数学之美
点列极限六：拓扑学基础之列紧集、紧致集、连通集
定义1：列紧集 设$E \subset \mathbb{R^n}$，如果$E$中的任一点列都有一个子列收敛于$E$中的一个点，则称$E$是$\mathbb{R^n}$中的一个列紧集。 定理1 $\mathbb{R^n}$中的集合$E$为列紧…
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点列极限
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点列极限五：拓扑学基础之开集、闭集
本章的内容为接下来的函数极限做铺垫。欧几里得空间$\mathbb{R^n}$中关于点$\boldsymbol{a}$的邻域两个常用到的概念为 $$ \begin{aligned} & Br(\boldsymbol{a}) = \{ \bol…
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点列极限四：欧式空间中的点列极限
本篇主要讲多维空间中点列的极限，下面的讨论都会基于$n$维欧式空间，通常用$\mathbb{R^n}$表示；以下内容的前提是已知$n$维Euclid空间以及各种名词的概念，比如向量，范数，内积等等，如有不理解的概念，建议查看高等代数中关于度…
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点列极限三：数列极限的上极限与下极限，Stolz定理
对于任意给定的数列$\{an\}$，如果$\{an\}$有界，由列紧性可知，必然存在收敛子列，如果$\{an\}$无解，则总可以找到一个子列趋向于$-\infty$或$+\infty$。我们把数列$\{an\}$的收敛子列的极限称为$\{a…
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点列极限二：实数连续性
前言 在点列极限一的定理7证明了单调有界的数列必收敛，此命题是实数连续性的表现之一，本篇将会说明实数连续性的6个等价命题，即这6个命题可以互相推出，而单调有界的数列必收敛命题前面已经证明，所以只需要在这6个命题中做循环论证即可。本篇将会首先…
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点列极限一：数列极限定义与基本性质
定义1 在$\mathbb{R}$上，设$\{an\}$是一个数列，$a \in \mathbb{R}$，若$\forall \varepsilon0$，$\exists N(\varepsilon)\in \mathbb{N^+}$，使得…