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数学试题八：高中篇7
$601. $ 对于实数$a \in \mathbb{R}$，试探究函数$f(x) = x|x-2a|+3$是否是区间$[1,2]$上的有界函数？如果是？求出上界减去下界的值。
卷二50 篇文章 · 从一个问题，走向本质
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从点列极限到微积分，沿着定义、定理与证明慢慢前行。
数学之美 / 尘雨尘风
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数学试题七：高中篇6
$501. $ 在棱长都为$a$cm的四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒中任意转动，则正方体棱长最大为多少cm？
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数学试题六：高中篇5
$401. $ 已知椭圆$\displaystyle M: \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$，$P$为$M$上一点，$EF$是圆$N: x^2 + (y - 2)^2 = 1$的任意一条直径，$E,F$为…
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数学试题五：高中篇4
$301. $ 已知$\displaystyle an = \frac{3^n+1}{4}$且$Sn = \sum \limits{k=1}^n ak$，证明：当$n \ge 2$时，$\displaystyle \frac{8}{3}(n…
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数学试题四：高中篇3
$201. $ 已知椭圆$\displaystyle C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，过点$Q(4, 0)$且不与坐标轴垂直的直线$l$交椭圆于$A,B$两点，设点$A$关于$x$轴对称为点$A^…
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数学试题三：高中篇2
$101. $ 已知$g(x)$的图像是$f(x)$的图像关于原点对称，且$f(x) = x^2 + 2x$； （1）解不等式$g(x) \ge f(x) - |x - 1|$； （2）若$h(x) = g(x) - \lambda f(x…
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数学试题：自创篇
$1. $ 递增等比数列$\{an\}$，有$a1^2+a2^2+a3^2 = 8, a1 + a2 + a3 = 4$，则该数列的公比为？ $2. $ 已知$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \le \beta <…
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数学试题二：高中篇1
$1. $ $f(x)=3ax^2 + 2bx + c$，若$a+b+c=0, f(0)f(1)0$，求证： （1）方程$f(x)=0$有实根； （2）$\displaystyle -2 < \frac{b}{a} < -1$； （3）设$…
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微积分在几何上的应用一：弧长，旋转曲面的面积与体积
定理1 设$\mathbb{R}^2$上的曲线$\Gamma$由极坐标方程 $$ r = r(\theta) \quad (\boldsymbol{\alpha} \le \theta \le \boldsymbol{\beta}) $$ …
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微积分在几何上的应用二：曲线的切线与曲面的切平面
定义1 设空间曲线段$\Gamma$有参数方程 $$ \left\{ \begin{aligned} & x = x(t), \\ & y = y(t), \\ & z = z(t), \end{aligned} \right. \quad…
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函数积分十二：$n$重积分
定义1 定义$f: I \to \mathbb{R}$，其中$I$是$\mathbb{R}^n$中的一个闭长方体，即$I = I1 \times I2 \times \cdots In$，其中$ii=[ai, bi] (i=1,2,\cdo…
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函数积分十一：三重积分
定义1 定义$f: I \to \mathbb{R}$，其中$I$是$\mathbb{R}^3$中的一个有限长方体，即$I = I1 \times I2 \times I3$，其中$ii=[ai, bi] (i=1,2,3)$是$\math…
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函数积分十：二重积分的计算
定理1 如果$f$在$I = [a,b] \times [c,d]$上可积，那么单变量函数$\displaystyle \varphi(x) = \underline \intc^d f(x, y) \mathrm{d} y$和$\disp…
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函数积分九：有界区域上的二重积分
定义1 设$B \subset \mathbb{R}^2$是有界集，函数$f: B \to \mathbb{R}$，令 $$ fB(\boldsymbol{p}) = \left\{ \begin{aligned} & f(\boldsym…
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函数积分八：Lebesgue定理
定义1：零测集 设$B \subset \mathbb{R}^2$，如果对任意给定的$\varepsilon 0$，存在可数个闭矩形序列$\{Ii\}(i=1,2,\cdots)$，使得 $$ B \subset \bigcup \limi…
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函数积分七：矩形区域的二重积分
定义1 定义$f: I \to \mathbb{R}$， 其中$I$是$\mathbb{R}^2$中的闭矩形，$I = [a,b] \times [c, d]$，作$[a,b]$的分割 $$ \pix : a = x0 < x1 < \cd…
