$，例如$A: 1,0,1$，则$T(A): 0,1,1,0,0,1$，设$A_0$是"0-1"数列，令$A_k = T(A_{k-1}) (k=1,2,\cdots)$；
（1）若数列$A_0$共有$10$项，这数列$A_2$中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由。
（2）若$A_0$为$0,1$，记数列$A_k$中连续两项都是$0$的数对的个数为$l_k(k=1,2,3\cdots)$，求$l_k$关于$k$的表达式。

$497.$ 如图，$O,A,B$是平面上的三点，向量$\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec b$，设$P$是线段$AB$的垂直平分线上的一点，向量$\overrightarrow{OP} = \vec p$，若$|\vec a| = 4, |\vec b|=2$，则$\vec p (\vec a - \vec p)=$？

$498.$ 已知直线$l: x=my+1$，过椭圆$C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$的右焦点$F$且交椭圆$C$于$A,B$两点，$AB$在直线$l_1: x=a^2$上的射影依次为$D,E$，连接$AE,BD$，试证明$AE,BD$交于一定点，并求出定点坐标。

$499.$ 抛物线定点为坐标原点$O$，焦点为$F$，$M$是抛物线上的动点，则$\frac{MO}{MF}$的最大值为？

$500.$ 在一个棱长为$6$厘米的密封正方体盒子中，放一个半径为$1$厘米的小球，任意滚动盒子，小球不能到达的空间为$G$，则这个正方体盒子中的任意一点属于$G$的概率是？