数学之美
微积分在几何上的应用一：弧长，旋转曲面的面积与体积
定理1 设$\mathbb{R}^2$上的曲线$\Gamma$由极坐标方程 $$ r = r(\theta) \quad (\boldsymbol{\alpha} \le \theta \le \boldsymbol{\beta}) $$ …
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函数积分十二：$n$重积分
定义1 定义$f: I \to \mathbb{R}$，其中$I$是$\mathbb{R}^n$中的一个闭长方体，即$I = I1 \times I2 \times \cdots In$，其中$ii=[ai, bi] (i=1,2,\cdo…
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函数积分十一：三重积分
定义1 定义$f: I \to \mathbb{R}$，其中$I$是$\mathbb{R}^3$中的一个有限长方体，即$I = I1 \times I2 \times I3$，其中$ii=[ai, bi] (i=1,2,3)$是$\math…
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函数积分十：二重积分的计算
定理1 如果$f$在$I = [a,b] \times [c,d]$上可积，那么单变量函数$\displaystyle \varphi(x) = \underline \intc^d f(x, y) \mathrm{d} y$和$\disp…
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函数积分九：有界区域上的二重积分
定义1 设$B \subset \mathbb{R}^2$是有界集，函数$f: B \to \mathbb{R}$，令 $$ fB(\boldsymbol{p}) = \left\{ \begin{aligned} & f(\boldsym…
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函数积分八：Lebesgue定理
定义1：零测集 设$B \subset \mathbb{R}^2$，如果对任意给定的$\varepsilon 0$，存在可数个闭矩形序列$\{Ii\}(i=1,2,\cdots)$，使得 $$ B \subset \bigcup \limi…
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函数积分七：矩形区域的二重积分
定义1 定义$f: I \to \mathbb{R}$， 其中$I$是$\mathbb{R}^2$中的闭矩形，$I = [a,b] \times [c, d]$，作$[a,b]$的分割 $$ \pix : a = x0 < x1 < \cd…
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函数积分六：微积分基本定理
定义1：变上限积分 设$f$在$[a,b]$上可积，从而对任何$x \in [a,b]$，$f$在$[a,x]$上也可积，因此定义函数 $$ F(x) = \inta^x f(t) \mathrm{d} t $$ 其中$x$可在$[a,b]…
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函数积分五：可积函数的性质
定理1：积分的可加性 设$c \in (a,b)$，函数$f$在$[a,c],[c,b]$上可积，那么$f$在$[a,b]$上也可积，且 $$ \inta^b f(x) \mathrm{d} x = \inta^c f(x) \mathrm…
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函数积分四：Lebesgue定理
定义1：零测度集 设$A$为实数的集合，如果对任意给定的$\varepsilon 0$， 存在至多可数个开区间$\{In: n \in \mathbb{N}^\}$组成$A$的一个开覆盖，并且$\displaystyle \sum{n=1}…
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函数积分三：可积性理论
定理1 设函数$f$在$[a,b]$上Riemann可积，则$f$在$[a,b]$上有界。
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函数积分二：Riemann积分
定义1：分割 在区间$[a,b]$上，记分割 $$ \pi : a = x0 < x1 < \cdots < xn = b $$ 把$[a,b]$分成$n$个小区间$[x{i-1},xi]$，其长度为$\Delta xi = xi - x{…
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函数积分一：原函数
定义1：原函数 已知区间$D$和函数$f: D \to \mathbb{R}, F: D \to \mathbb{R}$，如果两个函数满足关系 $$ F^\prime(x) = f(x) $$ 则称$F$为$f$在$D$上的一个原函数。