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函数积分六：微积分基本定理
定义1：变上限积分 设$f$在$[a,b]$上可积，从而对任何$x \in [a,b]$，$f$在$[a,x]$上也可积，因此定义函数 $$ F(x) = \inta^x f(t) \mathrm{d} t $$ 其中$x$可在$[a,b]…
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函数积分五：可积函数的性质
定理1：积分的可加性 设$c \in (a,b)$，函数$f$在$[a,c],[c,b]$上可积，那么$f$在$[a,b]$上也可积，且 $$ \inta^b f(x) \mathrm{d} x = \inta^c f(x) \mathrm…
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函数积分四：Lebesgue定理
定义1：零测度集 设$A$为实数的集合，如果对任意给定的$\varepsilon 0$， 存在至多可数个开区间$\{In: n \in \mathbb{N}^\}$组成$A$的一个开覆盖，并且$\displaystyle \sum{n=1}…
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函数积分三：可积性理论
定理1 设函数$f$在$[a,b]$上Riemann可积，则$f$在$[a,b]$上有界。
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函数积分二：Riemann积分
定义1：分割 在区间$[a,b]$上，记分割 $$ \pi : a = x0 < x1 < \cdots < xn = b $$ 把$[a,b]$分成$n$个小区间$[x{i-1},xi]$，其长度为$\Delta xi = xi - x{…
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函数积分一：原函数
定义1：原函数 已知区间$D$和函数$f: D \to \mathbb{R}, F: D \to \mathbb{R}$，如果两个函数满足关系 $$ F^\prime(x) = f(x) $$ 则称$F$为$f$在$D$上的一个原函数。
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函数导数十三：极值
定义1 设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，函数$f: D \to \mathbb{R}$，点$\boldsymbol{x}0 \in D$，如果存在一个去心球$Br(\boldsymbol{\check x}0) \s…
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函数导数十二：高阶偏导数和Taylor公式
定义1 设函数$f$在开集$D$上的每一点处存在偏导数： $$ Dif(\boldsymbol{x}) = \frac{\partial f}{\partial xi}(\boldsymbol{x}) \quad (i=1,2,\cdots…
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函数导数十一：逆映射定理
定理1: 局部逆映射定理 设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^n$，满足： （a）$\boldsymbol{f} \in C^1(D)$； （b）有$\…
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函数导数十：隐函数、隐映射定理
定义1：隐式方程 设$D \subset \mathbb{R}^2$是一开集，$F: D \to \mathbb{R}$是一个含有两个自变量$x,y$的函数，对于$D$中的点$(x,y)$满足方程 $$ F(x,y) = 0 $$ 的点的全…
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函数导数九：映射微分和复合求导
设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$。记$\boldsymbol{f}$的分量依次为$f1,f2,\cdots,fm$，可以把$\boldsymbo…
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函数导数八：多变量函数的微分
定义1 设开集$D \subset \mathbb{R}^n$，$f: D \to \mathbb{R}$，$\boldsymbol{u}$是一个方向，$x0 \in D$，如果极限 $$ \lim \limits{t \to 0} \fr…
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函数导数七：Taylor定理
定义1 设函数$f$在$x0$处有直到$n$阶的导数，这里$n$是任意给定的正整数，令 $$ Tn(f,x0;x) = f(x0) + \frac{1}{1!}f^\prime(x0)(x - x0) + \frac{1}{2!}f^{\p…
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函数导数六：函数的微分
定义1：微分 设函数$f$在$(a,b)$上有定义，且$x0 \in (a,b)$，如果存在一个常数$\lambda$，使得 $$ f(x0 + \Delta x) - f(x0) = \lambda \Delta x + o(\Delta…
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数学科普一：平均数
假设两个正数$a,b$，我们知道$\frac{a+b}{2}$称为算术平均数，$\sqrt{ab}$称为几何平均数，$\frac{2}{a^{-1}+b^{-1}}$称为调和平均数。对于任意$n$个正数也有同样的定义，观察到算术平均数为$\…
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函数导数五：函数性质与导数的关系
定理1 设函数$f$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，那么$f$在$[a,b]$上递增（减）的充分必要条件是$f^\prime \ge 0 (\le 0)$在区间$(a,b)$上成立。
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函数导数四：L’Hospital法则
定理1 设函数$f,g$在$(a,b)$上可导，并且$g(x) \ne 0$对$x \in (a,b)$成立。又设 $$ \lim \limits{x \to a^+} f(x) = \lim \limits{x \to a^+} g(x)…
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数学试题一：初中篇
几何题 $1.$ 在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$D$在线段$BC$上，且$\angle BAD = 20^\circ$，点$E$在线段$AC$上，且$AE = AD$，求$\angle CDE$。
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函数导数三：极值定义与微分中值定理
定义1：极值 设函数$f: (a,b) \to \mathbb{R}$，如果对点$x0 \in (a, b)$，存在$\delta 0$，使得$\Delta = (x0 - \delta, x0 + \delta) \subset (a,b…
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函数导数二：初等函数的导数
本章介绍常见初等函数的导函数及其求法。
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函数导数一：导数的定义与基本性质
定义1：导数 设函数$f$在$x0$的近旁处有定义，如果极限 $$ \lim \limits{h \to 0} \frac{f(x0+h) - f(x0)}{h} $$ 存在且有限，则称这个极限值为$f$在点$x0$的导数，记作$f^{\p…
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函数极限七：向量值函数的连续与一致连续
定义1：向量值函数 设$D \subset \mathbb{R}^n$，定义$\boldsymbol{f}: D \to \mathbb{R}^m$为向量值函数，其中$D$称为$\boldsymbol{f}$定义域，$f(D)$称为值域。当…
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函数极限六：多变量函数的一致连续性
定义1：多变量函数的一致连续性 设$D \subset \mathbb{R}^n$，$f: D \to \mathbb{R}$。如果$\forall \varepsilon 0$，$\exists \delta 0$，使得当$\boldsy…
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函数极限五：多变量函数的极限与连续性
定义1 设$D \subset \mathbb{R^n}$，那么映射$f: D \to \mathbb{R}$称为一个$n$元函数，其中$D$称为函数$f$的定义域，而$f(D) \subset \mathbb{R}$称为$f$的值域。
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函数极限四：初等连续函数与函数的上下极限
基本连续函数有哪些？这章来解答。 定理1 如果函数$f$与$g$在$x0$处连续，那么$f \pm g$与$fg$都在$x0$处连续，如果$g(x0) \ne 0$，那么$f/g$也在$x0$处连续。
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函数极限三：连续函数与一致连续函数
定义1：某点连续 设$f: [a,b] \to \mathbb{R} \quad (ba)$. 若有 $$ \lim \limits{x \to x0} f(x) = f(x0) $$ 则称函数$f$在点$x0 \in (a,b)$内连续。
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函数极限二：其它类型的函数极限
定义1：自变量趋于$+\infty$的极限 若对$\forall \varepsilon0, \exists A 0$，使得当$x A$时，有$|f(x) - l| < \varepsilon$，此时称在正无穷处函数有极限$l$，记为 $$…
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函数极限一：函数极限定义与基本性质
定义1：函数在某点处极限 设函数$f$在点$x0$的近旁有定义，但$x0$这一点自身可以是例外，设$l$是一个实数，如果对$\forall \varepsilon 0$，$\exists \delta0$，使得对一切满足等式$0 < |x-…
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点列极限六：拓扑学基础之列紧集、紧致集、连通集
定义1：列紧集 设$E \subset \mathbb{R^n}$，如果$E$中的任一点列都有一个子列收敛于$E$中的一个点，则称$E$是$\mathbb{R^n}$中的一个列紧集。 定理1 $\mathbb{R^n}$中的集合$E$为列紧…
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点列极限五：拓扑学基础之开集、闭集
本章的内容为接下来的函数极限做铺垫。欧几里得空间$\mathbb{R^n}$中关于点$\boldsymbol{a}$的邻域两个常用到的概念为 $$ \begin{aligned} & Br(\boldsymbol{a}) = \{ \bol…
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点列极限四：欧式空间中的点列极限
本篇主要讲多维空间中点列的极限，下面的讨论都会基于$n$维欧式空间，通常用$\mathbb{R^n}$表示；以下内容的前提是已知$n$维Euclid空间以及各种名词的概念，比如向量，范数，内积等等，如有不理解的概念，建议查看高等代数中关于度…
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点列极限三：数列极限的上极限与下极限，Stolz定理
对于任意给定的数列$\{an\}$，如果$\{an\}$有界，由列紧性可知，必然存在收敛子列，如果$\{an\}$无解，则总可以找到一个子列趋向于$-\infty$或$+\infty$。我们把数列$\{an\}$的收敛子列的极限称为$\{a…
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点列极限二：实数连续性
前言 在点列极限一的定理7证明了单调有界的数列必收敛，此命题是实数连续性的表现之一，本篇将会说明实数连续性的6个等价命题，即这6个命题可以互相推出，而单调有界的数列必收敛命题前面已经证明，所以只需要在这6个命题中做循环论证即可。本篇将会首先…
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点列极限一：数列极限定义与基本性质
定义1 在$\mathbb{R}$上，设$\{an\}$是一个数列，$a \in \mathbb{R}$，若$\forall \varepsilon0$，$\exists N(\varepsilon)\in \mathbb{N^+}$，使得…